Subgroups — #13179728

Order 1728.

3304 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₃³×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#11723980	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#11723979	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#11723977	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	D₄×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₄×#6312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11723967	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#11723933	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#11723929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#11723926	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#11723918	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#10596087	—	3	13	no	maximal
13	C₂×C₃³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₃³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₃³×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#6312	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#6312	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×C₃⋊(C₃⋊D₃)	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#6308	C₂²	1	2	yes	—
21	C₃³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₃³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	#88864	C₂²	1	2	yes	—
24	#88864	C₂²	1	2	yes	—
25	#88864	C₂²	1	2	yes	—
26	#88864	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#88859	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#88859	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄⋊(C₃⋊(C₃⋊Dic₃))	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄⋊(C₃⋊(C₃⋊Dic₃))	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#88857	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#88857	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₃²×#121	D₃	1	13	yes	complemented
37	#64148	—	3	26	no	—
38	#64147	—	3	13	no	—
39	#64145	—	3	26	no	—
40	D₄×C₃⋊Dic₃	—	3	13	no	—
41	C₄×#638	—	3	13	no	—
42	#64135	—	3	13	no	—
43	#64101	—	3	13	no	—
44	#64097	—	3	13	no	—
45	#64094	—	3	26	no	—
46	#64086	—	3	26	no	—
47	C₂³×C₃³	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₃³	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₃⋊(C₃⋊D₃)	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₃³×D₄	—	2	2	no	—
51	C₃³×D₄	—	4	2	no	—
52	C₂×C₃³×C₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₃³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₃³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₃³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#6312	—	2	2	no	—
57	#6312	—	4	2	no	—
58	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	—	2	4	no	—
59	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄×C₃⋊(C₃⋊D₃)	—	2	2	no	—
65	#6308	—	4	2	no	—
66	#5616	—	9	13	no	—
67	C₂×C₃²×D₄	C₂×D₃	1	13	yes	—
68	C₂×C₃²×D₄	C₂×D₃	1	26	yes	—
69	C₂²×C₃²×C₄	C₂×D₃	1	13	yes	—
70	C₂×#638	—	3	13	no	—
71	C₂×#638	—	3	26	no	—
72	C₂²×C₃⋊Dic₃	—	3	26	no	—
73	C₂×C₄×C₃⋊D₃	—	3	13	no	—
74	C₂×#634	—	3	26	no	—
75	C₃²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	13	yes	—
76	C₃²×C₂²⋊C₄	C₂×D₃	1	26	yes	—
77	#3757	—	3	26	no	—
78	#3757	—	3	26	no	—
79	#3757	—	3	26	no	—
80	#3757	—	3	13	no	—
81	#3752	—	3	13	no	—
82	#3752	—	3	26	no	—
83	C₄⋊(C₃⋊Dic₃)	—	3	13	no	—
84	C₄⋊(C₃⋊Dic₃)	—	3	13	no	—
85	#3750	—	3	13	no	—
86	#3750	—	3	26	no	—
87	C₄×C₃⋊Dic₃	—	3	26	no	—
88	C₄×C₃⋊Dic₃	—	3	26	no	—
89	C₄×C₃⋊Dic₃	—	3	13	no	—
90	C₂²×C₃³	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₃³	—	2	1	no	—
92	C₂²×C₃³	—	2	1	no	—
93	C₂²×C₃³	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₃³	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₃³	—	2	1	no	—
96	C₂²×C₃³	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	—	2	1	no	—
98	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	—	2	1	no	—
99	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	—	2	1	no	—
100	C₃³×C₄	—	2	1	no	—
101	C₃³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₃³×C₄	#41	1	2	yes	—
103	C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	—	2	1	no	—
104	C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	—	2	2	no	—
105	C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	—	2	1	no	—
106	C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	—	2	2	no	—
107	C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	#41	1	2	yes	—
108	C₃×#121	C₃⋊D₃	1	13	yes	complemented
109	#939	—	9	26	no	—
110	#938	—	9	13	no	—
111	#936	—	9	26	no	—
112	D₄×Dic₃	—	9	13	no	—
113	C₄×#67	—	9	13	no	—
114	#926	—	9	13	no	—
115	#892	—	9	13	no	—
116	#888	—	9	13	no	—
117	#885	—	9	26	no	—
118	#877	—	9	26	no	—
119	C₂³×C₃²	C₂²×D₃	1	13	yes	—
120	C₂³×C₃²	C₂²×D₃	1	26	yes	—
121	C₂²×C₃⋊D₃	—	3	13	no	—
122	C₃²×D₄	—	2	26	no	—
123	C₃²×D₄	—	4	26	no	—
124	C₂×C₃²×C₄	—	2	26	no	—
125	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	13	yes	—
126	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	26	yes	—
127	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	13	yes	—
128	#638	—	6	26	no	—
129	#638	—	12	26	no	—
130	C₂×C₃⋊Dic₃	—	3	13	no	—
131	C₂×C₃⋊Dic₃	—	3	13	no	—
132	C₂×C₃⋊Dic₃	—	3	26	no	—
133	C₂×C₃⋊Dic₃	—	3	26	no	—
134	C₂×C₃⋊Dic₃	—	3	13	no	—
135	C₂×C₃⋊Dic₃	—	6	52	no	—
136	C₄×C₃⋊D₃	—	6	26	no	—
137	#634	—	12	26	no	—
138	#555	—	27	1	no	Sylow
139	C₂×C₃³	—	4	2	no	—
140	C₂×C₃³	—	4	1	no	—
141	C₂×C₃³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₃³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₃³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
144	C₃⋊(C₃⋊D₃)	—	4	1	no	—
145	C₂×C₃×D₄	C₂×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
146	C₂×C₃×D₄	C₂×C₃⋊D₃	1	26	yes	—
147	C₂²×C₃×C₄	C₂×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
148	C₂×#67	—	9	13	no	—
149	C₂×#67	—	9	26	no	—
150	C₂²×Dic₃	—	9	26	no	—
151	C₂×C₄×D₃	—	9	13	no	—
152	C₂×Dic₆	—	9	26	no	—
153	C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
154	C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₃⋊D₃	1	26	yes	—
155	#217	—	9	26	no	—
156	#217	—	9	26	no	—
157	#217	—	9	26	no	—
158	#217	—	9	13	no	—
159	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	13	no	—
160	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	26	no	—
161	C₄⋊Dic₃	—	9	13	no	—
162	C₄⋊Dic₃	—	9	13	no	—
163	Dic₃⋊C₄	—	9	13	no	—
164	Dic₃⋊C₄	—	9	26	no	—
165	C₄×Dic₃	—	9	26	no	—
166	C₄×Dic₃	—	9	26	no	—
167	C₄×Dic₃	—	9	13	no	—
168	C₂²×C₃²	—	2	13	no	—
169	C₂²×C₃²	—	2	26	no	—
170	C₂²×C₃²	—	2	26	no	—
171	C₂²×C₃²	—	2	13	no	—
172	C₂²×C₃²	—	2	26	no	—
173	C₂²×C₃²	—	2	13	no	—
174	C₂²×C₃²	C₂³×D₃	1	13	yes	—
175	C₂×C₃⋊D₃	—	6	13	no	—
176	C₂×C₃⋊D₃	—	6	13	no	—
177	C₂×C₃⋊D₃	—	6	13	no	—
178	C₃²×C₄	—	2	13	no	—
179	C₃²×C₄	—	2	26	no	—
180	C₃²×C₄	#237	1	26	yes	—
181	C₃⋊Dic₃	—	3	26	no	—
182	C₃⋊Dic₃	—	6	13	no	—
183	C₃⋊Dic₃	—	6	13	no	—
184	C₃⋊Dic₃	—	6	26	no	—
185	C₃⋊Dic₃	—	6	26	no	—
186	C₄⋊Q₈	—	27	1	no	—
187	#124	—	27	2	no	—
188	#124	—	27	2	no	—
189	#121	—	27	1	no	—
190	#121	—	27	2	no	—
191	#121	C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic, complemented
192	C₄×D₄	—	27	1	no	—
193	C₄×D₄	—	27	1	no	—
194	#117	—	27	1	no	—
195	#117	—	27	1	no	—
196	#117	—	27	2	no	—
197	C₃³	#555	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
198	C₂³×C₃	C₂²×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
199	C₂³×C₃	C₂²×C₃⋊D₃	1	26	yes	—
200	C₂²×D₃	—	9	13	no	—
201	C₃×D₄	—	2	26	no	—
202	C₃×D₄	—	4	26	no	—
203	C₂×C₃×C₄	—	2	26	no	—
204	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
205	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₃⋊D₃	1	26	yes	—
206	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
207	#67	—	18	26	no	—
208	#67	—	36	26	no	—
209	C₂×Dic₃	—	9	13	no	—
210	C₂×Dic₃	—	9	13	no	—
211	C₂×Dic₃	—	9	26	no	—
212	C₂×Dic₃	—	9	26	no	—
213	C₂×Dic₃	—	9	13	no	—
214	C₂×Dic₃	—	18	52	no	—
215	C₄×D₃	—	18	26	no	—
216	Dic₆	—	36	26	no	—
217	C₂×C₃²	—	4	13	no	—
218	C₂×C₃²	—	4	26	no	—
219	C₂×C₃²	C₂×#237	1	13	yes	—
220	C₂×C₃²	#1004	1	13	yes	—
221	C₂×C₃²	D₃×#41	1	13	yes	—
222	C₃⋊D₃	—	12	13	no	—
223	C₂×Q₈	—	27	2	no	—
224	C₂×D₄	—	27	1	no	—
225	C₂×D₄	—	27	2	no	—
226	C₂×D₄	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
227	C₂×D₄	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	—	27	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	27	1	no	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
231	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
232	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
233	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
235	C₄⋊C₄	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
236	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	27	1	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	27	1	no	—
242	C₂²⋊C₄	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	2	yes	—
243	C₄²	—	27	2	no	—
244	C₄²	—	27	2	no	—
245	C₄²	—	27	1	no	—
246	C₂²×C₃	—	2	13	no	—
247	C₂²×C₃	—	2	26	no	—
248	C₂²×C₃	—	2	26	no	—
249	C₂²×C₃	—	2	13	no	—
250	C₂²×C₃	—	2	26	no	—
251	C₂²×C₃	—	2	13	no	—
252	C₂²×C₃	C₂³×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
253	C₂×D₃	—	18	13	no	—
254	C₂×D₃	—	18	13	no	—
255	C₂×D₃	—	18	13	no	—
256	C₃×C₄	—	2	13	no	—
257	C₃×C₄	—	2	26	no	—
258	C₃×C₄	#3830	1	26	yes	—
259	Dic₃	—	9	26	no	—
260	Dic₃	—	18	13	no	—
261	Dic₃	—	18	13	no	—
262	Dic₃	—	18	26	no	—
263	Dic₃	—	18	26	no	—
264	C₃²	#5616	1	13	yes	complemented
265	C₂³	—	27	1	no	—
266	C₂³	C₂²×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	C₂²×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	2	yes	—
268	Q₈	—	108	2	no	—
269	D₄	—	2	2	no	—
270	D₄	—	4	2	no	—
271	D₄	—	54	2	no	—
272	D₄	—	108	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	27	1	no	—
275	C₂×C₄	—	27	1	no	—
276	C₂×C₄	—	27	2	no	—
277	C₂×C₄	—	27	1	no	—
278	C₂×C₄	—	27	2	no	—
279	C₂×C₄	—	54	4	no	—
280	C₂×C₄	—	54	2	no	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂²×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₃	—	4	13	no	—
285	C₂×C₃	—	4	26	no	—
286	C₂×C₃	C₂×#3830	1	13	yes	—
287	C₂×C₃	#64361	1	13	yes	—
288	C₂×C₃	#41×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
289	D₃	—	36	13	no	—
290	C₂²	—	2	1	no	—
291	C₂²	—	2	2	no	—
292	C₂²	—	2	1	no	—
293	C₂²	—	2	2	no	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	1	no	—
296	C₂²	—	54	1	no	—
297	C₂²	—	54	1	no	—
298	C₂²	—	54	1	no	—
299	C₂²	C₂³×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
300	C₄	—	2	1	no	—
301	C₄	—	2	2	no	—
302	C₄	—	27	2	no	—
303	C₄	—	54	1	no	—
304	C₄	—	54	2	no	—
305	C₄	—	54	1	no	—
306	C₄	—	54	2	no	—
307	C₄	#89078	1	2	yes	—
308	C₃	#10596087	1	13	yes	complemented
309	C₂	—	4	1	no	—
310	C₂	—	4	2	no	—
311	C₂	—	108	1	no	—
312	C₂	C₂×#89078	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#11724679	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#41×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂³×C₃⋊(C₃⋊D₃)
commutator, socle, cosocle	C₂²×C₃³	C₂⁴
Fitting	C₃³×#121	C₂
hypercenter	#121	C₃⋊(C₃⋊D₃)
hypocenter	C₃³	#555
LCS	G ▷ C₂²×C₃³ ▷ C₃³
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #121

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₃³×#121	C₂	semidirect
2. #11723980	C₂	semidirect
3. #11723979	C₂	semidirect
4. #11723977	C₂	semidirect
5. D₄×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂	semidirect
6. C₄×#6312	C₂	semidirect
7. #11723967	C₂	semidirect
8. #11723933	C₂	semidirect
9. #11723929	C₂	semidirect
10. #11723926	C₂	semidirect
11. #11723918	C₂	semidirect
36. C₃²×#121	D₃	semidirect
108. C₃×#121	C₃⋊D₃	semidirect
191. #121	C₃⋊(C₃⋊D₃)	semidirect
197. C₃³	#555	semidirect
264. C₃²	#5616	semidirect
308. C₃	#10596087	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₃³×#121	2
#11723980	2
#11723979	2
#11723977	2
D₄×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	2
C₄×#6312	2
#11723967	2
#11723933	2
#11723929	2
#11723926	2
#11723918	2
#10596087	3