Subgroups — C₂×C₄²×D₆₈ #17192517

Order 4352.

5694 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 248 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₆₈	C₂	1	3	yes	maximal
2	C₂²×C₄²×D₁₇	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₄²×D₆₈	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×C₄×C₄⋊Dic₁₇	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₄×#63227	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₄³×C₁₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×C₄×D₁₇	C₂²	1	6	yes	—
9	C₂×C₄×D₆₈	C₄	1	48	yes	direct product factor
10	C₂×C₄×D₆₈	C₂²	1	24	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Dic₁₇	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂²×#63227	C₂²	1	6	yes	—
13	C₂²×C₄×Dic₁₇	C₂²	1	6	yes	—
14	C₂×C₄²×D₁₇	—	2	16	no	—
15	C₂×C₄²×D₁₇	C₂²	1	16	yes	complemented
16	C₄×C₄⋊Dic₁₇	C₂²	1	24	yes	complemented
17	C₄×#63227	C₂²	1	48	yes	complemented
18	C₂×#10587502	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂²×C₄²×C₁₇	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂²×C₄²×C₁₇	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂²×C₄²×C₁₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄³×C₁₇	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂⁴×D₁₇	C₂³	1	2	yes	—
24	C₂³×C₄×C₁₇	C₂³	1	3	yes	—
25	C₂³×C₄×C₁₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×C₄×C₁₇	C₂³	1	3	yes	—
27	C₂³×Dic₁₇	C₂³	1	6	yes	—
28	C₂²×D₆₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
29	C₂²×D₆₈	C₂³	1	4	yes	—
30	C₂²×C₄×D₁₇	—	2	24	no	—
31	C₂²×C₄×D₁₇	—	2	24	no	—
32	C₂²×C₄×D₁₇	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
33	C₂²×C₄×D₁₇	C₂³	1	24	yes	—
34	C₂×C₄²×C₁₇	—	2	12	no	—
35	C₂×C₄²×C₁₇	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
36	C₂×C₄²×C₁₇	D₄	1	8	yes	complemented
37	C₂×C₄²×C₁₇	C₂³	1	12	yes	—
38	C₂×C₄²×C₁₇	C₂³	1	12	yes	—
39	C₂×C₄²×C₁₇	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×#63227	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
41	C₂×#63227	C₂³	1	24	yes	—
42	C₂×C₄⋊Dic₁₇	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
43	C₂×C₄⋊Dic₁₇	C₂³	1	12	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₁₇	—	2	24	no	—
45	C₂×C₄×Dic₁₇	C₂³	1	24	yes	—
46	C₄×D₆₈	C₂×C₄	1	192	yes	direct product factor
47	C₄²×D₁₇	—	2	64	no	—
48	#10587502	C₂³	1	24	yes	—
49	C₂⁴×C₁₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×D₁₇	—	2	4	no	—
51	C₂³×D₁₇	—	2	12	no	—
52	C₂³×D₁₇	C₂²×C₄	1	24	yes	—
53	C₂³×D₁₇	C₂⁴	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄×C₁₇	—	2	12	no	—
55	C₂²×C₄×C₁₇	C₂²×C₄	1	12	yes	—
56	C₂²×C₄×C₁₇	C₂²×C₄	1	12	yes	—
57	C₂²×C₄×C₁₇	C₂²×C₄	1	12	yes	—
58	C₂²×C₄×C₁₇	C₂×D₄	1	12	yes	—
59	C₂²×C₄×C₁₇	#41	1	12	yes	—
60	C₂²×C₄×C₁₇	C₂⁴	1	6	yes	—
61	C₂²×C₄×C₁₇	C₂⁴	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄×C₁₇	C₂⁴	1	6	yes	—
63	C₂²×Dic₁₇	—	2	12	no	—
64	C₂²×Dic₁₇	—	2	12	no	—
65	C₂²×Dic₁₇	C₂²×C₄	1	24	yes	—
66	C₂²×Dic₁₇	C₂⁴	1	12	yes	—
67	C₂×D₆₈	C₄²	1	64	yes	direct product factor
68	C₂×D₆₈	C₂²×C₄	1	48	yes	—
69	C₂×C₄×D₁₇	—	2	192	no	—
70	C₂×C₄×D₁₇	—	2	48	no	—
71	C₂×C₄×D₁₇	—	2	48	no	—
72	C₂×C₄×D₁₇	C₂²×C₄	1	96	yes	complemented
73	C₄²×C₁₇	—	2	24	no	—
74	C₄²×C₁₇	C₂²×C₄	1	48	yes	complemented
75	C₄²×C₁₇	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
76	#63227	C₂²×C₄	1	96	yes	complemented
77	C₄⋊Dic₁₇	C₂²×C₄	1	48	yes	complemented
78	C₄×Dic₁₇	—	2	48	no	—
79	C₂×C₄²×D₄	—	17	1	no	maximal, Sylow
80	C₂³×C₁₇	C₂³×C₄	1	6	yes	—
81	C₂³×C₁₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
82	C₂³×C₁₇	C₂×#41	1	6	yes	—
83	C₂³×C₁₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×D₁₇	—	2	48	no	—
85	C₂²×D₁₇	—	2	48	no	—
86	C₂²×D₁₇	—	2	4	no	—
87	C₂²×D₁₇	—	2	12	no	—
88	C₂²×D₁₇	C₂×C₄²	1	32	yes	complemented
89	C₂²×D₁₇	C₂³×C₄	1	24	yes	—
90	C₂×C₄×C₁₇	—	2	24	no	—
91	C₂×C₄×C₁₇	—	2	12	no	—
92	C₂×C₄×C₁₇	C₂×C₄²	1	16	yes	complemented
93	C₂×C₄×C₁₇	C₄×D₄	1	48	yes	complemented
94	C₂×C₄×C₁₇	C₂³×C₄	1	12	yes	—
95	C₂×C₄×C₁₇	C₂³×C₄	1	12	yes	—
96	C₂×C₄×C₁₇	C₂³×C₄	1	12	yes	—
97	C₂×C₄×C₁₇	C₂²×D₄	1	12	yes	—
98	C₂×C₄×C₁₇	C₂×#41	1	12	yes	—
99	C₂×Dic₁₇	—	2	48	no	—
100	C₂×Dic₁₇	—	2	12	no	—
101	C₂×Dic₁₇	—	2	12	no	—
102	C₂×Dic₁₇	C₂³×C₄	1	24	yes	—
103	D₆₈	C₂×C₄²	1	64	yes	direct product factor
104	C₄×D₁₇	—	2	192	no	—
105	C₂²×C₄×D₄	—	17	3	no	—
106	C₂³×C₄²	—	17	2	no	—
107	C₄²×D₄	—	17	16	no	—
108	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	17	3	no	—
109	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	17	6	no	—
110	C₂×C₄³	D₁₇	1	1	yes	characteristic, complemented
111	C₂²×C₁₇	C₂²×C₄²	1	4	yes	—
112	C₂²×C₁₇	C₂×C₄×D₄	1	12	yes	—
113	C₂²×C₁₇	C₄×#41	1	12	yes	—
114	C₂²×C₁₇	C₂⁴×C₄	1	3	yes	—
115	C₂²×C₁₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₁₇	C₂²×#41	1	3	yes	—
117	C₂×D₁₇	—	2	24	no	—
118	C₂×D₁₇	—	2	24	no	—
119	C₂×D₁₇	—	2	64	no	—
120	C₂×D₁₇	C₂²×C₄²	1	16	yes	complemented
121	C₄×C₁₇	—	2	12	no	—
122	C₄×C₁₇	C₂²×C₄²	1	8	yes	complemented
123	C₄×C₁₇	C₂×C₄×D₄	1	24	yes	complemented
124	Dic₁₇	—	2	24	no	—
125	C₂³×D₄	—	17	1	no	—
126	C₂⁴×C₄	—	17	6	no	—
127	C₂×C₄×D₄	—	17	48	no	—
128	C₂×C₄×D₄	—	17	24	no	—
129	C₂²×C₄⋊C₄	—	17	3	no	—
130	C₂²×C₂²⋊C₄	—	17	6	no	—
131	C₂²×C₄²	—	17	6	no	—
132	C₂²×C₄²	—	17	16	no	—
133	C₂²×C₄²	—	34	16	no	—
134	C₂²×C₄²	C₂×D₁₇	1	3	yes	—
135	C₂²×C₄²	C₂×D₁₇	1	3	yes	—
136	C₂²×C₄²	C₂×D₁₇	1	1	yes	characteristic
137	C₄×C₄⋊C₄	—	17	24	no	—
138	C₄×C₂²⋊C₄	—	17	48	no	—
139	C₂×#95	—	17	6	no	—
140	C₄³	C₂×D₁₇	1	8	yes	complemented
141	C₂×C₁₇	C₄²×D₄	1	8	yes	complemented
142	C₂×C₁₇	C₂³×C₄²	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₁₇	C₂²×C₄×D₄	1	3	yes	—
144	C₂×C₁₇	C₂×C₄×#41	1	3	yes	—
145	D₁₇	—	2	16	no	—
146	C₂⁵	—	17	2	no	—
147	C₂²×D₄	—	17	24	no	—
148	C₂²×D₄	—	17	4	no	—
149	C₂³×C₄	—	17	6	no	—
150	C₂³×C₄	—	17	48	no	—
151	C₂³×C₄	—	17	24	no	—
152	C₂³×C₄	—	34	24	no	—
153	C₂³×C₄	—	34	24	no	—
154	C₂³×C₄	C₂²×D₁₇	1	3	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂²×D₁₇	1	1	yes	characteristic
156	C₂³×C₄	C₂²×D₁₇	1	3	yes	—
157	C₄×D₄	—	17	192	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	17	24	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	17	12	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	17	48	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	17	24	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
163	C₂×C₄²	—	17	24	no	—
164	C₂×C₄²	—	34	24	no	—
165	C₂×C₄²	—	34	64	no	—
166	C₂×C₄²	C₄×D₁₇	1	24	yes	complemented
167	C₂×C₄²	D₆₈	1	8	yes	direct product factor
168	C₂×C₄²	C₂²×D₁₇	1	12	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×D₁₇	1	12	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×D₁₇	1	4	yes	—
171	#95	—	17	24	no	—
172	C₁₇	C₂×C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
173	C₂⁴	—	17	24	no	—
174	C₂⁴	—	17	4	no	—
175	C₂⁴	—	34	4	no	—
176	C₂⁴	—	34	12	no	—
177	C₂⁴	C₂³×D₁₇	1	1	yes	characteristic
178	C₂×D₄	—	17	48	no	—
179	C₂×D₄	—	17	64	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
181	C₂²×C₄	—	17	24	no	—
182	C₂²×C₄	—	17	12	no	—
183	C₂²×C₄	—	17	96	no	—
184	C₂²×C₄	—	34	12	no	—
185	C₂²×C₄	—	34	12	no	—
186	C₂²×C₄	—	34	48	no	—
187	C₂²×C₄	—	34	48	no	—
188	C₂²×C₄	—	34	192	no	—
189	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₁₇	1	12	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₁₇	1	12	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₁₇	1	12	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×D₆₈	1	12	yes	—
193	C₂²×C₄	#63252	1	12	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂³×D₁₇	1	6	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂³×D₁₇	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂³×D₁₇	1	6	yes	—
197	C₄⋊C₄	—	17	48	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	17	96	no	—
199	C₄²	—	2	24	no	—
200	C₄²	—	34	48	no	—
201	C₄²	C₂×C₄×D₁₇	1	48	yes	complemented
202	C₄²	C₂×D₆₈	1	16	yes	direct product factor
203	C₂³	—	17	32	no	—
204	C₂³	—	17	24	no	—
205	C₂³	—	34	48	no	—
206	C₂³	—	34	48	no	—
207	C₂³	—	34	4	no	—
208	C₂³	—	34	12	no	—
209	C₂³	C₂²×C₄×D₁₇	1	6	yes	—
210	C₂³	C₂²×D₆₈	1	2	yes	—
211	C₂³	C₂×#63252	1	6	yes	—
212	C₂³	C₂⁴×D₁₇	1	1	yes	characteristic
213	D₄	—	17	64	no	—
214	C₂×C₄	—	2	24	no	—
215	C₂×C₄	—	2	12	no	—
216	C₂×C₄	—	17	24	no	—
217	C₂×C₄	—	34	48	no	—
218	C₂×C₄	—	34	12	no	—
219	C₂×C₄	—	34	12	no	—
220	C₂×C₄	—	34	192	no	—
221	C₂×C₄	C₄²×D₁₇	1	16	yes	complemented
222	C₂×C₄	C₄×D₆₈	1	48	yes	direct product factor
223	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₁₇	1	12	yes	—
224	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₁₇	1	12	yes	—
225	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₁₇	1	12	yes	—
226	C₂×C₄	C₂²×D₆₈	1	12	yes	—
227	C₂×C₄	C₂×#63252	1	12	yes	—
228	C₂²	—	17	16	no	—
229	C₂²	—	34	64	no	—
230	C₂²	—	34	24	no	—
231	C₂²	—	34	24	no	—
232	C₂²	C₂×C₄²×D₁₇	1	4	yes	—
233	C₂²	C₂×C₄×D₆₈	1	12	yes	—
234	C₂²	C₄×#63252	1	12	yes	—
235	C₂²	C₂³×C₄×D₁₇	1	3	yes	—
236	C₂²	C₂³×D₆₈	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	C₂²×#63252	1	3	yes	—
238	C₄	—	2	12	no	—
239	C₄	—	34	24	no	—
240	C₄	C₂×C₄²×D₁₇	1	8	yes	complemented
241	C₄	C₂×C₄×D₆₈	1	24	yes	direct product factor
242	C₂	—	34	16	no	—
243	C₂	C₄²×D₆₈	1	8	yes	direct product factor
244	C₂	C₂²×C₄²×D₁₇	1	1	yes	characteristic
245	C₂	C₂²×C₄×D₆₈	1	3	yes	—
246	C₂	C₂×C₄×#63252	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄²	C₂×D₁₇
commutator	C₂×C₁₇	C₂³×C₄²
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₁₇
Fitting	C₂×C₄³×C₁₇	C₂
socle	C₂⁴×C₁₇	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₆₈	C₂²
cosocle	C₂³×C₁₇	C₂⁵
hypercenter	C₂×C₄³	D₁₇
hypocenter	C₁₇	C₂×C₄²×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₁₇ ▷ C₁₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×C₄³

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄²×D₁₇	C₂	semidirect
3. C₄²×D₆₈	C₂	direct (N × H)
4. C₂×C₄×C₄⋊Dic₁₇	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×#63227	C₂	semidirect
6. C₂×C₄³×C₁₇	C₂	semidirect
9. C₂×C₄×D₆₈	C₄	direct (N × H)
15. C₂×C₄²×D₁₇	C₂²	semidirect
16. C₄×C₄⋊Dic₁₇	C₂²	semidirect
17. C₄×#63227	C₂²	semidirect
22. C₄³×C₁₇	C₂²	semidirect
32. C₂²×C₄×D₁₇	C₂×C₄	semidirect
35. C₂×C₄²×C₁₇	C₂×C₄	semidirect
36. C₂×C₄²×C₁₇	D₄	semidirect
40. C₂×#63227	C₂×C₄	semidirect
42. C₂×C₄⋊Dic₁₇	C₂×C₄	semidirect
46. C₄×D₆₈	C₂×C₄	direct (N × H)
67. C₂×D₆₈	C₄²	direct (N × H)
72. C₂×C₄×D₁₇	C₂²×C₄	semidirect
74. C₄²×C₁₇	C₂²×C₄	semidirect
75. C₄²×C₁₇	C₂×D₄	semidirect
76. #63227	C₂²×C₄	semidirect
77. C₄⋊Dic₁₇	C₂²×C₄	semidirect
88. C₂²×D₁₇	C₂×C₄²	semidirect
92. C₂×C₄×C₁₇	C₂×C₄²	semidirect
93. C₂×C₄×C₁₇	C₄×D₄	semidirect
103. D₆₈	C₂×C₄²	direct (N × H)
110. C₂×C₄³	D₁₇	semidirect
120. C₂×D₁₇	C₂²×C₄²	semidirect
122. C₄×C₁₇	C₂²×C₄²	semidirect
123. C₄×C₁₇	C₂×C₄×D₄	semidirect
140. C₄³	C₂×D₁₇	semidirect
141. C₂×C₁₇	C₄²×D₄	semidirect
166. C₂×C₄²	C₄×D₁₇	semidirect
167. C₂×C₄²	D₆₈	direct (N × H)
172. C₁₇	C₂×C₄²×D₄	semidirect
201. C₄²	C₂×C₄×D₁₇	semidirect
202. C₄²	C₂×D₆₈	direct (N × H)
221. C₂×C₄	C₄²×D₁₇	semidirect
222. C₂×C₄	C₄×D₆₈	direct (N × H)
240. C₄	C₂×C₄²×D₁₇	semidirect
241. C₄	C₂×C₄×D₆₈	direct (N × H)
243. C₂	C₄²×D₆₈	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₆₈	2
C₂²×C₄²×D₁₇	2
C₄²×D₆₈	2
C₂×C₄×C₄⋊Dic₁₇	2
C₂×C₄×#63227	2
C₂×C₄³×C₁₇	2
C₂×C₄²×D₄	17

Subgroups — C2×C42×D68 #17192517

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×C₄²×D₆₈ #17192517