Subgroups — #27273644

Order 13568.

722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810676	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277122	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20272555	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#13133176	—	2	1	no	—
6	#16810676	—	2	2	no	—
7	#16810676	C₄	1	4	yes	complemented
8	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
10	C₂×C₄×#88322	—	2	1	no	—
11	#16810493	C₄	1	2	yes	—
12	#16810489	—	2	1	no	—
13	#16810483	—	2	1	no	—
14	#16810483	C₄	1	2	yes	—
15	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
16	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
18	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
20	C₄×M₁₆×C₅₃	C₄	1	4	yes	complemented
21	C₂×#97×C₅₃	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
24	#13133176	—	4	4	no	—
25	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
26	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
27	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
29	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
30	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
31	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
33	C₄×#88322	—	2	4	no	—
34	#13133124	—	2	2	no	—
35	#13133124	—	2	2	no	—
36	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
40	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
41	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄²×C₅₃	Q₈	1	2	yes	—
49	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
51	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂⁴×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄×C₅₃	C₄²	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
71	M₁₆×C₅₃	—	2	16	no	—
72	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
73	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₄²×C₅₃	C₄²	1	2	yes	—
75	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
76	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
77	C₄²×C₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
78	C₄²×C₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
79	C₄²×C₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
80	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
84	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
85	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
86	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
87	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
88	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
89	C₂×#88322	—	2	4	no	—
90	C₂×#88322	—	4	2	no	—
91	C₂×#88322	—	4	2	no	—
92	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
94	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
95	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₅₃	#95	1	2	yes	—
97	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	#95	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₅₃	#95	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₅₃	#95	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₅₃	#104	1	4	yes	—
112	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
121	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
124	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
125	#88322	—	4	4	no	—
126	#7896	—	53	1	no	maximal, Sylow
127	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂²×C₅₃	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₅₃	#408	1	2	yes	—
134	C₂²×C₅₃	#418	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₅₃	#419	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₅₃	C₂×#104	1	2	yes	—
137	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
139	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
140	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₄×C₅₃	#339	1	4	yes	—
142	C₄×C₅₃	#405	1	2	yes	—
143	C₄×C₅₃	#417	1	2	yes	—
144	C₄×C₅₃	#424	1	2	yes	—
145	C₄×C₅₃	#428	1	2	yes	—
146	Dic₅₃	—	8	4	no	—
147	C₂×#431	—	53	1	no	—
148	C₂×C₄×M₁₆	D₅₃	1	1	yes	characteristic
149	#2285	—	53	1	no	—
150	#1279	—	53	4	no	—
151	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×C₅₃	#1484	1	2	yes	—
153	C₂×C₅₃	#1485	1	2	yes	—
154	C₂×C₅₃	#1729	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₅₃	C₂×#339	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₅₃	#1736	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
158	C₂×#117	—	106	1	no	—
159	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
160	#431	—	53	4	no	—
161	#431	—	106	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
164	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
165	C₄×M₁₆	Dic₅₃	1	4	yes	complemented
166	C₂×#97	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄×C₈	—	106	1	no	—
168	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
169	#384	—	53	2	no	—
170	#382	—	106	1	no	—
171	#380	—	53	2	no	—
172	#380	—	106	1	no	—
173	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
174	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
175	C₅₃	#7896	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
176	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
177	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
178	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
179	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
180	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
183	#117	—	212	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
189	C₂×C₄²	Dic₁₀₆	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
198	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
200	#97	—	2	4	no	—
201	C₄×C₈	—	2	2	no	—
202	C₄×C₈	—	106	4	no	—
203	C₄×C₈	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
204	#95	—	106	2	no	—
205	#95	—	106	2	no	—
206	C₂⁴	#11719921	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
212	C₂²×C₄	C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	#11719919	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	#11719919	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#11719921	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	#11719921	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	#11719921	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	M₁₆	—	2	16	no	—
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	106	4	no	—
228	C₂×C₈	—	212	2	no	—
229	C₂×C₈	—	212	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
231	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
234	C₄²	—	212	4	no	—
235	C₄²	C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
236	C₄²	#11719919	1	2	yes	—
237	C₄²	#11719919	1	2	yes	—
238	C₄²	C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
239	C₄²	#11719921	1	2	yes	—
240	C₄²	C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
241	C₄²	C₂×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
242	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	1	no	—
247	C₂³	—	2	1	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	#13133124	1	2	yes	—
250	C₂³	C₂×#11719921	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	212	4	no	—
262	C₂×C₄	—	212	4	no	—
263	C₂×C₄	—	212	4	no	—
264	C₂×C₄	#13133124	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	#13133124	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	#13133124	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	#13133145	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂×#11719919	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×#11719919	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	#13133225	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	#13133245	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	#13133250	1	2	yes	—
277	C₈	—	2	8	no	—
278	C₈	—	212	4	no	—
279	C₂²	—	2	2	no	—
280	C₂²	—	2	2	no	—
281	C₂²	—	2	2	no	—
282	C₂²	—	4	2	no	—
283	C₂²	—	4	2	no	—
284	C₂²	C₂×#13133124	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#16810591	1	2	yes	—
286	C₂²	#16810629	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#16810633	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂×#13133145	1	2	yes	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	2	2	no	—
291	C₄	—	2	1	no	—
292	C₄	—	2	1	no	—
293	C₄	—	424	4	no	—
294	C₄	#16810383	1	4	yes	—
295	C₄	#16810581	1	2	yes	—
296	C₄	#16810625	1	2	yes	—
297	C₄	#16810651	1	2	yes	—
298	C₄	#16810665	1	2	yes	—
299	C₂	—	4	2	no	—
300	C₂	#20273133	1	2	yes	—
301	C₂	#20273137	1	2	yes	—
302	C₂	#20274413	1	1	yes	characteristic
303	C₂	C₂×#16810383	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#20274435	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²
Frattini	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃
Fitting	C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²⋊C₄
cosocle	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³
hypercenter	C₂×C₄×M₁₆	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#7896
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×C₄×M₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20272555	C₂	semidirect
7. #16810676	C₄	semidirect
20. C₄×M₁₆×C₅₃	C₄	semidirect
165. C₄×M₁₆	Dic₅₃	semidirect
175. C₅₃	#7896	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810676	2
#20277122	2
#20272555	2
C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	2
#7896	53