Subgroups — #27158229

Order 12416.

528 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	(C₂×#87604)⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20261686	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20261684	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20261684	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20261682	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20261677	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²⋊C₄×#87604	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×(C₂×#87604)⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²⋊Q₈×D₉₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×#87604	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×#87604	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄⋊#87604	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄⋊#87604	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄⋊#87604	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊#87604	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₂²⋊#87604	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×#87604	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×#87604	C₂²	1	2	yes	—
19	(C₂×#87604)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	(C₂×#87604)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	(C₂×#87604)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	(C₂×#87604)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	(C₂×#87604)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	(C₂×#87604)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	(C₂×#87604)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×Q₈×D₉₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄×D₉₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#15690790	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
29	#15690789	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#15690788	C₄	1	2	yes	complemented
31	#15690787	C₄	1	2	yes	complemented
32	#15690786	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₄⋊C₄×D₉₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄⋊C₄×D₉₇	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²⋊C₄×D₉₇	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²⋊Q₈×C₉₇	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₂²×#87604	—	2	2	no	—
38	C₂²×#87604	—	4	1	no	—
39	C₂²×#87604	—	4	1	no	—
40	C₂²×#87604	—	4	1	no	—
41	C₂²×#87604	—	4	1	no	—
42	C₂²×#87604	Q₈	1	4	yes	complemented
43	C₂²×#87604	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×#87604	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×#87604	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×#87604	C₂³	1	2	yes	—
47	C₄⋊#87604	—	4	1	no	—
48	C₄⋊#87604	—	4	1	no	—
49	C₄⋊#87604	—	4	2	no	—
50	C₄⋊#87604	—	4	2	no	—
51	C₂²⋊#87604	—	2	4	no	—
52	C₄×#87604	—	4	2	no	—
53	C₄×#87604	—	4	2	no	—
54	C₂³×D₉₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×Dic₁₉₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
56	C₂×Dic₁₉₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
57	Q₈×D₉₇	—	4	1	no	—
58	Q₈×D₉₇	—	4	1	no	—
59	C₂²×Dic₉₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄×D₉₇	—	4	1	no	—
61	C₂×C₄×D₉₇	—	4	1	no	—
62	C₂×C₄×D₉₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×D₉₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×D₉₇	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×D₉₇	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×D₉₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄×D₉₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₄⋊Dic₉₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
69	C₄⋊Dic₉₇	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
70	#13095490	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
71	#13095490	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
72	#13095490	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
73	C₂²⋊Dic₉₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#13095488	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#13095488	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×Q₈×C₉₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
77	C₂²×C₄×C₉₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₄⋊C₄×C₉₇	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
79	C₄⋊C₄×C₉₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
80	C₂²⋊C₄×C₉₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂³×C₉₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×D₉₇	—	2	1	no	—
83	C₂²×D₉₇	—	2	1	no	—
84	C₂²×D₉₇	—	2	1	no	—
85	C₂²×D₉₇	—	2	1	no	—
86	C₂²×D₉₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×D₉₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
88	C₂²×D₉₇	#41	1	2	yes	—
89	C₂²×D₉₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#87604	—	2	2	no	—
91	C₂×#87604	—	2	2	no	—
92	C₂×#87604	—	2	2	no	—
93	C₂×#87604	—	2	2	no	—
94	C₂×#87604	—	2	2	no	—
95	C₂×#87604	—	2	2	no	—
96	C₂×#87604	—	2	2	no	—
97	C₂×#87604	—	2	2	no	—
98	C₂×#87604	—	2	2	no	—
99	C₂×#87604	—	2	2	no	—
100	C₂×#87604	—	2	2	no	—
101	C₂×#87604	—	4	4	no	—
102	C₂×#87604	—	4	4	no	—
103	C₂×#87604	C₂×Q₈	1	4	yes	—
104	Q₈×C₉₇	—	4	1	no	—
105	C₂×C₄×C₉₇	—	4	1	no	—
106	C₂×C₄×C₉₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₉₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₉₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₉₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×Dic₉₇	—	4	1	no	—
111	C₂×Dic₉₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂×Dic₉₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂×Dic₉₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×Dic₉₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄×D₉₇	—	2	1	no	—
116	C₄×D₉₇	—	2	1	no	—
117	C₄×D₉₇	—	2	1	no	—
118	C₄×D₉₇	—	2	1	no	—
119	C₄×D₉₇	—	2	2	no	—
120	C₄×D₉₇	—	2	2	no	—
121	C₄×D₉₇	—	2	2	no	—
122	C₄×D₉₇	—	2	2	no	—
123	C₄×D₉₇	—	4	1	no	—
124	C₄×D₉₇	—	4	1	no	—
125	Dic₁₉₄	—	4	2	no	—
126	Dic₁₉₄	—	4	1	no	—
127	C₂²×C₉₇	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₉₇	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₉₇	C₄×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂²×C₉₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×D₉₇	—	2	1	no	—
132	C₂×D₉₇	—	2	1	no	—
133	C₂×D₉₇	—	2	2	no	—
134	C₂×D₉₇	—	2	2	no	—
135	C₂×D₉₇	—	2	2	no	—
136	C₂×D₉₇	—	2	2	no	—
137	C₂×D₉₇	C₄×Q₈	1	2	yes	—
138	C₂×D₉₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×D₉₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
140	C₂×D₉₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
141	C₂×D₉₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
142	C₂×D₉₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
143	C₂×D₉₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
144	#87604	—	2	4	no	—
145	#87604	—	4	2	no	—
146	#87604	—	4	2	no	—
147	#87604	—	4	2	no	—
148	C₄×C₉₇	—	2	1	no	—
149	C₄×C₉₇	—	2	2	no	—
150	C₄×C₉₇	—	2	1	no	—
151	C₄×C₉₇	—	2	2	no	—
152	Dic₉₇	—	2	1	no	—
153	Dic₉₇	—	2	2	no	—
154	Dic₉₇	—	2	1	no	—
155	Dic₉₇	—	2	2	no	—
156	C₂×C₉₇	—	2	2	no	—
157	C₂×C₉₇	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₉₇	#518	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₉₇	#520	1	1	yes	characteristic
160	D₉₇	—	2	2	no	—
161	D₉₇	#538	1	1	yes	characteristic
162	D₉₇	#539	1	1	yes	characteristic
163	D₉₇	#543	1	1	yes	characteristic
164	D₉₇	#544	1	1	yes	characteristic
165	#2329	—	97	1	no	maximal, Sylow
166	C₉₇	#2329	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
167	C₂×C₂²⋊Q₈	—	97	1	no	—
168	#391	—	97	2	no	—
169	#389	—	97	2	no	—
170	#387	—	97	2	no	—
171	#387	—	97	2	no	—
172	#385	—	97	2	no	—
173	#380	—	97	1	no	—
174	C₄×C₂²⋊C₄	—	97	2	no	—
175	C₂×#95	—	97	1	no	—
176	C₂²×Q₈	—	97	1	no	—
177	C₂³×C₄	—	97	1	no	—
178	C₂³×C₄	—	97	1	no	—
179	C₂³×C₄	—	97	1	no	—
180	C₂²⋊Q₈	—	97	1	no	—
181	C₂²⋊Q₈	—	97	1	no	—
182	C₂²⋊Q₈	—	97	2	no	—
183	C₂²⋊Q₈	—	97	1	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	97	2	no	—
185	C₂²⋊Q₈	#87604	1	1	yes	characteristic, complemented
186	C₂×C₄⋊C₄	—	97	1	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	97	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	97	1	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	97	1	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	97	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	97	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	97	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	97	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	97	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	97	2	no	—
196	#95	—	97	2	no	—
197	#95	—	97	2	no	—
198	#95	—	97	2	no	—
199	#95	—	97	2	no	—
200	#95	—	97	2	no	—
201	#95	—	97	2	no	—
202	#95	—	97	2	no	—
203	C₂⁴	—	97	1	no	—
204	C₂×Q₈	—	97	1	no	—
205	C₂×Q₈	—	97	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	388	1	no	—
207	C₂×Q₈	—	388	1	no	—
208	C₂×Q₈	C₂×#87604	1	1	yes	characteristic, complemented
209	C₂²×C₄	—	97	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	97	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	97	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	97	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	97	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	97	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	97	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	97	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	97	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	97	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	97	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	97	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	388	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	388	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	388	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	388	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	388	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	388	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	194	2	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×#87604	1	1	yes	characteristic
229	C₄⋊C₄	—	97	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	97	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	97	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	97	1	no	—
233	C₄⋊C₄	—	97	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	388	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	388	1	no	—
236	C₄⋊C₄	—	388	1	no	—
237	C₄⋊C₄	—	388	2	no	—
238	C₄⋊C₄	C₂×#87604	1	1	yes	characteristic, complemented
239	C₄⋊C₄	C₂×#87604	1	2	yes	complemented
240	C₂²⋊C₄	—	97	2	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	97	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	97	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	194	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	C₂×#87604	1	2	yes	—
245	C₄²	—	388	2	no	—
246	C₄²	—	388	2	no	—
247	C₂³	—	97	1	no	—
248	C₂³	—	97	2	no	—
249	C₂³	—	97	2	no	—
250	C₂³	—	97	1	no	—
251	C₂³	—	194	1	no	—
252	C₂³	—	194	1	no	—
253	C₂³	—	194	1	no	—
254	C₂³	—	194	1	no	—
255	C₂³	C₂²×#87604	1	1	yes	characteristic
256	Q₈	—	4	1	no	—
257	Q₈	—	388	1	no	—
258	Q₈	—	388	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	97	4	no	—
261	C₂×C₄	—	97	2	no	—
262	C₂×C₄	—	97	2	no	—
263	C₂×C₄	—	97	1	no	—
264	C₂×C₄	—	97	1	no	—
265	C₂×C₄	—	388	1	no	—
266	C₂×C₄	—	388	1	no	—
267	C₂×C₄	—	388	4	no	—
268	C₂×C₄	—	388	1	no	—
269	C₂×C₄	—	388	4	no	—
270	C₂×C₄	—	194	2	no	—
271	C₂×C₄	—	194	2	no	—
272	C₂×C₄	—	194	1	no	—
273	C₂×C₄	—	194	1	no	—
274	C₂×C₄	—	194	2	no	—
275	C₂×C₄	—	194	1	no	—
276	C₂×C₄	—	194	1	no	—
277	C₂×C₄	—	194	2	no	—
278	C₂×C₄	—	194	2	no	—
279	C₂×C₄	—	194	2	no	—
280	C₂×C₄	—	194	2	no	—
281	C₂×C₄	—	194	2	no	—
282	C₂×C₄	—	194	2	no	—
283	C₂×C₄	—	194	2	no	—
284	C₂×C₄	—	194	2	no	—
285	C₂×C₄	—	194	2	no	—
286	C₂×C₄	—	194	2	no	—
287	C₂×C₄	—	194	2	no	—
288	C₂×C₄	—	194	2	no	—
289	C₂×C₄	C₂²×#87604	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×#87604	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×#87604	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂²×#87604	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	—	2	1	no	—
294	C₂²	—	2	1	no	—
295	C₂²	—	97	1	no	—
296	C₂²	—	97	1	no	—
297	C₂²	—	97	1	no	—
298	C₂²	—	97	1	no	—
299	C₂²	—	97	1	no	—
300	C₂²	—	97	1	no	—
301	C₂²	—	97	2	no	—
302	C₂²	—	194	2	no	—
303	C₂²	—	194	2	no	—
304	C₂²	—	194	2	no	—
305	C₂²	—	194	2	no	—
306	C₂²	—	194	1	no	—
307	C₂²	—	194	1	no	—
308	C₂²	Q₈×#87604	1	2	yes	—
309	C₂²	C₂³×#87604	1	1	yes	characteristic
310	C₄	—	2	1	no	—
311	C₄	—	2	1	no	—
312	C₄	—	2	2	no	—
313	C₄	—	2	2	no	—
314	C₄	—	388	2	no	—
315	C₄	—	388	2	no	—
316	C₄	—	388	2	no	—
317	C₄	—	194	4	no	—
318	C₄	—	194	1	no	—
319	C₄	—	194	1	no	—
320	C₄	—	194	2	no	—
321	C₄	—	194	2	no	—
322	C₂	—	2	2	no	—
323	C₂	—	97	1	no	—
324	C₂	—	97	1	no	—
325	C₂	—	97	1	no	—
326	C₂	—	97	1	no	—
327	C₂	—	194	2	no	—
328	C₂	C₂×Q₈×#87604	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#20261802	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#20261804	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂³×#87604
commutator, socle	C₂²×C₉₇	C₂³×C₄
Fitting	C₂²⋊Q₈×C₉₇	C₄
prime radical	C₂³×D₉₇	C₂³
cosocle	C₂²×D₉₇	C₂⁴
hypercenter	C₂²⋊Q₈	#87604
hypocenter	C₉₇	#2329
LCS	G ▷ C₂²×C₉₇ ▷ C₉₇
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. (C₂×#87604)⋊Q₈	C₂	semidirect
2. #20261686	C₂	semidirect
3. #20261684	C₂	semidirect
4. #20261684	C₂	semidirect
28. #15690790	C₄	semidirect
29. #15690789	C₄	semidirect
30. #15690788	C₄	semidirect
31. #15690787	C₄	semidirect
32. #15690786	C₄	semidirect
36. C₂²⋊Q₈×C₉₇	C₄	semidirect
42. C₂²×#87604	Q₈	semidirect
55. C₂×Dic₁₉₄	C₂×C₄	semidirect
56. C₂×Dic₁₉₄	C₂×C₄	semidirect
68. C₄⋊Dic₉₇	C₂×C₄	semidirect
69. C₄⋊Dic₉₇	C₂×C₄	semidirect
70. #13095490	C₂×C₄	semidirect
71. #13095490	C₂×C₄	semidirect
72. #13095490	C₂×C₄	semidirect
76. C₂×Q₈×C₉₇	C₂×C₄	semidirect
78. C₄⋊C₄×C₉₇	C₂×C₄	semidirect
79. C₄⋊C₄×C₉₇	C₂×C₄	semidirect
166. C₉₇	#2329	semidirect
185. C₂²⋊Q₈	#87604	semidirect
208. C₂×Q₈	C₂×#87604	semidirect
238. C₄⋊C₄	C₂×#87604	semidirect
239. C₄⋊C₄	C₂×#87604	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
(C₂×#87604)⋊Q₈	2
#20261686	2
#20261684	2
#20261682	2
#20261677	2
C₂²⋊C₄×#87604	2
C₂×(C₂×#87604)⋊C₄	2
C₂²⋊Q₈×D₉₇	2
#2329	97