Subgroups — #27274707

Order 13568.

730 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄²×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#13133128	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810350	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20272554	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₅₃×#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×C₄×D₂₁₂	C₄	1	2	yes	—
7	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄²×D₅₃	—	2	1	no	—
9	C₂×#13133128	—	2	2	no	—
10	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	2	yes	—
12	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
14	C₄×#11719921	—	2	1	no	—
15	#16810350	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#97×C₅₃	—	2	1	no	—
18	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₅₃×#336	—	2	1	no	—
20	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
22	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
23	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
24	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
25	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
26	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
27	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
31	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
32	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
34	C₄²×D₅₃	—	4	4	no	—
35	#13133128	—	2	8	no	—
36	C₄×#88322	—	2	2	no	—
37	C₄×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
38	#13133124	—	2	2	no	—
39	#13133124	—	2	1	no	—
40	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
47	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
48	#97×C₅₃	—	4	2	no	—
49	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
56	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
58	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
59	C₂×D₂₁₂	C₄²	1	2	yes	—
60	C₂×D₂₁₂	M₁₆	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
64	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
65	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
66	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
67	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
68	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
70	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
71	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
75	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
77	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
79	#11719921	—	2	8	no	—
80	#11719921	—	2	4	no	—
81	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
82	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
83	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	2	yes	—
84	C₄⋊Dic₅₃	M₁₆	1	4	yes	—
85	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
86	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
87	C₂×#88322	—	2	8	no	—
88	C₂×#88322	—	2	4	no	—
89	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
93	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
94	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
95	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄×C₅₃	#104	1	4	yes	—
102	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	1	yes	characteristic
111	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
114	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
115	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
116	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
117	D₂₁₂	—	2	2	no	—
118	D₂₁₂	—	2	4	no	—
119	D₂₁₂	#97	1	4	yes	complemented
120	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
121	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
122	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
123	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
124	#88322	—	2	8	no	—
125	#8172	—	53	1	no	maximal, Sylow
126	C₂²×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₅₃	#407	1	2	yes	—
128	C₂²×C₅₃	#417	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₅₃	#418	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₅₃	C₂×#104	1	2	yes	—
131	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
133	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
136	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
137	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	C₄×C₅₃	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
140	C₄×C₅₃	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
141	C₄×C₅₃	#432	1	2	yes	—
142	C₄×C₅₃	#440	1	2	yes	—
143	C₄×C₅₃	#442	1	2	yes	—
144	Dic₅₃	—	4	4	no	—
145	Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	C₄²×D₄	—	53	1	no	—
147	#1767	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
148	C₄×#97	—	53	1	no	—
149	C₂×D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
150	#1279	—	53	2	no	—
151	C₂×C₅₃	#1489	1	2	yes	—
152	C₂×C₅₃	#1490	1	2	yes	—
153	C₂×C₅₃	#1749	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₅₃	C₄×#104	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₅₃	#1762	1	1	yes	characteristic
156	D₅₃	—	4	4	no	—
157	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
158	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
159	C₂²×C₄²	—	106	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
161	C₂×#97	—	2	1	no	—
162	C₂×#97	—	106	2	no	—
163	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
164	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
165	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
166	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
167	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
168	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
169	#336	—	2	1	no	—
170	D₄⋊C₈	—	53	8	no	—
171	C₅₃	#8172	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
172	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
173	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
174	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
175	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
177	C₄×D₄	—	53	4	no	—
178	C₄×D₄	—	106	4	no	—
179	C₄×D₄	—	106	4	no	—
180	C₄×D₄	—	106	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	212	4	no	—
188	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
195	#97	—	4	2	no	—
196	#97	—	106	8	no	—
197	C₄×C₈	—	53	4	no	—
198	C₄×C₈	—	106	2	no	—
199	#95	—	106	1	no	—
200	#95	—	106	2	no	—
201	C₂⁴	—	106	1	no	—
202	C₂×D₄	—	53	2	no	—
203	C₂×D₄	—	53	4	no	—
204	C₂×D₄	—	106	1	no	—
205	C₂×D₄	—	106	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
215	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	106	8	no	—
224	C₂×C₈	—	106	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
228	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	2	no	—
235	C₄²	—	2	1	no	—
236	C₄²	—	2	1	no	—
237	C₄²	—	212	4	no	—
238	C₄²	—	212	2	no	—
239	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
240	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
241	C₂³	—	106	4	no	—
242	C₂³	—	106	2	no	—
243	C₂³	—	212	1	no	—
244	C₂³	—	212	1	no	—
245	C₂³	—	212	2	no	—
246	C₂³	C₂×#11719921	1	1	yes	characteristic
247	D₄	—	53	4	no	—
248	D₄	—	106	2	no	—
249	D₄	—	106	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	106	4	no	—
257	C₂×C₄	—	106	2	no	—
258	C₂×C₄	—	212	16	no	—
259	C₂×C₄	—	212	1	no	—
260	C₂×C₄	—	212	2	no	—
261	C₂×C₄	—	212	1	no	—
262	C₂×C₄	—	212	2	no	—
263	C₂×C₄	—	212	4	no	—
264	C₂×C₄	—	212	4	no	—
265	C₂×C₄	#13133143	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	C₄²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	#13133174	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	M₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	M₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	#13133242	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	#13133243	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	#13133248	1	1	yes	characteristic
275	C₈	—	4	4	no	—
276	C₈	—	106	8	no	—
277	C₂²	—	106	4	no	—
278	C₂²	—	212	4	no	—
279	C₂²	—	212	4	no	—
280	C₂²	—	212	2	no	—
281	C₂²	—	212	2	no	—
282	C₂²	C₄×#11719921	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	#16810586	1	2	yes	—
284	C₂²	#16810622	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#16810627	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	C₂×#13133143	1	2	yes	—
287	C₄	—	2	4	no	—
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	4	2	no	—
290	C₄	—	212	4	no	—
291	C₄	—	212	2	no	—
292	C₄	#97×D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	C₄	#16810575	1	1	yes	characteristic
294	C₄	#16810678	1	2	yes	—
295	C₄	#16810721	1	2	yes	—
296	C₄	#16810733	1	2	yes	—
297	C₂	—	212	4	no	—
298	C₂	#20273152	1	2	yes	—
299	C₂	#20273157	1	2	yes	—
300	C₂	#20274478	1	1	yes	characteristic
301	C₂	C₄×#13133143	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#20274543	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²
Frattini	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1767	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄
cosocle	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³
hypercenter	#1767	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#8172
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄³ ◁ #1767

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×#13133128	C₂	semidirect
4. #20272554	C₂	semidirect
5. C₅₃×#1767	C₂	semidirect
15. #16810350	C₄	semidirect
37. C₄×#88322	C₂×C₄	semidirect
47. C₄⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
119. D₂₁₂	#97	semidirect
147. #1767	D₅₃	semidirect
171. C₅₃	#8172	semidirect
194. C₄⋊C₈	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄²×D₂₁₂	2
C₄×#13133128	2
C₂×#16810350	2
#20272554	2
C₅₃×#1767	2
#8172	53