Subgroups — #13176808

Order 1728.

1900 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 292 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃²×Dic₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#11723967	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₃×#64135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11723594	C₂	1	4	yes	maximal
5	#11723397	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	Dic₆×C₃⋊Dic₃	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10596283	—	3	1	no	maximal
8	#10594818	—	3	4	no	maximal
9	C₂²×C₃³×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₃²×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₃²×Dic₆	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×C₃²×Dic₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₃²×Dic₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#88864	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄⋊(C₃⋊(C₃⋊Dic₃))	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂²	1	2	yes	—
17	C₃×#3757	C₂²	1	2	yes	—
18	C₃×C₄⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂²	1	2	yes	—
19	C₃×C₄×C₃⋊Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
20	Dic₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂²	1	8	yes	—
21	Dic₃×C₃⋊Dic₃	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂²×C₃²×Q₈	—	3	1	no	—
23	C₂²×C₃×Dic₆	D₃	1	4	yes	—
24	Q₈×C₃⋊Dic₃	—	3	4	no	—
25	Q₈×C₃⋊Dic₃	—	3	4	no	—
26	#64135	—	3	1	no	—
27	#64135	—	3	4	no	—
28	#64135	—	3	4	no	—
29	#64135	—	6	4	no	—
30	#64135	D₃	1	1	yes	characteristic
31	C₃×#926	—	3	4	no	—
32	#63955	—	3	16	no	—
33	#63843	—	3	16	no	—
34	Dic₃×Dic₆	—	3	16	no	—
35	C₂³×C₃³	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₃³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂×C₃³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₃³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×C₃×C₃⋊Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×C₃²×Dic₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₃²×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
43	C₃²×Dic₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₃²×Dic₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	#5812	—	9	4	no	—
46	#5516	—	9	1	no	—
47	C₂×C₃²×Q₈	—	3	8	no	—
48	C₂×C₃²×Q₈	—	3	2	no	—
49	C₂×C₃²×Q₈	—	3	2	no	—
50	C₂²×C₃²×C₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₃²×C₄	—	3	2	no	—
52	C₂²×C₃²×C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₃²×C₄	C₂×D₃	1	4	yes	—
54	C₂²×C₃×Dic₃	C₂×D₃	1	8	yes	—
55	C₂×C₃×Dic₆	Dic₃	1	32	yes	complemented
56	C₂×C₃×Dic₆	C₂×D₃	1	8	yes	—
57	C₂×C₃×Dic₆	C₂×D₃	1	8	yes	—
58	#3757	—	3	2	no	—
59	#3757	—	3	8	no	—
60	#3757	—	6	8	no	—
61	#3757	C₂×D₃	1	2	yes	—
62	C₄⋊(C₃⋊Dic₃)	—	3	2	no	—
63	C₄⋊(C₃⋊Dic₃)	—	3	8	no	—
64	C₄⋊(C₃⋊Dic₃)	—	3	8	no	—
65	C₄⋊(C₃⋊Dic₃)	—	6	8	no	—
66	C₄⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂×D₃	1	2	yes	—
67	C₄×C₃⋊Dic₃	—	3	2	no	—
68	C₄×C₃⋊Dic₃	—	3	8	no	—
69	C₄×C₃⋊Dic₃	—	3	8	no	—
70	C₄×C₃⋊Dic₃	—	6	8	no	—
71	C₄×C₃⋊Dic₃	C₂×D₃	1	2	yes	—
72	C₃×#217	—	3	8	no	—
73	C₃×C₄⋊Dic₃	—	3	8	no	—
74	C₃×C₄×Dic₃	—	3	8	no	—
75	Dic₃⋊Dic₃	—	3	32	no	—
76	Dic₃²	—	3	32	no	—
77	C₂²×C₃³	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₃³	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₃³	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₃³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₃³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	—	2	4	no	—
83	C₃×C₃⋊Dic₃	—	2	4	no	—
84	C₃²×Dic₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
85	C₂²×C₃×Q₈	—	3	4	no	—
86	C₂²×Dic₆	C₃⋊D₃	1	1	yes	characteristic
87	C₃×#117	—	9	1	no	—
88	Q₈×Dic₃	—	9	16	no	—
89	Q₈×Dic₃	—	9	16	no	—
90	#926	—	3	4	no	—
91	#926	—	9	16	no	—
92	#926	—	9	4	no	—
93	#926	—	9	1	no	—
94	#926	—	18	4	no	—
95	#887	—	9	4	no	—
96	#877	—	9	4	no	—
97	C₄×Dic₆	—	9	4	no	—
98	C₂³×C₃²	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₃²	C₂²×D₃	1	4	yes	—
100	C₂³×C₃²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
101	C₃²×Q₈	—	3	8	no	—
102	C₃²×Q₈	—	3	8	no	—
103	C₂×C₃²×C₄	—	2	16	no	—
104	C₂×C₃²×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂×C₃²×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂×C₃²×C₄	—	3	8	no	—
107	C₂×C₃²×C₄	—	3	4	no	—
108	C₂×C₃²×C₄	C₄×D₃	1	4	yes	—
109	C₂×C₃²×C₄	C₂×Dic₃	1	16	yes	—
110	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
111	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
112	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₃⋊Dic₃	—	3	4	no	—
115	C₂×C₃⋊Dic₃	—	3	16	no	—
116	C₂×C₃⋊Dic₃	—	6	16	no	—
117	C₂×C₃⋊Dic₃	C₂²×D₃	1	4	yes	—
118	C₂×C₃×Dic₃	—	3	16	no	—
119	C₂×C₃×Dic₃	C₂×Dic₃	1	32	yes	—
120	C₂×C₃×Dic₃	C₂²×D₃	1	16	yes	—
121	C₃×Dic₆	C₂×Dic₃	1	32	yes	—
122	C₃×Dic₆	C₂×Dic₃	1	32	yes	—
123	#519	—	27	1	no	Sylow
124	C₂×C₃³	—	2	2	no	—
125	C₂×C₃³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₃³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
127	C₂×C₃×Q₈	—	3	32	no	—
128	C₂×C₃×Q₈	—	3	8	no	—
129	C₂×C₃×Q₈	—	3	8	no	—
130	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₃×C₄	—	3	8	no	—
132	C₂²×C₃×C₄	D₃²	1	4	yes	—
133	C₂²×C₃×C₄	C₂×C₃⋊D₃	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×Dic₃	C₂×C₃⋊D₃	1	2	yes	—
135	C₂×Dic₆	C₃⋊Dic₃	1	8	yes	complemented
136	C₂×Dic₆	C₂×C₃⋊D₃	1	2	yes	—
137	C₂×Dic₆	C₂×C₃⋊D₃	1	2	yes	—
138	C₃×C₄⋊C₄	—	9	2	no	—
139	C₃×C₂²⋊C₄	—	9	2	no	—
140	C₃×C₄²	—	9	2	no	—
141	#217	—	3	8	no	—
142	#217	—	9	8	no	—
143	#217	—	9	2	no	—
144	#217	—	18	8	no	—
145	C₄⋊Dic₃	—	3	8	no	—
146	C₄⋊Dic₃	—	9	32	no	—
147	C₄⋊Dic₃	—	9	8	no	—
148	C₄⋊Dic₃	—	9	2	no	—
149	C₄⋊Dic₃	—	18	8	no	—
150	Dic₃⋊C₄	—	9	8	no	—
151	C₄×Dic₃	—	3	8	no	—
152	C₄×Dic₃	—	9	32	no	—
153	C₄×Dic₃	—	9	8	no	—
154	C₄×Dic₃	—	9	2	no	—
155	C₄×Dic₃	—	9	8	no	—
156	C₄×Dic₃	—	18	8	no	—
157	C₂²×C₃²	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₃²	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₃²	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₃²	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₃²	—	4	8	no	—
162	C₂²×C₃²	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
163	C₂²×C₃²	C₂²×Dic₃	1	8	yes	—
164	C₂²×C₃²	C₂³×D₃	1	4	yes	—
165	C₂²×C₃²	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
166	C₃²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₃²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₃²×C₄	—	3	8	no	—
169	C₃²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
170	C₃²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
171	C₃²×C₄	C₂²×Dic₃	1	8	yes	—
172	C₃²×C₄	C₂²×Dic₃	1	8	yes	—
173	C₃⋊Dic₃	—	2	4	no	—
174	C₃⋊Dic₃	—	6	4	no	—
175	C₃⋊Dic₃	—	6	16	no	—
176	C₃⋊Dic₃	—	12	16	no	—
177	C₃×Dic₃	—	6	16	no	—
178	C₃×Dic₃	C₂²×Dic₃	1	32	yes	—
179	C₂²×Q₈	—	3	1	no	—
180	C₄×Q₈	—	27	4	no	—
181	C₄×Q₈	—	27	4	no	—
182	#117	—	9	1	no	—
183	#117	—	27	4	no	—
184	#117	—	27	1	no	—
185	C₃³	#519	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
186	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
187	C₂³×C₃	C₂×D₃²	1	4	yes	—
188	C₂³×C₃	C₂²×C₃⋊D₃	1	1	yes	characteristic
189	C₃×Q₈	—	3	32	no	—
190	C₃×Q₈	—	3	32	no	—
191	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
192	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₃×C₄	—	3	16	no	—
195	C₂×C₃×C₄	—	3	32	no	—
196	C₂×C₃×C₄	—	9	4	no	—
197	C₂×C₃×C₄	D₃×Dic₃	1	16	yes	—
198	C₂×C₃×C₄	C₂×C₃⋊Dic₃	1	4	yes	—
199	C₂×C₃×C₄	C₂×D₃²	1	4	yes	—
200	C₂×C₃×C₄	C₂×D₃²	1	4	yes	—
201	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₃⋊D₃	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₃⋊D₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Dic₃	—	3	16	no	—
204	C₂×Dic₃	—	9	16	no	—
205	C₂×Dic₃	—	9	4	no	—
206	C₂×Dic₃	—	18	16	no	—
207	C₂×Dic₃	C₂×C₃⋊Dic₃	1	8	yes	—
208	C₂×Dic₃	C₂²×C₃⋊D₃	1	4	yes	—
209	Dic₆	C₂×C₃⋊Dic₃	1	8	yes	—
210	Dic₆	C₂×C₃⋊Dic₃	1	8	yes	—
211	C₂×C₃²	—	2	2	no	—
212	C₂×C₃²	—	2	8	no	—
213	C₂×C₃²	—	2	4	no	—
214	C₂×C₃²	—	2	8	no	—
215	C₂×C₃²	—	4	8	no	—
216	C₂×C₃²	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₃²	#1007	1	8	yes	—
218	C₂×C₃²	#1010	1	2	yes	—
219	C₂×C₃²	C₂³×Dic₃	1	4	yes	—
220	C₂×Q₈	—	3	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	3	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	3	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
224	C₂²×C₄	D₃×C₃⋊D₃	1	1	yes	characteristic
225	C₄⋊C₄	—	9	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	27	8	no	—
227	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	9	2	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
230	C₄²	—	9	2	no	—
231	C₄²	—	27	8	no	—
232	C₄²	—	27	2	no	—
233	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
238	C₂²×C₃	C₂×D₃×Dic₃	1	8	yes	—
239	C₂²×C₃	C₂²×C₃⋊Dic₃	1	2	yes	—
240	C₂²×C₃	C₂²×D₃²	1	4	yes	—
241	C₂²×C₃	C₂³×C₃⋊D₃	1	1	yes	characteristic
242	C₃×C₄	—	2	8	no	—
243	C₃×C₄	—	2	8	no	—
244	C₃×C₄	—	3	32	no	—
245	C₃×C₄	—	18	4	no	—
246	C₃×C₄	C₂×D₃×Dic₃	1	8	yes	—
247	C₃×C₄	C₂×D₃×Dic₃	1	8	yes	—
248	C₃×C₄	C₂²×C₃⋊Dic₃	1	2	yes	—
249	C₃×C₄	C₂²×C₃⋊Dic₃	1	2	yes	—
250	Dic₃	—	6	16	no	—
251	Dic₃	—	18	16	no	—
252	Dic₃	—	18	4	no	—
253	Dic₃	—	36	16	no	—
254	Dic₃	C₂²×C₃⋊Dic₃	1	8	yes	—
255	C₃²	—	2	4	no	—
256	C₃²	#5516	1	1	yes	characteristic, complemented
257	C₃²	#5812	1	4	yes	complemented
258	C₂³	C₂×D₃×C₃⋊D₃	1	1	yes	characteristic
259	Q₈	—	3	8	no	—
260	Q₈	—	3	8	no	—
261	C₂×C₄	—	3	4	no	—
262	C₂×C₄	—	3	8	no	—
263	C₂×C₄	—	9	4	no	—
264	C₂×C₄	—	27	4	no	—
265	C₂×C₄	D₃×C₃⋊Dic₃	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×D₃×C₃⋊D₃	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂×D₃×C₃⋊D₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₃	—	2	8	no	—
269	C₂×C₃	—	2	2	no	—
270	C₂×C₃	—	2	8	no	—
271	C₂×C₃	—	2	4	no	—
272	C₂×C₃	—	4	8	no	—
273	C₂×C₃	#64297	1	8	yes	—
274	C₂×C₃	C₂²×D₃×Dic₃	1	4	yes	—
275	C₂×C₃	#64364	1	2	yes	—
276	C₂×C₃	C₂³×C₃⋊Dic₃	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	—	2	2	no	—
278	C₂²	C₂×D₃×C₃⋊Dic₃	1	2	yes	—
279	C₂²	C₂²×D₃×C₃⋊D₃	1	1	yes	characteristic
280	C₄	—	3	8	no	—
281	C₄	—	18	4	no	—
282	C₄	—	54	4	no	—
283	C₄	C₂×D₃×C₃⋊Dic₃	1	2	yes	—
284	C₄	C₂×D₃×C₃⋊Dic₃	1	2	yes	—
285	C₃	—	2	4	no	—
286	C₃	#10594818	1	4	yes	complemented
287	C₃	#10596283	1	1	yes	characteristic, complemented
288	C₂	—	2	2	no	—
289	C₂	#11724566	1	2	yes	—
290	C₂	C₂²×D₃×C₃⋊Dic₃	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂²×D₃×C₃⋊D₃
commutator	C₂×C₃³	C₂³×C₄
Fitting	C₂²×C₃³×C₄	C₂²
socle, cosocle	C₂²×C₃³	C₂⁴
prime radical	C₂³×C₃³	C₂³
hypercenter	C₂²×C₄	D₃×C₃⋊D₃
hypocenter	C₃³	#519
LCS	G ▷ C₂×C₃³ ▷ C₃³
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11723397	C₂	semidirect
6. Dic₆×C₃⋊Dic₃	C₂	semidirect
11. C₂×C₃²×Dic₆	C₄	semidirect
55. C₂×C₃×Dic₆	Dic₃	semidirect
135. C₂×Dic₆	C₃⋊Dic₃	semidirect
185. C₃³	#519	semidirect
256. C₃²	#5516	semidirect
257. C₃²	#5812	semidirect
286. C₃	#10594818	semidirect
287. C₃	#10596283	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃²×Dic₆	2
#11723967	2
C₃×#64135	2
#11723594	2
#11723397	2
Dic₆×C₃⋊Dic₃	2
#10596283	3
#10594818	3