Subgroups — C₂×#14521522 #16858896

Order 3968.

1920 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 248 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₂²⋊D₃₁	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#14521522	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
3	C₂×C₄×C₂²⋊D₃₁	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×(C₂²⋊D₃₁)⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×#11758454	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×C₂²⋊Dic₃₁	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×C₂²⋊C₄×D₃₁	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂⁵×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×D₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₄×C₃₁	C₂²	1	2	yes	complemented
12	C₂²×C₂²⋊D₃₁	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×C₂²⋊D₃₁	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊D₃₁	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊D₃₁	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂³×Dic₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×Dic₃₁	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂²×C₄×D₃₁	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	8	yes	complemented
21	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×C₂²⋊Dic₃₁	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Dic₃₁	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×C₂²⋊Dic₃₁	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₄×C₂²⋊D₃₁	C₂²	1	32	yes	complemented
26	C₂×(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×Dic₃₁⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×C₄×Dic₃₁	C₂²	1	4	yes	complemented
29	(C₂²⋊D₃₁)⋊C₄	C₂²	1	32	yes	complemented
30	C₂²⋊C₄×D₃₁	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#11758454	C₂²	1	16	yes	complemented
32	C₂⁴×C₃₁	—	4	4	no	—
33	C₂⁴×C₃₁	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
34	C₂⁴×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂⁴×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁴×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂⁴×C₃₁	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×D₃₁	—	4	4	no	—
39	C₂³×D₃₁	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
40	C₂³×D₃₁	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×D₃₁	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
43	C₂²×C₄×C₃₁	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×C₄×C₃₁	C₂³	1	8	yes	complemented
45	C₂×C₂²⋊D₃₁	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
46	C₂×C₂²⋊D₃₁	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
47	C₂×C₂²⋊D₃₁	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
48	C₂×C₂²⋊D₃₁	C₂³	1	8	yes	—
49	C₂×C₂²⋊D₃₁	C₂³	1	8	yes	—
50	C₂²×Dic₃₁	—	4	4	no	—
51	C₂²×Dic₃₁	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
52	C₂²×Dic₃₁	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×Dic₃₁	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Dic₃₁	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×Dic₃₁	C₂³	1	8	yes	complemented
56	C₂×C₄×D₃₁	—	4	8	no	—
57	C₂×C₄×D₃₁	C₂³	1	16	yes	complemented
58	C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂³	1	8	yes	complemented
60	C₂²⋊Dic₃₁	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂²⋊Dic₃₁	C₂³	1	8	yes	complemented
62	(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂³	1	16	yes	complemented
63	Dic₃₁⋊C₄	C₂³	1	16	yes	complemented
64	C₄×Dic₃₁	C₂³	1	16	yes	complemented
65	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
66	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
67	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
68	C₂³×C₃₁	—	4	16	no	—
69	C₂³×C₃₁	—	4	8	no	—
70	C₂³×C₃₁	C₂²×C₄	1	4	yes	—
71	C₂³×C₃₁	C₂²×C₄	1	4	yes	—
72	C₂³×C₃₁	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂³×C₃₁	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
74	C₂³×C₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
75	C₂³×C₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
76	C₂³×C₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
77	C₂³×C₃₁	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×D₃₁	—	2	8	no	—
79	C₂²×D₃₁	—	4	16	no	—
80	C₂²×D₃₁	—	4	8	no	—
81	C₂²×D₃₁	C₂²×C₄	1	8	yes	—
82	C₂²×D₃₁	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
83	C₂²×D₃₁	C₂⁴	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
85	C₂×C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
86	C₂×C₄×C₃₁	C₂⁴	1	8	yes	—
87	C₂²⋊D₃₁	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
88	C₂²⋊D₃₁	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
89	C₂×Dic₃₁	—	2	8	no	—
90	C₂×Dic₃₁	—	4	8	no	—
91	C₂×Dic₃₁	C₂²×C₄	1	8	yes	—
92	C₂×Dic₃₁	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
93	C₂×Dic₃₁	C₂⁴	1	8	yes	—
94	C₂×Dic₃₁	C₂⁴	1	4	yes	—
95	C₄×D₃₁	—	4	16	no	—
96	C₂×#518	—	31	1	no	maximal, Sylow
97	C₂²×C₃₁	—	2	8	no	—
98	C₂²×C₃₁	—	2	8	no	—
99	C₂²×C₃₁	—	2	8	no	—
100	C₂²×C₃₁	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₃₁	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₃₁	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₃₁	—	4	16	no	—
104	C₂²×C₃₁	C₂³×C₄	1	4	yes	—
105	C₂²×C₃₁	C₂³×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×C₃₁	C₂³×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×C₃₁	C₂³×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₃₁	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
109	C₂²×C₃₁	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
110	C₂×D₃₁	—	2	16	no	—
111	C₂×D₃₁	—	2	8	no	—
112	C₂×D₃₁	—	4	16	no	—
113	C₂×D₃₁	C₂³×C₄	1	8	yes	—
114	C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
115	Dic₃₁	—	2	8	no	—
116	Dic₃₁	C₂³×C₄	1	8	yes	—
117	C₂³×D₄	—	31	1	no	—
118	#518	—	31	16	no	—
119	C₂×C₄×D₄	—	31	4	no	—
120	C₂×C₄×D₄	—	31	4	no	—
121	C₂×#117	—	31	2	no	—
122	C₂²×C₂²⋊C₄	—	31	1	no	—
123	C₂²×C₂²⋊C₄	—	31	2	no	—
124	C₂²×C₂²⋊C₄	D₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
125	C₂×C₃₁	—	2	4	no	—
126	C₂×C₃₁	—	2	4	no	—
127	C₂×C₃₁	—	2	4	no	—
128	C₂×C₃₁	#518	1	4	yes	complemented
129	C₂×C₃₁	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₃₁	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
131	D₃₁	—	2	8	no	—
132	C₂⁵	—	31	1	no	—
133	C₂⁵	C₂×D₃₁	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×D₄	—	31	16	no	—
135	C₂²×D₄	—	31	2	no	—
136	C₂²×D₄	—	31	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	31	8	no	—
138	C₂³×C₄	—	31	1	no	—
139	C₂³×C₄	—	31	2	no	—
140	C₂³×C₄	—	31	4	no	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₃₁	1	2	yes	complemented
142	C₄×D₄	—	31	32	no	—
143	C₄×D₄	—	31	32	no	—
144	#117	—	31	16	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	31	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	31	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	31	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	31	8	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	31	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	31	16	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₃₁	1	2	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₃₁	1	8	yes	complemented
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₃₁	1	2	yes	complemented
154	C₂×C₄²	—	31	4	no	—
155	C₃₁	C₂×#518	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
156	C₂⁴	—	4	4	no	—
157	C₂⁴	—	31	2	no	—
158	C₂⁴	—	31	8	no	—
159	C₂⁴	—	31	4	no	—
160	C₂⁴	—	124	4	no	—
161	C₂⁴	C₄×D₃₁	1	8	yes	complemented
162	C₂⁴	C₂²×D₃₁	1	1	yes	characteristic
163	C₂⁴	C₂²×D₃₁	1	1	yes	characteristic
164	C₂⁴	C₂²×D₃₁	1	1	yes	characteristic
165	C₂⁴	C₂²×D₃₁	1	4	yes	—
166	C₂×D₄	—	31	16	no	—
167	C₂×D₄	—	31	16	no	—
168	C₂×D₄	—	31	64	no	—
169	C₂×D₄	—	31	8	no	—
170	C₂×D₄	—	31	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	31	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	31	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	31	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	31	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	31	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	31	16	no	—
178	C₂²×C₄	—	124	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	124	4	no	—
180	C₂²×C₄	C₂²×D₃₁	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂²×D₃₁	1	8	yes	complemented
182	C₄⋊C₄	—	31	16	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	31	8	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	31	8	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	31	16	no	—
186	C₂²⋊C₄	C₂²×D₃₁	1	8	yes	—
187	C₂²⋊C₄	C₂²×D₃₁	1	8	yes	complemented
188	C₄²	—	31	16	no	—
189	C₂³	—	2	4	no	—
190	C₂³	—	2	4	no	—
191	C₂³	—	2	4	no	—
192	C₂³	—	4	16	no	—
193	C₂³	—	4	8	no	—
194	C₂³	—	31	8	no	—
195	C₂³	—	31	4	no	—
196	C₂³	—	31	16	no	—
197	C₂³	—	62	8	no	—
198	C₂³	—	124	8	no	—
199	C₂³	—	124	16	no	—
200	C₂³	C₂×C₄×D₃₁	1	4	yes	—
201	C₂³	C₂×C₄×D₃₁	1	4	yes	—
202	C₂³	C₂×C₄×D₃₁	1	4	yes	—
203	C₂³	C₂×C₄×D₃₁	1	16	yes	complemented
204	C₂³	C₂³×D₃₁	1	2	yes	—
205	C₂³	C₂³×D₃₁	1	2	yes	—
206	C₂³	C₂³×D₃₁	1	2	yes	—
207	C₂³	C₂³×D₃₁	1	1	yes	characteristic
208	D₄	—	31	32	no	—
209	D₄	—	31	32	no	—
210	C₂×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂×C₄	—	31	8	no	—
213	C₂×C₄	—	31	16	no	—
214	C₂×C₄	—	31	4	no	—
215	C₂×C₄	—	31	8	no	—
216	C₂×C₄	—	62	8	no	—
217	C₂×C₄	—	124	16	no	—
218	C₂×C₄	—	124	8	no	—
219	C₂×C₄	C₂³×D₃₁	1	8	yes	—
220	C₂²	—	2	4	no	—
221	C₂²	—	2	4	no	—
222	C₂²	—	2	4	no	—
223	C₂²	—	2	8	no	—
224	C₂²	—	2	8	no	—
225	C₂²	—	2	8	no	—
226	C₂²	—	4	16	no	—
227	C₂²	—	31	8	no	—
228	C₂²	—	62	8	no	—
229	C₂²	—	62	16	no	—
230	C₂²	—	124	16	no	—
231	C₂²	C₂²×C₄×D₃₁	1	4	yes	—
232	C₂²	C₂²×C₄×D₃₁	1	4	yes	—
233	C₂²	C₂²×C₄×D₃₁	1	4	yes	—
234	C₂²	C₂²×C₄×D₃₁	1	2	yes	—
235	C₂²	#11758561	1	4	yes	—
236	C₂²	C₂⁴×D₃₁	1	1	yes	characteristic
237	C₄	—	2	8	no	—
238	C₄	—	31	8	no	—
239	C₄	—	62	8	no	—
240	C₂	—	2	4	no	—
241	C₂	—	2	4	no	—
242	C₂	—	2	4	no	—
243	C₂	—	62	8	no	—
244	C₂	#14521522	1	4	yes	direct product factor
245	C₂	C₂³×C₄×D₃₁	1	1	yes	characteristic
246	C₂	C₂×#11758561	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂³×D₃₁
commutator	C₂×C₃₁	C₂⁴×C₄
Frattini	C₂²	C₂⁴×D₃₁
Fitting	C₂²×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂
socle	C₂³×C₃₁	C₂⁴
prime radical	C₂³×C₂²⋊D₃₁	C₂
cosocle	C₂²×C₃₁	C₂⁵
hypercenter	C₂²×C₂²⋊C₄	D₃₁
hypocenter	C₃₁	C₂×#518
LCS	G ▷ C₂×C₃₁ ▷ C₃₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₂²⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #14521522	C₂	direct (N × H)
3. C₂×C₄×C₂²⋊D₃₁	C₂	semidirect
4. C₂×(C₂²⋊D₃₁)⋊C₄	C₂	semidirect
5. C₂×#11758454	C₂	semidirect
6. C₂²×C₂²⋊Dic₃₁	C₂	semidirect
7. C₂×C₂²⋊C₄×D₃₁	C₂	semidirect
8. C₂²×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂	semidirect
11. C₂³×C₄×C₃₁	C₂²	semidirect
12. C₂²×C₂²⋊D₃₁	C₄	semidirect
17. C₂³×Dic₃₁	C₂²	semidirect
18. C₂²×C₄×D₃₁	C₂²	semidirect
20. C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂²	semidirect
21. C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂²	semidirect
23. C₂×C₂²⋊Dic₃₁	C₂²	semidirect
24. C₂×C₂²⋊Dic₃₁	C₂²	semidirect
25. C₄×C₂²⋊D₃₁	C₂²	semidirect
26. C₂×(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂²	semidirect
27. C₂×Dic₃₁⋊C₄	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×Dic₃₁	C₂²	semidirect
29. (C₂²⋊D₃₁)⋊C₄	C₂²	semidirect
30. C₂²⋊C₄×D₃₁	C₂²	semidirect
31. #11758454	C₂²	semidirect
33. C₂⁴×C₃₁	C₂×C₄	semidirect
39. C₂³×D₃₁	C₂×C₄	semidirect
44. C₂²×C₄×C₃₁	C₂³	semidirect
45. C₂×C₂²⋊D₃₁	C₂×C₄	semidirect
46. C₂×C₂²⋊D₃₁	C₂×C₄	semidirect
47. C₂×C₂²⋊D₃₁	C₂×C₄	semidirect
51. C₂²×Dic₃₁	C₂×C₄	semidirect
55. C₂²×Dic₃₁	C₂³	semidirect
57. C₂×C₄×D₃₁	C₂³	semidirect
59. C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂³	semidirect
61. C₂²⋊Dic₃₁	C₂³	semidirect
62. (C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂³	semidirect
63. Dic₃₁⋊C₄	C₂³	semidirect
64. C₄×Dic₃₁	C₂³	semidirect
73. C₂³×C₃₁	C₂²×C₄	semidirect
82. C₂²×D₃₁	C₂²×C₄	semidirect
87. C₂²⋊D₃₁	C₂²×C₄	semidirect
88. C₂²⋊D₃₁	C₂²×C₄	semidirect
92. C₂×Dic₃₁	C₂²×C₄	semidirect
124. C₂²×C₂²⋊C₄	D₃₁	semidirect
128. C₂×C₃₁	#518	semidirect
141. C₂³×C₄	C₂×D₃₁	semidirect
152. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₃₁	semidirect
153. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₃₁	semidirect
155. C₃₁	C₂×#518	semidirect
161. C₂⁴	C₄×D₃₁	semidirect
181. C₂²×C₄	C₂²×D₃₁	semidirect
187. C₂²⋊C₄	C₂²×D₃₁	semidirect
203. C₂³	C₂×C₄×D₃₁	semidirect
244. C₂	#14521522	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₂²⋊D₃₁	2
#14521522	2
C₂×C₄×C₂²⋊D₃₁	2
C₂×(C₂²⋊D₃₁)⋊C₄	2
C₂×#11758454	2
C₂²×C₂²⋊Dic₃₁	2
C₂×C₂²⋊C₄×D₃₁	2
C₂²×C₂²⋊C₄×C₃₁	2
C₂×#518	31

Subgroups — C2×#14521522 #16858896

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#14521522 #16858896