Subgroups — C₂×#14521752 #16859237

Order 3968.

1252 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#14521752	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
2	C₂×#11758475	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#11758471	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#11758472	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#11758472	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#11758472	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×C₄×D₁₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₄×D₁₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#11758470	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#11758469	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×C₄⋊C₄×D₃₁	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₃₁×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×D₁₂₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₁₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×D₁₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×D₁₂₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×D₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×D₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×D₃₁	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×D₃₁	C₂²	1	2	yes	—
21	C₃₁×#125	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄²×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄⋊Dic₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊Dic₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×Dic₃₁⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×Dic₃₁	C₂²	1	2	yes	—
37	#11758475	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#11758472	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#11758472	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#11758472	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#11758471	C₂²	1	16	yes	complemented
42	#11758470	C₂²	1	16	yes	complemented
43	#11758469	C₂²	1	8	yes	complemented
44	C₄⋊C₄×D₃₁	C₂²	1	8	yes	complemented
45	C₄×D₁₂₄	C₂²	1	8	yes	complemented
46	C₄×D₁₂₄	C₂²	1	8	yes	complemented
47	C₂³×D₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×D₃₁	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×D₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×Dic₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×Dic₃₁	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×Dic₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×D₁₂₄	—	2	8	no	—
59	C₂×D₁₂₄	—	2	4	no	—
60	C₂×D₁₂₄	—	2	4	no	—
61	C₂×D₁₂₄	—	4	4	no	—
62	C₂×D₁₂₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×D₁₂₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×D₁₂₄	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×D₁₂₄	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×C₄×D₃₁	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×D₃₁	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×D₃₁	—	4	4	no	—
69	C₂×C₄×D₃₁	—	4	4	no	—
70	C₂×C₄×D₃₁	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×D₃₁	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×D₃₁	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×C₄×D₃₁	C₂³	1	8	yes	—
74	C₄⋊C₄×C₃₁	C₂³	1	4	yes	—
75	C₄⋊C₄×C₃₁	C₂³	1	4	yes	—
76	C₄⋊C₄×C₃₁	C₂³	1	8	yes	—
77	C₄⋊C₄×C₃₁	C₂³	1	8	yes	—
78	C₄²×C₃₁	C₂³	1	4	yes	—
79	(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
82	(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
83	(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
84	(C₂×D₃₁)⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
85	C₄⋊Dic₃₁	C₂³	1	4	yes	—
86	C₄⋊Dic₃₁	C₂³	1	4	yes	—
87	Dic₃₁⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
88	C₄×Dic₃₁	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂³×C₃₁	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×D₃₁	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₃₁	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₃₁	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₃₁	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₃₁	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₃₁	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₃₁	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₃₁	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₃₁	#41	1	4	yes	—
99	C₂²×D₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
100	C₂²×D₃₁	C₂⁴	1	4	yes	—
101	C₂²×D₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄×C₃₁	#41	1	4	yes	—
107	C₂×C₄×C₃₁	C₂⁴	1	4	yes	—
108	C₂×C₄×C₃₁	C₂⁴	1	4	yes	—
109	C₂×C₄×C₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
112	C₂×Dic₃₁	—	2	2	no	—
113	C₂×Dic₃₁	—	2	2	no	—
114	C₂×Dic₃₁	—	2	4	no	—
115	C₂×Dic₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
116	C₂×Dic₃₁	C₂⁴	1	4	yes	—
117	C₂×Dic₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
118	D₁₂₄	—	2	8	no	—
119	D₁₂₄	—	2	16	no	—
120	D₁₂₄	—	2	8	no	—
121	D₁₂₄	—	4	8	no	—
122	C₄×D₃₁	—	2	8	no	—
123	C₄×D₃₁	—	2	8	no	—
124	C₄×D₃₁	—	4	8	no	—
125	C₄×D₃₁	—	4	8	no	—
126	C₂×#553	—	31	1	no	maximal, Sylow
127	C₂²×C₃₁	C₂×#41	1	2	yes	—
128	C₂²×C₃₁	C₂×#41	1	2	yes	—
129	C₂²×C₃₁	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
130	C₂²×C₃₁	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
131	C₂×D₃₁	—	2	8	no	—
132	C₂×D₃₁	—	2	2	no	—
133	C₂×D₃₁	—	2	2	no	—
134	C₂×D₃₁	—	2	2	no	—
135	C₂×D₃₁	—	2	2	no	—
136	C₂×D₃₁	—	2	4	no	—
137	C₂×D₃₁	—	2	4	no	—
138	C₂×D₃₁	—	2	4	no	—
139	C₂×D₃₁	—	2	2	no	—
140	C₂×D₃₁	—	4	4	no	—
141	C₂×D₃₁	—	4	8	no	—
142	C₂×D₃₁	C₂×#41	1	4	yes	—
143	C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
144	C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
145	C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
146	C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
147	C₄×C₃₁	C₂×#41	1	4	yes	—
148	Dic₃₁	—	2	2	no	—
149	Dic₃₁	—	2	2	no	—
150	Dic₃₁	—	2	4	no	—
151	#553	—	31	16	no	—
152	C₂×#126	—	31	2	no	—
153	C₂×#125	D₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
154	C₂×#123	—	31	2	no	—
155	C₂×#121	—	31	2	no	—
156	C₂×#121	—	31	1	no	—
157	C₂×#121	—	31	1	no	—
158	C₂×C₄×D₄	—	31	2	no	—
159	C₂×C₄×D₄	—	31	1	no	—
160	C₂×C₄×D₄	—	31	1	no	—
161	C₂×#117	—	31	1	no	—
162	C₂²×C₄⋊C₄	—	31	1	no	—
163	C₂×C₃₁	#553	1	4	yes	complemented
164	C₂×C₃₁	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₃₁	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₃₁	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
167	D₃₁	—	2	4	no	—
168	D₃₁	—	4	2	no	—
169	D₃₁	—	4	4	no	—
170	C₂²×D₄	—	31	2	no	—
171	C₂²×D₄	—	31	1	no	—
172	C₂²×D₄	—	31	1	no	—
173	C₂²×D₄	—	31	2	no	—
174	C₂³×C₄	—	31	1	no	—
175	C₂³×C₄	—	31	1	no	—
176	C₂³×C₄	—	31	2	no	—
177	C₂³×C₄	—	31	2	no	—
178	#126	—	31	16	no	—
179	#125	C₂×D₃₁	1	8	yes	complemented
180	#123	—	31	16	no	—
181	#121	—	31	16	no	—
182	#121	—	31	8	no	—
183	#121	—	31	8	no	—
184	C₄×D₄	—	31	16	no	—
185	C₄×D₄	—	31	8	no	—
186	C₄×D₄	—	31	8	no	—
187	#117	—	31	8	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	31	1	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	31	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	31	1	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	31	8	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃₁	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃₁	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃₁	1	2	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃₁	1	2	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	31	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	31	1	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	31	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	31	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	31	1	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	31	2	no	—
202	C₂×C₄²	—	31	2	no	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₃₁	1	1	yes	characteristic
204	C₃₁	C₂×#553	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
205	C₂⁴	—	31	1	no	—
206	C₂⁴	—	31	1	no	—
207	C₂⁴	—	31	2	no	—
208	C₂×D₄	—	31	8	no	—
209	C₂×D₄	—	31	4	no	—
210	C₂×D₄	—	31	4	no	—
211	C₂×D₄	—	31	8	no	—
212	C₂×D₄	—	62	8	no	—
213	C₂×D₄	—	62	4	no	—
214	C₂×D₄	—	62	4	no	—
215	C₂×D₄	—	124	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	31	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	31	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	31	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	31	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	31	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	31	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	31	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	62	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	62	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	124	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	124	4	no	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₃₁	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₃₁	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₃₁	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₃₁	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₃₁	1	1	yes	characteristic
232	C₄⋊C₄	—	31	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	31	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	31	4	no	—
235	C₄⋊C₄	C₂²×D₃₁	1	4	yes	—
236	C₄⋊C₄	C₂²×D₃₁	1	4	yes	—
237	C₄⋊C₄	C₂²×D₃₁	1	8	yes	—
238	C₄⋊C₄	C₂²×D₃₁	1	8	yes	—
239	C₂²⋊C₄	—	31	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	31	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	31	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	31	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	31	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	31	8	no	—
245	C₄²	—	31	8	no	—
246	C₄²	C₂²×D₃₁	1	4	yes	—
247	C₂³	—	31	4	no	—
248	C₂³	—	31	2	no	—
249	C₂³	—	31	2	no	—
250	C₂³	—	31	4	no	—
251	C₂³	—	62	2	no	—
252	C₂³	—	62	2	no	—
253	C₂³	—	62	2	no	—
254	C₂³	—	62	4	no	—
255	C₂³	—	62	2	no	—
256	C₂³	—	62	4	no	—
257	C₂³	—	62	4	no	—
258	C₂³	—	62	2	no	—
259	C₂³	C₂³×D₃₁	1	1	yes	characteristic
260	D₄	—	62	16	no	—
261	D₄	—	62	8	no	—
262	D₄	—	62	8	no	—
263	D₄	—	124	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	31	2	no	—
269	C₂×C₄	—	31	4	no	—
270	C₂×C₄	—	31	2	no	—
271	C₂×C₄	—	62	2	no	—
272	C₂×C₄	—	62	2	no	—
273	C₂×C₄	—	62	4	no	—
274	C₂×C₄	—	62	8	no	—
275	C₂×C₄	—	62	8	no	—
276	C₂×C₄	—	124	8	no	—
277	C₂×C₄	—	124	8	no	—
278	C₂×C₄	#92499	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂³×D₃₁	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂³×D₃₁	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂³×D₃₁	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂³×D₃₁	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂³×D₃₁	1	2	yes	—
284	C₂²	—	31	4	no	—
285	C₂²	—	62	2	no	—
286	C₂²	—	62	2	no	—
287	C₂²	—	62	8	no	—
288	C₂²	—	62	2	no	—
289	C₂²	—	62	4	no	—
290	C₂²	—	62	2	no	—
291	C₂²	—	62	4	no	—
292	C₂²	—	62	4	no	—
293	C₂²	—	62	2	no	—
294	C₂²	—	124	4	no	—
295	C₂²	—	124	8	no	—
296	C₂²	C₂×#92499	1	2	yes	—
297	C₂²	#41×D₃₁	1	2	yes	—
298	C₂²	#11758566	1	2	yes	—
299	C₂²	C₂⁴×D₃₁	1	1	yes	characteristic
300	C₄	—	2	4	no	—
301	C₄	—	2	2	no	—
302	C₄	—	2	2	no	—
303	C₄	—	2	4	no	—
304	C₄	—	62	2	no	—
305	C₄	—	62	2	no	—
306	C₄	—	62	4	no	—
307	C₄	C₂×#92499	1	4	yes	—
308	C₂	—	62	4	no	—
309	C₂	—	124	2	no	—
310	C₂	—	124	4	no	—
311	C₂	#14521752	1	4	yes	direct product factor
312	C₂	C₂×#41×D₃₁	1	1	yes	characteristic
313	C₂	C₂²×#92499	1	1	yes	characteristic
314	C₂	C₂×#11758566	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂³×D₃₁
commutator, cosocle	C₂²×C₃₁	C₂⁵
Frattini	C₂²	C₂⁴×D₃₁
Fitting	C₂×C₃₁×#125	C₂
socle	C₂³×C₃₁	C₂⁴
hypercenter	C₂×#125	D₃₁
hypocenter	C₃₁	C₂×#553
LCS	G ▷ C₂²×C₃₁ ▷ C₃₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#125

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #14521752	C₂	direct (N × H)
2. C₂×#11758475	C₂	semidirect
3. C₂×#11758471	C₂	semidirect
4. C₂×#11758472	C₂	semidirect
5. C₂×#11758472	C₂	semidirect
6. C₂×#11758472	C₂	semidirect
7. C₂×C₄×D₁₂₄	C₂	semidirect
8. C₂×C₄×D₁₂₄	C₂	semidirect
9. C₂×#11758470	C₂	semidirect
10. C₂×#11758469	C₂	semidirect
11. C₂×C₄⋊C₄×D₃₁	C₂	semidirect
12. C₂×C₃₁×#125	C₂	semidirect
21. C₃₁×#125	C₂²	semidirect
37. #11758475	C₂²	semidirect
38. #11758472	C₂²	semidirect
39. #11758472	C₂²	semidirect
40. #11758472	C₂²	semidirect
41. #11758471	C₂²	semidirect
42. #11758470	C₂²	semidirect
43. #11758469	C₂²	semidirect
44. C₄⋊C₄×D₃₁	C₂²	semidirect
45. C₄×D₁₂₄	C₂²	semidirect
46. C₄×D₁₂₄	C₂²	semidirect
153. C₂×#125	D₃₁	semidirect
163. C₂×C₃₁	#553	semidirect
179. #125	C₂×D₃₁	semidirect
204. C₃₁	C₂×#553	semidirect
311. C₂	#14521752	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#14521752	2
C₂×#11758475	2
C₂×#11758471	2
C₂×#11758472	2
C₂×C₄×D₁₂₄	2
C₂×#11758470	2
C₂×#11758469	2
C₂×C₄⋊C₄×D₃₁	2
C₂×C₃₁×#125	2
C₂×#553	31

Subgroups — C2×#14521752 #16859237

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#14521752 #16859237