Subgroups — #13510620

Order 1792.

654 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	D₄×D₅₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#11736856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₇×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#11729167	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#89304	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11727043	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11727040	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#11726862	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#11726849	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#11726812	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×D₁₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₅₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#90246	—	2	1	no	—
14	D₄×D₂₈	—	2	1	no	—
15	C₂²×C₇×C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₇×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#89887	C₂²	1	2	yes	—
18	#89887	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×#6392	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂×D₁₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×D₁₁₂	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#89618	—	2	1	no	—
23	#89615	—	2	1	no	—
24	#89508	—	2	2	no	—
25	#89504	—	2	2	no	—
26	#89467	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×D₅₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×D₅₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	#89454	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₇×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₇×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₄×C₇×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#89304	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#89304	C₂²	1	2	yes	—
35	#89304	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#89304	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#89304	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#89304	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#89299	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#89299	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#33861	—	7	1	no	maximal, Sylow
42	C₂×#1159	—	4	1	no	—
43	C₂×D₄×D₇	—	4	1	no	—
44	C₂²×D₂₈	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₇×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₄×C₇×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
47	#6493	—	2	2	no	—
48	#6493	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₇	—	2	2	no	—
50	C₂×D₅₆	—	2	4	no	—
51	C₂×D₅₆	—	2	2	no	—
52	C₂×D₅₆	—	2	1	no	—
53	C₂×D₅₆	—	4	2	no	—
54	C₂×D₅₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×D₅₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×D₅₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#6460	—	4	1	no	—
58	#6458	—	4	1	no	—
59	#6449	—	4	2	no	—
60	#6445	—	4	2	no	—
61	#6437	—	2	1	no	—
62	C₄×D₂₈	—	2	1	no	—
63	C₄×D₂₈	—	2	1	no	—
64	#6432	—	2	1	no	—
65	C₂×C₇×C₁₆	—	4	2	no	—
66	C₂×C₇×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₇×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₇×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₇×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₇×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
71	C₄×C₇×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#6395	—	2	2	no	—
73	#6395	—	2	2	no	—
74	#6395	—	2	1	no	—
75	#6395	—	2	1	no	—
76	#6392	—	2	2	no	—
77	#6392	—	2	1	no	—
78	#6392	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#6392	C₂³	1	2	yes	—
80	#6392	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	D₁₁₂	—	2	2	no	—
82	D₁₁₂	—	4	2	no	—
83	#3334	—	7	1	no	—
84	D₄×D₈	—	7	1	no	—
85	#2240	—	7	1	no	—
86	#2232	—	7	2	no	—
87	#2224	—	7	1	no	—
88	#2215	—	7	2	no	—
89	#2206	—	7	1	no	—
90	#2184	—	7	2	no	—
91	C₄×D₁₆	—	7	1	no	—
92	D₄×C₁₆	D₇	1	1	yes	characteristic, complemented
93	C₂×#357	—	7	2	no	—
94	C₂³×D₇	—	4	2	no	—
95	C₂×C₇×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄×C₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₂²⋊D₇	—	4	2	no	—
98	C₂×C₂²⋊D₇	—	4	2	no	—
99	C₂²×Dic₇	—	4	2	no	—
100	#1159	—	8	4	no	—
101	D₄×D₇	—	8	4	no	—
102	C₂×D₂₈	—	2	1	no	—
103	C₂×D₂₈	—	2	1	no	—
104	C₂×D₂₈	—	2	2	no	—
105	C₂×D₂₈	—	4	4	no	—
106	C₂×D₂₈	—	4	1	no	—
107	C₂×D₂₈	—	4	2	no	—
108	C₂×D₂₈	—	4	1	no	—
109	C₂×D₂₈	—	8	2	no	—
110	C₂×C₄×D₇	—	4	1	no	—
111	C₂×C₄×D₇	—	4	1	no	—
112	C₂×Dic₁₄	—	4	1	no	—
113	C₂×C₇×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂×C₇×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂×C₇×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₇×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₇×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	C₇×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
119	C₇×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
120	C₄²×C₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	(C₂×D₇)⋊C₄	—	4	1	no	—
122	(C₂×D₇)⋊C₄	—	4	1	no	—
123	(C₂×D₇)⋊C₄	—	4	2	no	—
124	(C₂×D₇)⋊C₄	—	4	2	no	—
125	C₄⋊Dic₇	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Dic₇	—	2	1	no	—
127	C₄⋊Dic₇	—	2	1	no	—
128	C₄⋊Dic₇	—	4	1	no	—
129	C₄⋊Dic₇	—	4	2	no	—
130	D₅₆	—	2	2	no	—
131	D₅₆	—	2	1	no	—
132	D₅₆	—	2	1	no	—
133	D₅₆	—	2	2	no	—
134	D₅₆	—	2	1	no	—
135	D₅₆	—	4	4	no	—
136	D₅₆	—	8	1	no	—
137	D₅₆	#41	1	2	yes	complemented
138	C₇×C₁₆	—	2	1	no	—
139	C₇×C₁₆	—	2	1	no	—
140	C₇×C₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂²×D₈	—	7	2	no	—
142	#547	—	14	1	no	—
143	D₄²	—	14	1	no	—
144	C₂×D₁₆	—	7	1	no	—
145	C₂×D₁₆	—	7	2	no	—
146	C₂²×C₁₆	C₂×D₇	1	2	yes	complemented
147	#500	—	7	1	no	—
148	#493	—	7	1	no	—
149	#480	—	14	2	no	—
150	#474	—	14	1	no	—
151	#466	—	7	2	no	—
152	#466	—	7	2	no	—
153	#459	—	14	1	no	—
154	#447	—	14	2	no	—
155	C₄×D₈	—	7	1	no	—
156	C₄×D₈	—	7	1	no	—
157	C₈×D₄	C₂×D₇	1	1	yes	characteristic
158	C₂×#107	—	7	2	no	—
159	#366	—	7	1	no	—
160	#366	—	7	2	no	—
161	C₄⋊C₁₆	C₂×D₇	1	1	yes	characteristic, complemented
162	#357	—	7	1	no	—
163	#357	—	7	2	no	—
164	#357	—	7	2	no	—
165	#357	—	7	2	no	—
166	#357	—	7	1	no	—
167	#357	—	7	2	no	—
168	C₂²⋊C₁₆	C₂×D₇	1	2	yes	complemented
169	C₄×C₁₆	C₂×D₇	1	1	yes	characteristic, complemented
170	C₂³×C₇	C₂×D₈	1	2	yes	—
171	C₂²×D₇	—	4	1	no	—
172	C₂²×D₇	—	4	1	no	—
173	C₂²×D₇	—	4	2	no	—
174	C₂²×D₇	—	8	4	no	—
175	C₂²×D₇	—	8	4	no	—
176	C₂²×D₇	—	16	2	no	—
177	C₇×D₄	D₁₆	1	4	yes	complemented
178	C₂×C₄×C₇	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄×C₇	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄×C₇	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄×C₇	C₂×D₈	1	2	yes	—
182	C₂×C₄×C₇	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄×C₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²⋊D₇	—	8	4	no	—
185	C₂²⋊D₇	—	8	4	no	—
186	C₂×Dic₇	—	4	2	no	—
187	C₂×Dic₇	—	4	1	no	—
188	C₂×Dic₇	—	4	1	no	—
189	C₂×Dic₇	—	8	4	no	—
190	D₂₈	—	2	2	no	—
191	D₂₈	—	4	2	no	—
192	D₂₈	—	4	1	no	—
193	D₂₈	—	4	1	no	—
194	D₂₈	—	4	2	no	—
195	D₂₈	—	4	1	no	—
196	D₂₈	—	8	4	no	—
197	D₂₈	—	8	2	no	—
198	D₂₈	—	16	1	no	—
199	C₄×D₇	—	8	2	no	—
200	C₄×D₇	—	8	2	no	—
201	Dic₁₄	—	8	2	no	—
202	C₇×C₈	—	2	2	no	—
203	C₇×C₈	—	2	1	no	—
204	C₇×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	C₇×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
206	C₂×#41	—	28	1	no	—
207	C₂²×D₄	—	14	2	no	—
208	C₂²×D₄	—	28	1	no	—
209	C₂×D₈	—	7	1	no	—
210	C₂×D₈	—	7	2	no	—
211	C₂×D₈	—	7	1	no	—
212	C₂×D₈	—	14	4	no	—
213	C₂×D₈	—	14	2	no	—
214	C₂×D₈	—	14	1	no	—
215	C₂×D₈	—	28	2	no	—
216	C₂²×C₈	C₂²×D₇	1	2	yes	—
217	C₄⋊Q₈	—	14	1	no	—
218	#127	—	14	1	no	—
219	#123	—	28	2	no	—
220	C₂²⋊Q₈	—	28	1	no	—
221	#121	—	14	2	no	—
222	#121	—	14	2	no	—
223	#121	—	28	1	no	—
224	#120	—	28	2	no	—
225	C₄×D₄	—	14	1	no	—
226	C₄×D₄	—	14	1	no	—
227	C₄×D₄	D₂₈	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄⋊C₄	—	14	2	no	—
229	D₁₆	—	14	2	no	—
230	D₁₆	—	28	2	no	—
231	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
232	C₂×C₁₆	C₂²×D₇	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₁₆	C₂²×D₇	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₁₆	C₂²×D₇	1	2	yes	—
235	#107	—	7	1	no	—
236	#107	—	7	2	no	—
237	#107	—	7	1	no	—
238	#107	—	14	2	no	—
239	#107	—	14	1	no	—
240	C₄⋊C₈	D₂₈	1	1	yes	characteristic
241	#102	—	14	1	no	—
242	#102	—	14	1	no	—
243	#102	—	14	2	no	—
244	#102	—	14	2	no	—
245	C₂²⋊C₈	D₂₈	1	2	yes	—
246	C₄×C₈	C₂²×D₇	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₇	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₇	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₇	C₂×D₁₆	1	4	yes	—
250	C₂²×C₇	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
251	C₂×D₇	—	4	2	no	—
252	C₂×D₇	—	8	1	no	—
253	C₂×D₇	—	8	1	no	—
254	C₂×D₇	—	8	1	no	—
255	C₂×D₇	—	8	2	no	—
256	C₂×D₇	—	8	2	no	—
257	C₂×D₇	—	8	1	no	—
258	C₂×D₇	—	8	2	no	—
259	C₂×D₇	—	8	1	no	—
260	C₂×D₇	—	16	8	no	—
261	C₄×C₇	—	2	1	no	—
262	C₄×C₇	—	2	2	no	—
263	C₄×C₇	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
264	C₄×C₇	#546	1	1	yes	characteristic
265	C₄×C₇	#577	1	1	yes	characteristic
266	Dic₇	—	8	2	no	—
267	Dic₇	—	8	1	no	—
268	Dic₇	—	8	1	no	—
269	C₂⁴	—	28	2	no	—
270	#41	—	56	4	no	—
271	C₂×Q₈	—	28	1	no	—
272	C₂×D₄	—	14	1	no	—
273	C₂×D₄	—	14	1	no	—
274	C₂×D₄	—	14	2	no	—
275	C₂×D₄	—	28	4	no	—
276	C₂×D₄	—	28	2	no	—
277	C₂×D₄	—	28	2	no	—
278	C₂×D₄	—	28	2	no	—
279	C₂×D₄	—	28	1	no	—
280	C₂×D₄	—	28	1	no	—
281	C₂×D₄	—	56	2	no	—
282	C₂×D₄	—	56	4	no	—
283	C₂×D₄	D₅₆	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	—	28	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	28	1	no	—
286	C₂²×C₄	—	28	1	no	—
287	C₂²×C₄	C₂×D₂₈	1	2	yes	—
288	D₈	—	7	2	no	—
289	D₈	—	14	1	no	—
290	D₈	—	14	1	no	—
291	D₈	—	14	2	no	—
292	D₈	—	14	1	no	—
293	D₈	—	14	2	no	—
294	D₈	—	28	4	no	—
295	D₈	—	56	1	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	C₂×D₂₈	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₈	C₂×D₂₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	C₂³×D₇	1	1	yes	characteristic
301	C₄⋊C₄	—	14	1	no	—
302	C₄⋊C₄	—	14	1	no	—
303	C₄⋊C₄	—	14	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	28	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	28	1	no	—
306	C₄⋊C₄	D₅₆	1	1	yes	characteristic
307	C₂²⋊C₄	—	28	1	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	28	1	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	28	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	28	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	D₅₆	1	2	yes	—
312	C₄²	C₂×D₂₈	1	1	yes	characteristic
313	C₁₆	—	2	1	no	—
314	C₁₆	—	2	2	no	—
315	C₁₆	—	2	1	no	—
316	C₂×C₇	—	2	4	no	—
317	C₂×C₇	#3294	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₇	C₂²×D₁₆	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₇	#3416	1	1	yes	characteristic
320	D₇	—	8	2	no	—
321	D₇	—	16	1	no	—
322	D₇	—	16	2	no	—
323	C₂³	—	28	1	no	—
324	C₂³	—	28	1	no	—
325	C₂³	—	28	2	no	—
326	C₂³	—	56	4	no	—
327	C₂³	—	56	4	no	—
328	C₂³	—	112	2	no	—
329	C₂³	C₂×D₅₆	1	2	yes	—
330	Q₈	—	56	2	no	—
331	D₄	—	14	2	no	—
332	D₄	—	28	1	no	—
333	D₄	—	28	2	no	—
334	D₄	—	28	1	no	—
335	D₄	—	28	2	no	—
336	D₄	—	28	1	no	—
337	D₄	—	56	4	no	—
338	D₄	—	56	4	no	—
339	D₄	—	56	4	no	—
340	D₄	—	56	2	no	—
341	D₄	—	112	1	no	—
342	D₄	D₁₁₂	1	4	yes	complemented
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	28	1	no	—
346	C₂×C₄	—	28	1	no	—
347	C₂×C₄	—	28	2	no	—
348	C₂×C₄	—	56	4	no	—
349	C₂×C₄	—	56	2	no	—
350	C₂×C₄	—	56	2	no	—
351	C₂×C₄	C₂×D₅₆	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×D₅₆	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×D₅₆	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂²×D₂₈	1	1	yes	characteristic
355	C₈	—	2	1	no	—
356	C₈	—	2	2	no	—
357	C₈	#6548	1	1	yes	characteristic
358	C₈	D₇×#41	1	1	yes	characteristic
359	C₇	#33861	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	28	2	no	—
363	C₂²	—	56	1	no	—
364	C₂²	—	56	1	no	—
365	C₂²	—	56	2	no	—
366	C₂²	—	56	1	no	—
367	C₂²	—	56	1	no	—
368	C₂²	—	56	2	no	—
369	C₂²	—	56	2	no	—
370	C₂²	—	56	1	no	—
371	C₂²	—	112	8	no	—
372	C₂²	C₂×D₁₁₂	1	4	yes	—
373	C₂²	C₂²×D₅₆	1	1	yes	characteristic
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	56	1	no	—
377	C₄	—	56	1	no	—
378	C₄	—	56	2	no	—
379	C₄	C₂×D₁₁₂	1	2	yes	—
380	C₄	#90245	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#90442	1	1	yes	characteristic
382	C₂	—	2	4	no	—
383	C₂	—	56	2	no	—
384	C₂	—	112	2	no	—
385	C₂	—	112	1	no	—
386	C₂	#11736883	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂²×D₁₁₂	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#11739459	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×D₅₆
commutator, cosocle	C₂×C₇×C₈	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₇
Fitting	C₇×D₄×C₁₆	C₂
socle	C₂²×C₇	C₂²×D₈
hypercenter	D₄×C₁₆	D₇
hypocenter	C₇	#33861
LCS	G ▷ C₂×C₇×C₈ ▷ C₄×C₇ ▷ C₂×C₇ ▷ C₇
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×D₄ ◁ C₈×D₄ ◁ D₄×C₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. D₄×D₅₆	C₂	semidirect
2. #11736856	C₂	semidirect
3. C₇×D₄×C₁₆	C₂	semidirect
4. #11729167	C₂	semidirect
5. C₂×#89304	C₂	semidirect
6. #11727043	C₂	semidirect
7. #11727040	C₂	semidirect
8. #11726862	C₂	semidirect
9. #11726849	C₂	semidirect
10. #11726812	C₂	semidirect
11. C₄×D₁₁₂	C₂	semidirect
15. C₂²×C₇×C₁₆	C₂²	semidirect
18. #89887	C₂²	semidirect
19. C₂×#6392	C₂²	semidirect
21. C₂×D₁₁₂	C₂²	semidirect
28. C₄×D₅₆	C₂²	semidirect
29. #89454	C₂²	semidirect
30. C₇×C₄⋊C₁₆	C₂²	semidirect
31. C₇×C₂²⋊C₁₆	C₂²	semidirect
32. C₄×C₇×C₁₆	C₂²	semidirect
35. #89304	C₂²	semidirect
36. #89304	C₂²	semidirect
37. #89304	C₂²	semidirect
38. #89304	C₂²	semidirect
39. #89299	C₂²	semidirect
40. #89299	C₂²	semidirect
92. D₄×C₁₆	D₇	semidirect
137. D₅₆	#41	semidirect
146. C₂²×C₁₆	C₂×D₇	semidirect
161. C₄⋊C₁₆	C₂×D₇	semidirect
168. C₂²⋊C₁₆	C₂×D₇	semidirect
169. C₄×C₁₆	C₂×D₇	semidirect
177. C₇×D₄	D₁₆	semidirect
342. D₄	D₁₁₂	semidirect
359. C₇	#33861	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
D₄×D₅₆	2
#11736856	2
C₇×D₄×C₁₆	2
#11729167	2
C₂×#89304	2
#11727043	2
#11727040	2
#11726862	2
#11726849	2
#11726812	2
C₄×D₁₁₂	2
#33861	7