Subgroups — C₄×#16810352 #27274685

Order 13568.

774 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄²×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810352	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20272555	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₄²×C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×C₄×D₂₁₂	C₄	1	2	yes	—
7	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄²×D₅₃	—	2	1	no	—
9	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×#88322	—	2	1	no	—
11	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	2	yes	—
12	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₄×#11719921	—	2	1	no	—
14	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
15	#16810378	—	2	1	no	—
16	#16810352	C₄	1	8	yes	direct product factor
17	C₂×C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
18	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
22	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
23	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
24	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
25	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
26	C₄×D₂₁₂	C₈	1	8	yes	complemented
27	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
31	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
32	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
34	C₄²×D₅₃	—	4	2	no	—
35	C₄²×D₅₃	—	4	2	no	—
36	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
37	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
38	C₄×#88322	—	4	2	no	—
39	#13133124	—	2	2	no	—
40	#13133124	—	2	1	no	—
41	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₄×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
48	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
49	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
50	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
57	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
59	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
60	C₂×D₂₁₂	C₄²	1	2	yes	—
61	C₂×D₂₁₂	C₂×C₈	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
63	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
65	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
66	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
67	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
68	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
69	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
70	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₄²×C₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
74	C₄²×C₅₃	M₁₆	1	4	yes	—
75	C₄²×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
76	C₄²×C₅₃	SD₁₆	1	2	yes	—
77	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
79	#11719921	—	2	8	no	—
80	#11719921	—	2	4	no	—
81	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
82	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
83	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	2	yes	—
84	C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
85	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
86	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
87	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
88	C₂×#88322	—	2	4	no	—
89	C₂×#88322	—	4	2	no	—
90	C₂×#88322	—	4	2	no	—
91	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
95	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
96	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
97	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
101	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
102	C₂×C₄×C₅₃	#102	1	4	yes	—
103	C₂×C₄×C₅₃	#104	1	4	yes	—
104	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
113	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
116	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
117	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
118	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
119	D₂₁₂	—	2	2	no	—
120	D₂₁₂	—	2	4	no	—
121	D₂₁₂	C₄×C₈	1	4	yes	complemented
122	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
123	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
124	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
125	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
126	#88322	—	4	4	no	—
127	C₄×D₄⋊C₈	—	53	1	no	maximal, Sylow
128	C₂²×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
130	C₂²×C₅₃	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₅₃	#416	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₅₃	C₂×#104	1	2	yes	—
133	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
135	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
136	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
138	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
139	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₄×C₅₃	D₄⋊C₈	1	8	yes	complemented
141	C₄×C₅₃	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
142	C₄×C₅₃	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
143	C₄×C₅₃	#431	1	2	yes	—
144	C₄×C₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
145	C₄×C₅₃	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
146	Dic₅₃	—	4	4	no	—
147	Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	C₄²×D₄	—	53	1	no	—
149	C₄×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
150	C₄²×C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
151	C₂×D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
152	#1279	—	53	2	no	—
153	C₂×C₅₃	C₂×D₄⋊C₈	1	2	yes	—
154	C₂×C₅₃	#1476	1	2	yes	—
155	C₂×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₅₃	C₄×#104	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₅₃	C₄×#102	1	1	yes	characteristic
158	D₅₃	—	4	4	no	—
159	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
160	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
161	C₂²×C₄²	—	106	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
163	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄×C₈	—	106	1	no	—
165	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
166	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
167	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
168	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
169	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
170	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
171	#336	—	106	1	no	—
172	D₄⋊C₈	—	53	8	no	—
173	C₅₃	C₄×D₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
174	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
175	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
176	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
177	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
179	C₄×D₄	—	53	4	no	—
180	C₄×D₄	—	53	8	no	—
181	C₄×D₄	—	106	2	no	—
182	C₄×D₄	—	106	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	212	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	212	2	no	—
191	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
198	C₄×C₈	—	2	8	no	—
199	C₄×C₈	—	2	2	no	—
200	C₄×C₈	—	212	2	no	—
201	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
202	#95	—	106	1	no	—
203	#95	—	106	2	no	—
204	C₂⁴	—	106	1	no	—
205	C₂×D₄	—	53	2	no	—
206	C₂×D₄	—	53	4	no	—
207	C₂×D₄	—	106	1	no	—
208	C₂×D₄	—	106	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
218	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₈	—	2	8	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	106	4	no	—
226	C₂×C₈	—	212	2	no	—
227	C₂×C₈	—	212	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
231	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	2	no	—
236	C₄²	—	212	4	no	—
237	C₄²	—	212	1	no	—
238	C₄²	—	212	1	no	—
239	C₄²	C₈×D₅₃	1	4	yes	—
240	C₄²	#11719912	1	4	yes	—
241	C₄²	#11719913	1	2	yes	—
242	C₄²	D₄₂₄	1	2	yes	—
243	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
244	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
245	C₂³	—	106	4	no	—
246	C₂³	—	106	2	no	—
247	C₂³	—	212	1	no	—
248	C₂³	—	212	1	no	—
249	C₂³	—	212	2	no	—
250	C₂³	C₂×#11719921	1	1	yes	characteristic
251	D₄	—	53	4	no	—
252	D₄	—	106	2	no	—
253	D₄	—	106	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	106	4	no	—
258	C₂×C₄	—	106	2	no	—
259	C₂×C₄	—	212	1	no	—
260	C₂×C₄	—	212	2	no	—
261	C₂×C₄	—	212	1	no	—
262	C₂×C₄	—	212	2	no	—
263	C₂×C₄	—	212	16	no	—
264	C₂×C₄	—	212	4	no	—
265	C₂×C₄	—	212	4	no	—
266	C₂×C₄	#13133129	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	#13133129	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	#13133139	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	#13133145	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	C₄²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	#13133174	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×C₈×D₅₃	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#11719912	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×#11719913	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#13133239	1	2	yes	—
279	C₈	—	2	8	no	—
280	C₈	—	212	4	no	—
281	C₂²	—	106	4	no	—
282	C₂²	—	212	2	no	—
283	C₂²	—	212	2	no	—
284	C₂²	—	212	4	no	—
285	C₂²	—	212	4	no	—
286	C₂²	C₄×#11719921	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	C₂×#13133129	1	2	yes	—
288	C₂²	C₂×#13133139	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	#16810620	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	C₂×#13133145	1	2	yes	—
291	C₄	—	2	2	no	—
292	C₄	—	2	4	no	—
293	C₄	—	212	2	no	—
294	C₄	—	212	4	no	—
295	C₄	#16810352	1	8	yes	direct product factor
296	C₄	C₄×C₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₄	C₄×#11719912	1	1	yes	characteristic
298	C₄	#16810674	1	2	yes	—
299	C₄	C₄×D₄₂₄	1	2	yes	—
300	C₄	C₄×#11719913	1	2	yes	—
301	C₂	—	212	4	no	—
302	C₂	C₂×#16810352	1	2	yes	—
303	C₂	#20273098	1	2	yes	—
304	C₂	C₄×#13133129	1	1	yes	characteristic
305	C₂	C₄×#13133145	1	1	yes	characteristic
306	C₂	C₄×#13133139	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄²	D₂₁₂
commutator	C₄×C₅₃	C₂×C₄×C₈
Frattini	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃
Fitting	C₄²×C₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄
cosocle	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³
hypercenter	C₄²×C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₄×D₄⋊C₈
LCS	G ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ C₄³ ◁ C₄²×C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×C₄⋊#88322	C₂	semidirect
4. #20272555	C₂	semidirect
5. C₄²×C₈×C₅₃	C₂	semidirect
16. #16810352	C₄	direct (N × H)
26. C₄×D₂₁₂	C₈	semidirect
37. C₄⋊#88322	C₂×C₄	semidirect
49. C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
121. D₂₁₂	C₄×C₈	semidirect
140. C₄×C₅₃	D₄⋊C₈	semidirect
150. C₄²×C₈	D₅₃	semidirect
173. C₅₃	C₄×D₄⋊C₈	semidirect
201. C₄×C₈	C₄×D₅₃	semidirect
295. C₄	#16810352	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄²×D₂₁₂	2
C₄×C₄⋊#88322	2
C₂×#16810352	2
#20272555	2
C₄²×C₈×C₅₃	2
C₄×D₄⋊C₈	53

Subgroups — C4×#16810352 #27274685

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₄×#16810352 #27274685