Subgroups — #13179747

Order 1728.

3920 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×C₃⋊(C₃⋊D₃)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#6308	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₃³×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#11723985	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₄×#6312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11723938	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11723937	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11723929	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#11723928	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#11723922	C₂	1	2	yes	maximal
11	#11723919	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#10596103	—	3	13	no	maximal
13	C₂×C₃³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₃³×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#6312	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂²	1	2	yes	—
17	Q₈×C₃⋊(C₃⋊D₃)	—	2	4	no	—
18	C₂×C₄×C₃⋊(C₃⋊D₃)	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×C₃⋊(C₃⋊D₃)	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#6308	—	2	4	no	—
21	C₂×#6308	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#6308	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#6308	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#6308	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₃³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₃³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₃³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	#88864	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#88859	C₂²	1	2	yes	—
30	#88859	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄⋊(C₃⋊(C₃⋊Dic₃))	C₂²	1	2	yes	—
32	#88857	C₂²	1	2	yes	—
33	#88857	C₂²	1	2	yes	—
34	#88857	C₂²	1	2	yes	—
35	#88857	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×Q₈×C₃⋊D₃	—	3	13	no	—
39	C₂²×#634	—	3	13	no	—
40	C₃²×C₂²⋊Q₈	D₃	1	13	yes	complemented
41	#64153	—	3	13	no	—
42	C₄×#638	—	3	13	no	—
43	#64106	—	3	13	no	—
44	#64105	—	3	26	no	—
45	#64097	—	3	26	no	—
46	#64096	—	3	13	no	—
47	#64090	—	3	26	no	—
48	#64087	—	3	26	no	—
49	C₂³×C₃³	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₃⋊(C₃⋊D₃)	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₃³×Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₃³×C₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₃³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₃³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₃³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₃³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#6312	Q₈	1	4	yes	complemented
58	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	—	2	4	no	—
59	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄×C₃⋊(C₃⋊D₃)	—	2	2	no	—
65	C₄×C₃⋊(C₃⋊D₃)	—	2	4	no	—
66	#6308	—	2	2	no	—
67	#6308	—	2	4	no	—
68	#6308	—	2	4	no	—
69	#6308	D₄	1	4	yes	complemented
70	#5632	—	9	13	no	—
71	C₂×C₃²×Q₈	C₂×D₃	1	13	yes	—
72	C₂²×C₃²×C₄	C₂×D₃	1	13	yes	—
73	C₂×#638	—	3	13	no	—
74	C₂²×C₃⋊Dic₃	—	3	26	no	—
75	Q₈×C₃⋊D₃	—	6	52	no	—
76	C₂×C₄×C₃⋊D₃	—	3	26	no	—
77	C₂×C₄×C₃⋊D₃	—	3	13	no	—
78	C₂×#634	—	3	13	no	—
79	C₂×#634	—	3	26	no	—
80	C₂×#634	—	3	26	no	—
81	C₂×#634	—	3	13	no	—
82	C₂×#634	—	6	52	no	—
83	C₃²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	13	yes	—
84	C₃²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	26	yes	—
85	C₃²×C₂²⋊C₄	C₂×D₃	1	26	yes	—
86	#3757	—	3	13	no	—
87	#3752	—	3	26	no	—
88	#3752	—	3	13	no	—
89	C₄⋊(C₃⋊Dic₃)	—	3	26	no	—
90	#3750	—	3	26	no	—
91	#3750	—	3	26	no	—
92	#3750	—	3	26	no	—
93	#3750	—	3	13	no	—
94	C₄×C₃⋊Dic₃	—	3	26	no	—
95	C₄×C₃⋊Dic₃	—	3	13	no	—
96	C₂²×C₃³	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₃³	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₃³	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
99	C₂²×C₃³	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	—	2	1	no	—
101	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	—	2	1	no	—
102	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
103	C₃³×C₄	—	2	1	no	—
104	C₃³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₃³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₃³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	—	2	1	no	—
108	C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	—	2	2	no	—
109	C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	—	2	1	no	—
110	C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
112	C₂×D₃×Q₈	—	9	13	no	—
113	C₂²×Dic₆	—	9	13	no	—
114	C₃×C₂²⋊Q₈	C₃⋊D₃	1	13	yes	complemented
115	#944	—	9	13	no	—
116	C₄×#67	—	9	13	no	—
117	#897	—	9	13	no	—
118	#896	—	9	26	no	—
119	#888	—	9	26	no	—
120	#887	—	9	13	no	—
121	#67⋊C₄	—	9	26	no	—
122	#878	—	9	26	no	—
123	C₂³×C₃²	C₂²×D₃	1	13	yes	—
124	C₂²×C₃⋊D₃	—	3	13	no	—
125	C₃²×Q₈	—	2	26	no	—
126	C₂×C₃²×C₄	—	2	26	no	—
127	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	26	yes	—
128	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	26	yes	—
129	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	13	yes	—
130	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	13	yes	—
131	#638	—	3	52	no	—
132	C₂×C₃⋊Dic₃	—	3	13	no	—
133	C₂×C₃⋊Dic₃	—	3	26	no	—
134	C₂×C₃⋊Dic₃	—	3	13	no	—
135	C₂×C₃⋊Dic₃	—	3	26	no	—
136	C₂×C₃⋊Dic₃	—	3	13	no	—
137	C₂×C₃⋊Dic₃	—	6	52	no	—
138	C₄×C₃⋊D₃	—	6	52	no	—
139	C₄×C₃⋊D₃	—	6	26	no	—
140	#634	—	3	52	no	—
141	#634	—	6	52	no	—
142	#634	—	6	52	no	—
143	#634	—	6	26	no	—
144	D₄×Q₈	—	27	1	no	Sylow
145	C₂×C₃³	—	2	2	no	—
146	C₂×C₃³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₃³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₃³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₃⋊(C₃⋊D₃)	—	2	2	no	—
150	C₂×C₃×Q₈	C₂×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
151	C₂²×C₃×C₄	C₂×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
152	C₂×#67	—	9	13	no	—
153	C₂²×Dic₃	—	9	26	no	—
154	D₃×Q₈	—	18	52	no	—
155	C₂×C₄×D₃	—	9	26	no	—
156	C₂×C₄×D₃	—	9	13	no	—
157	C₂×Dic₆	—	9	13	no	—
158	C₂×Dic₆	—	9	26	no	—
159	C₂×Dic₆	—	9	26	no	—
160	C₂×Dic₆	—	9	13	no	—
161	C₂×Dic₆	—	18	52	no	—
162	C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
163	C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₃⋊D₃	1	26	yes	—
164	C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₃⋊D₃	1	26	yes	—
165	#217	—	9	13	no	—
166	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	26	no	—
167	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	13	no	—
168	C₄⋊Dic₃	—	9	26	no	—
169	Dic₃⋊C₄	—	9	26	no	—
170	Dic₃⋊C₄	—	9	26	no	—
171	Dic₃⋊C₄	—	9	26	no	—
172	Dic₃⋊C₄	—	9	13	no	—
173	C₄×Dic₃	—	9	26	no	—
174	C₄×Dic₃	—	9	13	no	—
175	C₂²×C₃²	—	2	13	no	—
176	C₂²×C₃²	—	2	13	no	—
177	C₂²×C₃²	D₃×Q₈	1	26	yes	complemented
178	C₂²×C₃²	C₂³×D₃	1	13	yes	—
179	C₂×C₃⋊D₃	—	3	26	no	—
180	C₂×C₃⋊D₃	—	6	13	no	—
181	C₂×C₃⋊D₃	—	6	13	no	—
182	C₃²×C₄	—	2	13	no	—
183	C₃²×C₄	—	2	26	no	—
184	C₃²×C₄	—	2	26	no	—
185	C₃²×C₄	D₃×D₄	1	26	yes	—
186	C₃⋊Dic₃	—	3	52	no	—
187	C₃⋊Dic₃	—	3	26	no	—
188	C₃⋊Dic₃	—	6	13	no	—
189	C₃⋊Dic₃	—	6	26	no	—
190	C₃⋊Dic₃	—	6	13	no	—
191	C₂²×Q₈	—	27	1	no	—
192	C₂²×Q₈	—	27	1	no	—
193	C₄⋊Q₈	—	27	1	no	—
194	C₄⋊Q₈	—	27	2	no	—
195	C₂²⋊Q₈	—	27	2	no	—
196	C₂²⋊Q₈	—	27	1	no	—
197	C₂²⋊Q₈	—	27	2	no	—
198	C₂²⋊Q₈	C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic, complemented
199	C₄×Q₈	—	27	1	no	—
200	C₄×D₄	—	27	1	no	—
201	C₄×D₄	—	27	2	no	—
202	C₃³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
203	C₂³×C₃	C₂²×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
204	C₂²×D₃	—	9	13	no	—
205	C₃×Q₈	—	2	26	no	—
206	C₂×C₃×C₄	—	2	26	no	—
207	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₃⋊D₃	1	26	yes	—
208	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₃⋊D₃	1	26	yes	—
209	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
210	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
211	#67	—	9	52	no	—
212	C₂×Dic₃	—	9	13	no	—
213	C₂×Dic₃	—	9	26	no	—
214	C₂×Dic₃	—	9	13	no	—
215	C₂×Dic₃	—	9	26	no	—
216	C₂×Dic₃	—	9	13	no	—
217	C₂×Dic₃	—	18	52	no	—
218	C₄×D₃	—	18	52	no	—
219	C₄×D₃	—	18	26	no	—
220	Dic₆	—	9	52	no	—
221	Dic₆	—	18	52	no	—
222	Dic₆	—	18	52	no	—
223	Dic₆	—	18	26	no	—
224	C₂×C₃²	—	2	26	no	—
225	C₂×C₃²	C₂×D₃×D₄	1	13	yes	—
226	C₂×C₃²	C₂×D₃×Q₈	1	13	yes	—
227	C₂×C₃²	#1010	1	13	yes	—
228	C₃⋊D₃	—	6	26	no	—
229	C₂×Q₈	—	27	1	no	—
230	C₂×Q₈	—	27	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	27	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	27	1	no	—
233	C₂×Q₈	—	54	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	54	4	no	—
235	C₂×Q₈	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
236	C₂×D₄	—	27	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	27	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	27	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	27	1	no	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
241	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
242	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
246	C₄⋊C₄	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
247	C₄⋊C₄	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	2	yes	—
248	C₂²⋊C₄	—	27	1	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	27	1	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	2	yes	—
252	C₄²	—	27	2	no	—
253	C₄²	—	27	1	no	—
254	C₂²×C₃	—	2	13	no	—
255	C₂²×C₃	—	2	13	no	—
256	C₂²×C₃	Q₈×C₃⋊D₃	1	26	yes	complemented
257	C₂²×C₃	C₂³×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
258	C₂×D₃	—	9	26	no	—
259	C₂×D₃	—	18	13	no	—
260	C₂×D₃	—	18	13	no	—
261	C₃×C₄	—	2	13	no	—
262	C₃×C₄	—	2	26	no	—
263	C₃×C₄	—	2	26	no	—
264	C₃×C₄	D₄×C₃⋊D₃	1	26	yes	—
265	Dic₃	—	9	52	no	—
266	Dic₃	—	9	26	no	—
267	Dic₃	—	18	13	no	—
268	Dic₃	—	18	26	no	—
269	Dic₃	—	18	13	no	—
270	C₃²	#5632	1	13	yes	complemented
271	C₂³	—	27	1	no	—
272	C₂³	C₂²×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
273	Q₈	—	2	2	no	—
274	Q₈	—	27	4	no	—
275	Q₈	—	54	4	no	—
276	Q₈	—	54	4	no	—
277	Q₈	—	54	2	no	—
278	D₄	—	27	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	27	1	no	—
281	C₂×C₄	—	27	2	no	—
282	C₂×C₄	—	27	1	no	—
283	C₂×C₄	—	27	1	no	—
284	C₂×C₄	—	27	2	no	—
285	C₂×C₄	—	54	4	no	—
286	C₂×C₄	—	54	4	no	—
287	C₂×C₄	—	54	2	no	—
288	C₂×C₄	C₂²×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂²×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₃	—	2	26	no	—
293	C₂×C₃	C₂×D₄×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
294	C₂×C₃	C₂×Q₈×C₃⋊D₃	1	13	yes	—
295	C₂×C₃	#64367	1	13	yes	—
296	D₃	—	18	26	no	—
297	C₂²	—	2	1	no	—
298	C₂²	—	2	1	no	—
299	C₂²	—	27	2	no	—
300	C₂²	—	54	1	no	—
301	C₂²	—	54	1	no	—
302	C₂²	Q₈×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	2	yes	complemented
303	C₂²	C₂³×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
304	C₄	—	2	1	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	2	2	no	—
307	C₄	—	27	4	no	—
308	C₄	—	27	2	no	—
309	C₄	—	54	2	no	—
310	C₄	—	54	1	no	—
311	C₄	—	54	1	no	—
312	C₄	D₄×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	2	yes	—
313	C₃	#10596103	1	13	yes	complemented
314	C₂	—	2	2	no	—
315	C₂	—	54	2	no	—
316	C₂	C₂×D₄×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
317	C₂	C₂×Q₈×C₃⋊(C₃⋊D₃)	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#11724685	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂³×C₃⋊(C₃⋊D₃)
commutator, socle, cosocle	C₂²×C₃³	C₂⁴
Fitting	C₃³×C₂²⋊Q₈	C₂
prime radical	C₂×#6312	C₂²
hypercenter	C₂²⋊Q₈	C₃⋊(C₃⋊D₃)
hypocenter	C₃³	D₄×Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₃³ ▷ C₃³
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×C₃⋊(C₃⋊D₃)	C₂	semidirect
2. C₂²×#6308	C₂	semidirect
3. C₃³×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
4. #11723985	C₂	semidirect
6. #11723938	C₂	semidirect
7. #11723937	C₂	semidirect
8. #11723929	C₂	semidirect
9. #11723928	C₂	semidirect
11. #11723919	C₂	semidirect
40. C₃²×C₂²⋊Q₈	D₃	semidirect
57. #6312	Q₈	semidirect
69. #6308	D₄	semidirect
98. C₂²×C₃³	C₂×Q₈	semidirect
102. C₂×C₃⋊(C₃⋊D₃)	C₂×Q₈	semidirect
111. C₃⋊(C₃⋊Dic₃)	C₂×Q₈	semidirect
114. C₃×C₂²⋊Q₈	C₃⋊D₃	semidirect
177. C₂²×C₃²	D₃×Q₈	semidirect
198. C₂²⋊Q₈	C₃⋊(C₃⋊D₃)	semidirect
202. C₃³	D₄×Q₈	semidirect
256. C₂²×C₃	Q₈×C₃⋊D₃	semidirect
270. C₃²	#5632	semidirect
302. C₂²	Q₈×C₃⋊(C₃⋊D₃)	semidirect
313. C₃	#10596103	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×C₃⋊(C₃⋊D₃)	2
C₂²×#6308	2
C₃³×C₂²⋊Q₈	2
#11723985	2
C₄×#6312	2
#11723938	2
#11723937	2
#11723929	2
#11723928	2
#11723922	2
#11723919	2
#10596103	3