Subgroups — #27272127

Order 13568.

522 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#13133196	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20274783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20272540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20272537	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#13133196	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
9	#16810529	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#16810521	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#16810507	—	2	1	no	—
12	#16810496	—	2	1	no	—
13	#16810483	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₄×#11719919	—	2	1	no	—
15	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
17	#16810378	—	2	1	no	—
18	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
22	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
25	#13133196	—	2	2	no	—
26	#13133196	C₈	1	4	yes	complemented
27	C₄×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
28	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
32	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
33	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
34	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
35	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
38	C₂²⋊#88322	—	4	2	no	—
39	#13133124	—	2	1	no	—
40	#13133124	—	2	1	no	—
41	#13133124	—	2	1	no	—
42	#13133124	—	2	1	no	—
43	#13133124	—	2	1	no	—
44	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
49	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₄×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
55	C₂⁴×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×C₈	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	M₁₆	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
76	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
77	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
78	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
79	C₂×Dic₁₀₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
80	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
82	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
83	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
86	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
87	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
89	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
90	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
91	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
92	C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₈	1	2	yes	—
93	#11719919	—	2	4	no	—
94	#11719919	—	4	2	no	—
95	#11719919	—	4	2	no	—
96	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
97	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
98	C₂×#88322	—	4	2	no	—
99	C₂×#88322	—	4	2	no	—
100	C₂×#88322	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
102	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
103	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	#99	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	#104	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
144	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
145	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
146	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
147	#88322	—	8	2	no	—
148	#7583	—	53	1	no	maximal, Sylow
149	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
156	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂×#99	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	#413	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	#416	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	#419	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	C₂×#104	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₅₃	#421	1	1	yes	characteristic
163	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
170	Dic₅₃	—	4	2	no	—
171	Dic₅₃	—	4	2	no	—
172	Dic₅₃	—	8	1	no	—
173	Dic₅₃	—	8	1	no	—
174	C₄×C₂²⋊Q₈	—	53	1	no	—
175	#1817	—	53	1	no	—
176	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
177	#1272	—	53	2	no	—
178	#1271	—	53	2	no	—
179	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
180	C₂×C₅₃	#1459	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#1476	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#1479	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	#1508	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₅₃	#1516	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	#1529	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	#1554	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	1	no	—
188	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
189	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
192	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
193	#391	—	53	1	no	—
194	#389	—	53	1	no	—
195	#387	—	106	1	no	—
196	#385	—	106	1	no	—
197	#380	—	53	1	no	—
198	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
199	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
200	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
201	#336	—	53	2	no	—
202	#336	—	106	1	no	—
203	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
204	C₅₃	#7583	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
205	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
206	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
208	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
211	C₂²⋊Q₈	—	53	4	no	—
212	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
213	C₄×Q₈	—	212	2	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
222	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
223	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
224	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
225	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₈	—	212	2	no	—
231	C₄×C₈	—	4	2	no	—
232	#95	—	106	1	no	—
233	#95	—	106	1	no	—
234	#95	—	106	1	no	—
235	#95	—	106	1	no	—
236	#95	—	106	1	no	—
237	C₂⁴	#11719921	1	1	yes	characteristic
238	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
240	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
241	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
254	C₂²×C₄	C₈×D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#11719912	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#11719921	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	#11719921	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	#11719921	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	212	2	no	—
266	C₂×C₈	—	212	2	no	—
267	C₂×C₈	—	212	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
272	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	4	1	no	—
280	C₄²	—	4	1	no	—
281	C₄²	—	212	2	no	—
282	C₄²	—	212	2	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	2	1	no	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	#13133129	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂×#11719921	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	212	2	no	—
292	Q₈	—	212	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	106	2	no	—
310	C₂×C₄	—	106	2	no	—
311	C₂×C₄	—	212	1	no	—
312	C₂×C₄	—	212	1	no	—
313	C₂×C₄	—	212	1	no	—
314	C₂×C₄	—	212	1	no	—
315	C₂×C₄	—	212	1	no	—
316	C₂×C₄	—	212	1	no	—
317	C₂×C₄	—	212	1	no	—
318	C₂×C₄	—	212	1	no	—
319	C₂×C₄	—	212	1	no	—
320	C₂×C₄	—	212	1	no	—
321	C₂×C₄	#13133129	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#13133131	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#13133145	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#11719912	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#13133239	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#13133247	1	2	yes	—
328	C₈	—	4	4	no	—
329	C₈	—	424	2	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	4	1	no	—
334	C₂²	—	4	1	no	—
335	C₂²	—	4	1	no	—
336	C₂²	—	4	1	no	—
337	C₂²	C₂×#13133129	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×#13133131	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#16810605	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#16810620	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#16810631	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#13133145	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#16810639	1	1	yes	characteristic
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	2	1	no	—
351	C₄	—	424	1	no	—
352	C₄	—	424	1	no	—
353	C₄	—	212	2	no	—
354	C₄	—	212	2	no	—
355	C₂	—	4	2	no	—
356	C₂	#20273031	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#20273098	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#20273109	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#20273234	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20273272	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#20273320	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20273423	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×#11719921
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈
Frattini	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃
Fitting	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²⋊C₄
cosocle	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³
hypercenter	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#7583
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₄×C₂²⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20272540	C₂	semidirect
4. #20272537	C₂	semidirect
26. #13133196	C₈	semidirect
204. C₅₃	#7583	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#13133196	2
#20274783	2
#20272540	2
#20272537	2
C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	2
#7583	53