Subgroups — C₃²×#5234 #13162673

Order 1728.

1604 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃³×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₃²×#208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₃²×C₃⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₃²×#830	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₃²×#408	—	3	1	no	maximal
6	C₃×#5234	C₃	1	4	yes	maximal, direct product factor
7	C₃³×#41	—	2	2	no	—
8	C₃³×#41	—	2	2	no	—
9	C₂×C₃³×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₃³×D₄	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₃³×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₃³×C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₃³×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₃²×#208	—	2	2	no	—
15	C₂×C₃²×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
16	C₂×C₃²×C₃⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₃²×C₃⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₃²×#41	—	2	4	no	—
19	C₂×C₃²×#41	D₃	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₃²×#41	C₂×C₃	1	4	yes	—
21	C₂×C₃²×M₁₆	—	3	1	no	—
22	C₂²×C₃²×C₈	—	3	1	no	—
23	C₂×C₃×#208	C₂×C₃	1	4	yes	complemented
24	C₂²×C₃×C₃⋊C₈	C₂×C₃	1	4	yes	complemented
25	C₃²×C₂²⋊C₈	—	3	4	no	—
26	C₃×#830	C₂×C₃	1	16	yes	complemented
27	C₂³×C₃³	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂³×C₃³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₃³×Q₈	—	2	2	no	—
30	C₃³×D₄	—	2	4	no	—
31	C₃³×D₄	—	2	2	no	—
32	C₂×C₃³×C₄	—	2	2	no	—
33	C₂×C₃³×C₄	—	2	2	no	—
34	C₂×C₃³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×C₃³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₃³×C₄	D₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₃³×C₄	D₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₃³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₃²×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
40	C₃²×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
41	C₃×#408	—	3	4	no	—
42	#5234	C₃²	1	1	yes	characteristic, direct product factor
43	C₃²×#41	—	2	16	no	—
44	C₃²×#41	—	2	16	no	—
45	C₃²×#41	—	2	2	no	—
46	C₃²×#41	—	2	2	no	—
47	C₃²×#41	—	2	8	no	—
48	C₃²×#41	—	2	8	no	—
49	C₂×C₃²×Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₃²×Q₈	Dic₃	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₃²×Q₈	C₃×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₃²×D₄	—	2	8	no	—
53	C₂×C₃²×D₄	—	2	4	no	—
54	C₂×C₃²×D₄	Dic₃	1	2	yes	—
55	C₂×C₃²×D₄	Dic₃	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₃²×D₄	C₃×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₃²×D₄	C₃×C₄	1	4	yes	—
58	C₂²×C₃²×C₄	—	2	8	no	—
59	C₂²×C₃²×C₄	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₃²×C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
61	C₂²×C₃²×C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₃²×C₄	C₂²×C₃	1	8	yes	—
63	C₂²×C₃²×C₄	C₂²×C₃	1	4	yes	—
64	C₃²×M₁₆	—	6	2	no	—
65	C₂×C₃²×C₈	—	3	2	no	—
66	C₂×C₃²×C₈	—	3	2	no	—
67	C₂×C₃²×C₈	—	6	2	no	—
68	C₃×#208	—	2	8	no	—
69	C₂×C₃×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
70	C₂×C₃×C₃⋊C₈	C₂²×C₃	1	8	yes	—
71	C₂×C₃×C₃⋊C₈	C₂²×C₃	1	8	yes	—
72	C₂²×C₃³	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₃³	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₃³	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₃³	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₃³	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₃³×C₄	—	2	2	no	—
78	C₃³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
79	C₃³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₃³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
82	C₂×C₃×#41	C₃×D₃	1	4	yes	—
83	C₂×C₃×#41	C₂×C₃²	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₃×M₁₆	—	3	4	no	—
85	C₂²×C₃×C₈	—	3	4	no	—
86	C₂×#208	C₂×C₃²	1	1	yes	characteristic, complemented
87	C₂²×C₃⋊C₈	C₂×C₃²	1	1	yes	characteristic, complemented
88	C₃×C₂²⋊C₈	—	3	16	no	—
89	#830	C₂×C₃²	1	4	yes	complemented
90	C₂³×C₃²	—	2	8	no	—
91	C₂³×C₃²	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₃²	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
93	C₂³×C₃²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₃²	C₂×C₃×C₄	1	8	yes	—
95	C₂³×C₃²	C₂×C₃×C₄	1	4	yes	—
96	C₃²×Q₈	—	2	16	no	—
97	C₃²×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₃²×Q₈	—	2	8	no	—
99	C₃²×D₄	—	2	32	no	—
100	C₃²×D₄	—	2	16	no	—
101	C₃²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₃²×D₄	—	2	16	no	—
103	C₃²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₃²×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂×C₃²×C₄	—	2	16	no	—
106	C₂×C₃²×C₄	—	2	16	no	—
107	C₂×C₃²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×C₃²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₃²×C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₃²×C₄	—	2	8	no	—
111	C₂×C₃²×C₄	—	2	8	no	—
112	C₂×C₃²×C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₃²×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂×C₃²×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₃²×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₃²×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
117	C₂×C₃²×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₃²×C₄	#67	1	2	yes	—
119	C₂×C₃²×C₄	#67	1	2	yes	—
120	C₂×C₃²×C₄	C₂×C₃×C₄	1	8	yes	—
121	C₂×C₃²×C₄	C₂×C₃×C₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₃²×C₄	C₃×D₄	1	8	yes	—
123	C₂×C₃²×C₄	C₃×D₄	1	8	yes	—
124	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₃²×C₄	C₂³×C₃	1	4	yes	—
126	C₃²×C₈	—	6	2	no	—
127	C₃²×C₈	—	6	2	no	—
128	C₃×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
129	C₃×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
130	#408	—	3	1	no	Sylow
131	C₂×C₃³	—	2	2	no	—
132	C₂×C₃³	—	4	2	no	—
133	C₂×C₃³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₃³	#131	1	2	yes	—
135	C₃×#41	—	2	16	no	—
136	C₃×#41	—	2	16	no	—
137	C₃×#41	—	2	8	no	—
138	C₃×#41	—	2	8	no	—
139	C₃×#41	—	2	2	no	—
140	C₃×#41	—	2	2	no	—
141	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂×C₃×Q₈	C₃×Dic₃	1	4	yes	—
143	C₂×C₃×Q₈	C₃²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₃×D₄	C₃×Dic₃	1	8	yes	—
147	C₂×C₃×D₄	C₃×Dic₃	1	4	yes	—
148	C₂×C₃×D₄	C₃²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₃×D₄	C₃²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₃×C₄	C₂×C₃×D₃	1	8	yes	—
153	C₂²×C₃×C₄	C₂×C₃×D₃	1	4	yes	—
154	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₃²	1	2	yes	—
155	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₃²	1	1	yes	characteristic
156	C₃×M₁₆	—	6	8	no	—
157	C₂×C₃×C₈	—	3	8	no	—
158	C₂×C₃×C₈	—	3	8	no	—
159	C₂×C₃×C₈	—	6	8	no	—
160	#208	—	2	2	no	—
161	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₂×C₃⋊C₈	C₂²×C₃²	1	2	yes	—
163	C₂×C₃⋊C₈	C₂²×C₃²	1	2	yes	—
164	C₂²×C₃²	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₃²	—	2	16	no	—
166	C₂²×C₃²	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₃²	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₃²	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₃²	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₃²	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₃²	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₃²	—	2	16	no	—
173	C₂²×C₃²	—	4	8	no	—
174	C₂²×C₃²	—	4	16	no	—
175	C₂²×C₃²	#217	1	2	yes	—
176	C₂²×C₃²	C₃×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
177	C₂²×C₃²	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₃²	C₂²×C₃×C₄	1	4	yes	—
179	C₃²×C₄	—	2	16	no	—
180	C₃²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₃²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₃²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₃²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₃²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₃²×C₄	#217	1	2	yes	—
186	C₃²×C₄	C₃×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
187	C₃²×C₄	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
188	C₃²×C₄	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
189	C₃²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	4	yes	—
190	C₃²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×#41	C₃²×D₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂×M₁₆	—	3	1	no	—
193	C₂²×C₈	—	3	1	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	3	4	no	—
195	C₃³	#408	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
196	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
197	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
198	C₂³×C₃	C₂×C₃×Dic₃	1	8	yes	—
199	C₂³×C₃	C₂×C₃×Dic₃	1	4	yes	—
200	C₂³×C₃	C₂×C₃²×C₄	1	2	yes	—
201	C₂³×C₃	C₂×C₃²×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₃×Q₈	—	2	16	no	—
203	C₃×Q₈	—	2	8	no	—
204	C₃×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₃×D₄	—	2	32	no	—
206	C₃×D₄	—	2	16	no	—
207	C₃×D₄	—	2	16	no	—
208	C₃×D₄	—	2	4	no	—
209	C₃×D₄	—	2	8	no	—
210	C₃×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
212	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
213	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₃×C₄	C₂×C₃×Dic₃	1	8	yes	—
223	C₂×C₃×C₄	C₂×C₃×Dic₃	1	4	yes	—
224	C₂×C₃×C₄	C₃×#67	1	8	yes	—
225	C₂×C₃×C₄	C₃×#67	1	8	yes	—
226	C₂×C₃×C₄	C₂×C₃²×C₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₃×C₄	C₂×C₃²×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₃×C₄	C₃²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₃×C₄	C₃²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₃×D₃	1	4	yes	—
231	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₃²	1	1	yes	characteristic
232	C₃×C₈	—	6	8	no	—
233	C₃×C₈	—	6	8	no	—
234	C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
235	C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₃²	—	2	2	no	—
237	C₂×C₃²	—	2	8	no	—
238	C₂×C₃²	—	2	4	no	—
239	C₂×C₃²	—	2	8	no	—
240	C₂×C₃²	—	4	8	no	—
241	C₂×C₃²	—	4	16	no	—
242	C₂×C₃²	—	4	2	no	—
243	C₂×C₃²	—	4	8	no	—
244	C₂×C₃²	#948	1	2	yes	—
245	C₂×C₃²	C₂×#217	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₃²	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
247	C₂×C₃²	C₃×#131	1	8	yes	—
248	#41	—	2	2	no	—
249	#41	—	2	2	no	—
250	C₂×Q₈	C₃²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂×D₄	C₃²×Dic₃	1	2	yes	—
252	C₂×D₄	C₃²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×C₃²×D₃	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₃²×D₃	1	1	yes	characteristic
255	M₁₆	—	6	2	no	—
256	C₂×C₈	—	3	2	no	—
257	C₂×C₈	—	3	2	no	—
258	C₂×C₈	—	6	2	no	—
259	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
260	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₃	—	2	16	no	—
262	C₂²×C₃	—	2	16	no	—
263	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
264	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
267	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
269	C₂²×C₃	—	4	16	no	—
270	C₂²×C₃	C₃×#217	1	8	yes	—
271	C₂²×C₃	C₃²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
272	C₂²×C₃	C₂²×C₃×Dic₃	1	4	yes	—
273	C₂²×C₃	C₂²×C₃²×C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₃×C₄	—	2	16	no	—
275	C₃×C₄	—	2	8	no	—
276	C₃×C₄	—	2	2	no	—
277	C₃×C₄	—	2	8	no	—
278	C₃×C₄	—	2	4	no	—
279	C₃×C₄	—	2	4	no	—
280	C₃×C₄	C₃×#217	1	8	yes	—
281	C₃×C₄	C₃²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
282	C₃×C₄	C₂×C₃×#67	1	4	yes	—
283	C₃×C₄	C₂×C₃×#67	1	4	yes	—
284	C₃×C₄	C₂×C₃²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₃×C₄	C₂×C₃²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₃²	—	2	4	no	—
287	C₃²	#5234	1	1	yes	characteristic, direct product factor
288	C₃²	C₃×#408	1	4	yes	complemented
289	C₂³	C₂×C₃²×Dic₃	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂×C₃²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	2	2	no	—
292	D₄	—	2	4	no	—
293	D₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	C₂×C₃²×Dic₃	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×C₃²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₃²×#67	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₃²×#67	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×C₃²×D₃	1	1	yes	characteristic
301	C₈	—	6	2	no	—
302	C₈	—	6	2	no	—
303	C₂×C₃	—	2	8	no	—
304	C₂×C₃	—	2	2	no	—
305	C₂×C₃	—	2	8	no	—
306	C₂×C₃	—	2	4	no	—
307	C₂×C₃	—	4	8	no	—
308	C₂×C₃	—	4	16	no	—
309	C₂×C₃	—	4	8	no	—
310	C₂×C₃	—	4	2	no	—
311	C₂×C₃	C₃×#948	1	8	yes	—
312	C₂×C₃	C₂×C₃×#217	1	4	yes	—
313	C₂×C₃	C₂×C₃²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₃	C₃²×#131	1	2	yes	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	C₃²×#217	1	2	yes	—
319	C₂²	C₂²×C₃²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	C₃²×#217	1	2	yes	—
322	C₄	C₂×C₃²×#67	1	1	yes	characteristic
323	C₄	C₂×C₃²×#67	1	1	yes	characteristic
324	C₃	—	2	4	no	—
325	C₃	C₃×#5234	1	4	yes	direct product factor
326	C₃	C₃²×#408	1	1	yes	characteristic, complemented
327	C₂	—	2	2	no	—
328	C₂	—	4	2	no	—
329	C₂	C₃²×#948	1	2	yes	—
330	C₂	C₂×C₃²×#217	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃
commutator	C₂²×C₃	C₂²×C₃²×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂²×C₃²×D₃
Fitting, prime radical	C₂×C₃³×#41	C₂
socle	C₂²×C₃³	C₂²×C₄
cosocle	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₃²
hypercenter	C₂×C₃²×#41	D₃
hypocenter	C₃	C₃²×#408
LCS	G ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₃²×C₄ ◁ C₂×C₃²×#41

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₃²×#208	C₂	semidirect
3. C₂²×C₃²×C₃⋊C₈	C₂	semidirect
4. C₃²×#830	C₂	semidirect
6. C₃×#5234	C₃	direct (N × H)
23. C₂×C₃×#208	C₂×C₃	semidirect
24. C₂²×C₃×C₃⋊C₈	C₂×C₃	semidirect
26. C₃×#830	C₂×C₃	semidirect
42. #5234	C₃²	direct (N × H)
86. C₂×#208	C₂×C₃²	semidirect
87. C₂²×C₃⋊C₈	C₂×C₃²	semidirect
89. #830	C₂×C₃²	semidirect
195. C₃³	#408	semidirect
287. C₃²	#5234	direct (N × H)
288. C₃²	C₃×#408	semidirect
325. C₃	C₃×#5234	direct (N × H)
326. C₃	C₃²×#408	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃³×#41	2
C₂×C₃²×#208	2
C₂²×C₃²×C₃⋊C₈	2
C₃²×#830	2
C₃²×#408	3
C₃×#5234	3

Subgroups — C32×#5234 #13162673

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₃²×#5234 #13162673