Subgroups — C₂²×#90270 #14260769

Order 1792.

8454 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×C₇×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#6509	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#90270	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#6459	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂²×D₇×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×C₄×D₂₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×C₄×D₂₈	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂²×#6432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#6433	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂³×C₇×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×D₂₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₄×D₇	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₄×D₇	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂³×Dic₁₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×C₇×Q₈	C₂²	1	24	yes	complemented
16	C₂²×C₇×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₇×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄²×C₇	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄²×C₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#6509	C₂²	1	48	yes	complemented
21	C₂²×(C₂×D₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×(C₂×D₇)⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×C₄⋊Dic₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄⋊Dic₇	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄⋊Dic₇	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×Dic₇⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂²×Dic₇⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
28	#90270	C₂²	1	256	yes	direct product factor
29	C₂×#6459	C₂²	1	96	yes	complemented
30	C₂×D₇×C₄⋊C₄	C₂²	1	48	yes	complemented
31	C₂×C₄×D₂₈	C₂²	1	48	yes	—
32	C₂×C₄×D₂₈	C₂²	1	24	yes	—
33	C₂×#6433	C₂²	1	48	yes	complemented
34	C₂×#6432	C₂²	1	24	yes	complemented
35	C₂²×#554	—	7	1	no	maximal, Sylow
36	C₂⁴×D₇	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×C₇×Q₈	—	2	8	no	—
38	C₂²×C₇×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
39	C₂³×C₄×C₇	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₄×C₇	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₄×C₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄×C₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄×C₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×Dic₇	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×Dic₇	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×D₂₈	Q₈	1	16	yes	complemented
47	C₂²×D₂₈	C₂³	1	12	yes	—
48	C₂²×C₄×D₇	—	2	16	no	—
49	C₂²×C₄×D₇	—	4	16	no	—
50	C₂²×C₄×D₇	C₂³	1	24	yes	—
51	C₂²×C₄×D₇	C₂³	1	48	yes	—
52	C₂²×Dic₁₄	—	4	8	no	—
53	C₂²×Dic₁₄	C₂³	1	24	yes	—
54	C₄×C₇×Q₈	C₂³	1	64	yes	complemented
55	C₂×C₇×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
56	C₂×C₇×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
57	C₂×C₄²×C₇	C₂³	1	12	yes	—
58	C₂×C₄²×C₇	C₂³	1	24	yes	—
59	#6509	C₂³	1	128	yes	complemented
60	C₂×(C₂×D₇)⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
61	C₂×(C₂×D₇)⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
62	C₂×C₄⋊Dic₇	C₂³	1	24	yes	—
63	C₂×C₄⋊Dic₇	C₂³	1	24	yes	—
64	C₂×C₄⋊Dic₇	C₂³	1	12	yes	—
65	C₂×Dic₇⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
66	C₂×Dic₇⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
67	#6459	C₂³	1	256	yes	complemented
68	D₇×C₄⋊C₄	C₂³	1	128	yes	complemented
69	C₄×D₂₈	C₂³	1	128	yes	—
70	C₄×D₂₈	C₂³	1	64	yes	—
71	#6433	C₂³	1	128	yes	complemented
72	#6432	C₂³	1	64	yes	complemented
73	C₂×#554	—	7	48	no	—
74	C₂²×C₄⋊Q₈	—	7	1	no	—
75	C₂²×#125	—	7	2	no	—
76	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	7	2	no	—
77	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	7	4	no	—
78	C₂²×C₄×Q₈	D₇	1	1	yes	characteristic, complemented
79	C₂²×C₄×D₄	—	7	1	no	—
80	C₂²×C₄×D₄	—	7	2	no	—
81	C₂³×C₄⋊C₄	—	7	2	no	—
82	C₂⁴×C₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×D₇	—	2	8	no	—
84	C₂³×D₇	—	2	8	no	—
85	C₂³×D₇	C₂×Q₈	1	16	yes	—
86	C₂³×D₇	C₂⁴	1	12	yes	—
87	C₂×C₇×Q₈	—	2	48	no	—
88	C₂×C₇×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
89	C₂²×C₄×C₇	—	2	8	no	—
90	C₂²×C₄×C₇	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄×C₇	—	2	8	no	—
92	C₂²×C₄×C₇	C₂×Q₈	1	8	yes	—
93	C₂²×C₄×C₇	#41	1	8	yes	—
94	C₂²×C₄×C₇	C₂⁴	1	12	yes	—
95	C₂²×C₄×C₇	C₂⁴	1	12	yes	—
96	C₂²×C₄×C₇	C₂⁴	1	6	yes	—
97	C₂²×C₄×C₇	C₂⁴	1	6	yes	—
98	C₂²×C₄×C₇	C₂⁴	1	6	yes	—
99	C₂²×Dic₇	—	2	8	no	—
100	C₂²×Dic₇	—	2	16	no	—
101	C₂²×Dic₇	C₂⁴	1	12	yes	—
102	C₂²×Dic₇	C₂⁴	1	24	yes	—
103	C₂×D₂₈	C₂×Q₈	1	96	yes	complemented
104	C₂×D₂₈	C₂⁴	1	16	yes	—
105	C₂×C₄×D₇	—	2	96	no	—
106	C₂×C₄×D₇	—	4	96	no	—
107	C₂×C₄×D₇	C₂⁴	1	32	yes	—
108	C₂×C₄×D₇	C₂⁴	1	64	yes	—
109	C₂×Dic₁₄	—	4	48	no	—
110	C₂×Dic₁₄	C₂⁴	1	32	yes	—
111	C₇×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
112	C₇×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
113	C₄²×C₇	C₂⁴	1	16	yes	—
114	C₄²×C₇	C₂⁴	1	32	yes	—
115	(C₂×D₇)⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
116	(C₂×D₇)⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
117	C₄⋊Dic₇	C₂⁴	1	32	yes	—
118	C₄⋊Dic₇	C₂⁴	1	32	yes	—
119	C₄⋊Dic₇	C₂⁴	1	16	yes	—
120	Dic₇⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
121	Dic₇⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
122	C₂³×Q₈	—	7	2	no	—
123	C₂³×Q₈	C₂×D₇	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×D₄	—	7	1	no	—
125	C₂⁴×C₄	—	7	2	no	—
126	C₂⁴×C₄	—	7	4	no	—
127	#554	—	7	256	no	—
128	C₂×C₄⋊Q₈	—	7	24	no	—
129	C₂×#125	—	7	48	no	—
130	C₂×C₂²⋊Q₈	—	7	48	no	—
131	C₂×C₂²⋊Q₈	—	7	96	no	—
132	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₇	1	24	yes	complemented
133	C₂×C₄×D₄	—	7	48	no	—
134	C₂×C₄×D₄	—	7	24	no	—
135	C₂²×C₄⋊C₄	—	7	4	no	—
136	C₂²×C₄⋊C₄	—	7	2	no	—
137	C₂²×C₄⋊C₄	—	7	1	no	—
138	C₂²×C₄⋊C₄	—	7	2	no	—
139	C₂²×C₄⋊C₄	—	7	4	no	—
140	C₂²×C₄⋊C₄	—	7	48	no	—
141	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₇	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₇	1	2	yes	—
143	C₂²×C₂²⋊C₄	—	7	2	no	—
144	C₂²×C₂²⋊C₄	—	7	4	no	—
145	C₂²×C₄²	C₂×D₇	1	2	yes	—
146	C₂²×C₄²	C₂×D₇	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₇	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
148	C₂³×C₇	C₂×#41	1	4	yes	—
149	C₂³×C₇	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
150	C₂³×C₇	C₂⁵	1	3	yes	—
151	C₂²×D₇	—	2	64	no	—
152	C₂²×D₇	—	2	24	no	—
153	C₂²×D₇	—	2	24	no	—
154	C₂²×D₇	C₂²×Q₈	1	48	yes	—
155	C₂²×D₇	C₂⁵	1	8	yes	—
156	C₇×Q₈	—	2	32	no	—
157	C₂×C₄×C₇	—	2	24	no	—
158	C₂×C₄×C₇	—	2	12	no	—
159	C₂×C₄×C₇	—	2	24	no	—
160	C₂×C₄×C₇	C₂²×Q₈	1	24	yes	—
161	C₂×C₄×C₇	C₂×#41	1	24	yes	—
162	C₂×C₄×C₇	C₂⁵	1	8	yes	—
163	C₂×C₄×C₇	C₂⁵	1	8	yes	—
164	C₂×C₄×C₇	C₂⁵	1	4	yes	—
165	C₂×C₄×C₇	C₂⁵	1	4	yes	—
166	C₂×C₄×C₇	C₂⁵	1	4	yes	—
167	C₂×Dic₇	—	2	24	no	—
168	C₂×Dic₇	—	2	48	no	—
169	C₂×Dic₇	C₂⁵	1	8	yes	—
170	C₂×Dic₇	C₂⁵	1	16	yes	—
171	D₂₈	C₂²×Q₈	1	64	yes	complemented
172	C₄×D₇	—	2	64	no	—
173	C₄×D₇	—	4	64	no	—
174	Dic₁₄	—	4	32	no	—
175	C₂⁵	—	7	2	no	—
176	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
177	C₂²×Q₈	—	7	24	no	—
178	C₂²×Q₈	—	28	8	no	—
179	C₂²×Q₈	C₂²×D₇	1	12	yes	—
180	C₂²×D₄	—	7	16	no	—
181	C₂²×D₄	—	7	12	no	—
182	C₂³×C₄	—	7	2	no	—
183	C₂³×C₄	—	7	4	no	—
184	C₂³×C₄	—	7	24	no	—
185	C₂³×C₄	—	7	48	no	—
186	C₂³×C₄	—	14	16	no	—
187	C₂³×C₄	—	28	16	no	—
188	C₂³×C₄	C₂²×D₇	1	2	yes	—
189	C₂³×C₄	C₂²×D₇	1	1	yes	characteristic
190	C₂³×C₄	C₂²×D₇	1	2	yes	—
191	C₂³×C₄	C₂²×D₇	1	1	yes	characteristic
192	C₂³×C₄	C₂²×D₇	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊Q₈	—	7	64	no	—
194	#125	—	7	128	no	—
195	C₂²⋊Q₈	—	7	128	no	—
196	C₂²⋊Q₈	—	7	256	no	—
197	C₄×Q₈	C₂²×D₇	1	64	yes	complemented
198	C₄×D₄	—	7	128	no	—
199	C₄×D₄	—	7	64	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	7	48	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	7	24	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	7	12	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	7	24	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	7	48	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	7	128	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₇	1	12	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₇	1	24	yes	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	7	24	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	7	48	no	—
210	C₂×C₄²	C₂²×D₇	1	24	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂²×D₇	1	12	yes	—
212	C₂²×C₇	#554	1	16	yes	complemented
213	C₂²×C₇	C₂³×Q₈	1	6	yes	—
214	C₂²×C₇	C₂²×#41	1	6	yes	—
215	C₂²×C₇	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
216	C₂²×C₇	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
217	C₂×D₇	—	2	8	no	—
218	C₂×D₇	—	2	8	no	—
219	C₂×D₇	—	2	96	no	—
220	C₂×D₇	C₂³×Q₈	1	16	yes	—
221	C₄×C₇	—	2	8	no	—
222	C₄×C₇	—	2	4	no	—
223	C₄×C₇	—	2	8	no	—
224	C₄×C₇	C₂³×Q₈	1	8	yes	—
225	C₄×C₇	C₂²×#41	1	8	yes	—
226	Dic₇	—	2	8	no	—
227	Dic₇	—	2	16	no	—
228	C₂⁴	—	7	16	no	—
229	C₂⁴	—	7	12	no	—
230	C₂⁴	—	14	8	no	—
231	C₂⁴	—	14	8	no	—
232	C₂⁴	C₂³×D₇	1	1	yes	characteristic
233	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
234	C₂×Q₈	—	7	32	no	—
235	C₂×Q₈	—	28	48	no	—
236	C₂×Q₈	C₂³×D₇	1	16	yes	—
237	C₂×D₄	—	7	96	no	—
238	C₂×D₄	—	7	16	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	7	12	no	—
243	C₂²×C₄	—	7	24	no	—
244	C₂²×C₄	—	7	32	no	—
245	C₂²×C₄	—	7	64	no	—
246	C₂²×C₄	—	14	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	14	16	no	—
248	C₂²×C₄	—	14	96	no	—
249	C₂²×C₄	—	28	96	no	—
250	C₂²×C₄	#1157	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	Q₈×D₇	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×D₇	1	12	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×D₇	1	6	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×D₇	1	12	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂³×D₇	1	6	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×D₇	1	6	yes	—
257	C₄⋊C₄	—	7	64	no	—
258	C₄⋊C₄	—	7	64	no	—
259	C₄⋊C₄	—	7	32	no	—
260	C₄⋊C₄	—	7	16	no	—
261	C₄⋊C₄	—	7	32	no	—
262	C₄⋊C₄	C₂³×D₇	1	16	yes	—
263	C₄⋊C₄	C₂³×D₇	1	32	yes	—
264	C₂²⋊C₄	—	7	32	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	7	64	no	—
266	C₄²	C₂³×D₇	1	32	yes	—
267	C₄²	C₂³×D₇	1	16	yes	—
268	C₂×C₇	C₂×#554	1	12	yes	complemented
269	C₂×C₇	C₂⁴×Q₈	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₇	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₇	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
272	D₇	—	2	16	no	—
273	C₂³	—	7	8	no	—
274	C₂³	—	7	48	no	—
275	C₂³	—	14	64	no	—
276	C₂³	—	14	24	no	—
277	C₂³	—	14	24	no	—
278	C₂³	C₂×#1157	1	4	yes	—
279	C₂³	C₂×Q₈×D₇	1	4	yes	—
280	C₂³	#6553	1	4	yes	—
281	C₂³	C₂⁴×D₇	1	3	yes	—
282	Q₈	—	2	32	no	—
283	Q₈	—	28	32	no	—
284	D₄	—	7	64	no	—
285	C₂×C₄	—	2	24	no	—
286	C₂×C₄	—	2	24	no	—
287	C₂×C₄	—	2	12	no	—
288	C₂×C₄	—	7	8	no	—
289	C₂×C₄	—	7	16	no	—
290	C₂×C₄	—	14	24	no	—
291	C₂×C₄	—	14	48	no	—
292	C₂×C₄	—	14	64	no	—
293	C₂×C₄	—	28	64	no	—
294	C₂×C₄	C₂×#1157	1	24	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₇	1	24	yes	—
296	C₂×C₄	C₂⁴×D₇	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	C₂⁴×D₇	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂⁴×D₇	1	8	yes	—
299	C₂×C₄	C₂⁴×D₇	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂⁴×D₇	1	4	yes	—
301	C₇	C₂²×#554	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
302	C₂²	—	7	16	no	—
303	C₂²	—	14	8	no	—
304	C₂²	—	14	8	no	—
305	C₂²	—	14	96	no	—
306	C₂²	#90270	1	16	yes	direct product factor
307	C₂²	C₂²×#1157	1	6	yes	—
308	C₂²	C₂²×Q₈×D₇	1	6	yes	—
309	C₂²	C₂×#6553	1	6	yes	—
310	C₂²	C₂⁵×D₇	1	1	yes	characteristic
311	C₄	—	2	8	no	—
312	C₄	—	2	8	no	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	14	8	no	—
315	C₄	—	14	16	no	—
316	C₄	C₂²×#1157	1	8	yes	—
317	C₄	C₂²×Q₈×D₇	1	8	yes	—
318	C₂	—	14	16	no	—
319	C₂	C₂×#90270	1	12	yes	direct product factor
320	C₂	C₂³×#1157	1	1	yes	characteristic
321	C₂	C₂³×Q₈×D₇	1	1	yes	characteristic
322	C₂	C₂²×#6553	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂³×D₇
commutator, cosocle	C₂²×C₇	C₂⁶
Frattini	C₂²	C₂⁵×D₇
Fitting	C₂²×C₄×C₇×Q₈	C₂
socle	C₂⁴×C₇	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₂₈	C₂²
hypercenter	C₂²×C₄×Q₈	D₇
hypocenter	C₇	C₂²×#554
LCS	G ▷ C₂²×C₇ ▷ C₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄×Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₄×C₇×Q₈	C₂	semidirect
2. C₂²×#6509	C₂	semidirect
3. C₂×#90270	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#6459	C₂	semidirect
5. C₂²×D₇×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
8. C₂²×#6432	C₂	semidirect
9. C₂²×#6433	C₂	semidirect
15. C₂×C₄×C₇×Q₈	C₂²	semidirect
20. C₂×#6509	C₂²	semidirect
28. #90270	C₂²	direct (N × H)
29. C₂×#6459	C₂²	semidirect
30. C₂×D₇×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
33. C₂×#6433	C₂²	semidirect
34. C₂×#6432	C₂²	semidirect
46. C₂²×D₂₈	Q₈	semidirect
54. C₄×C₇×Q₈	C₂³	semidirect
59. #6509	C₂³	semidirect
67. #6459	C₂³	semidirect
68. D₇×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
71. #6433	C₂³	semidirect
72. #6432	C₂³	semidirect
78. C₂²×C₄×Q₈	D₇	semidirect
103. C₂×D₂₈	C₂×Q₈	semidirect
132. C₂×C₄×Q₈	C₂×D₇	semidirect
171. D₂₈	C₂²×Q₈	semidirect
197. C₄×Q₈	C₂²×D₇	semidirect
212. C₂²×C₇	#554	semidirect
268. C₂×C₇	C₂×#554	semidirect
301. C₇	C₂²×#554	semidirect
306. C₂²	#90270	direct (N × H)
319. C₂	C₂×#90270	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×C₇×Q₈	2
C₂²×#6509	2
C₂×#90270	2
C₂²×#6459	2
C₂²×D₇×C₄⋊C₄	2
C₂²×C₄×D₂₈	2
C₂²×#6432	2
C₂²×#6433	2
C₂²×#554	7

Subgroups — C22×#90270 #14260769

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#90270 #14260769