Subgroups — #27274715

Order 13568.

698 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄²×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20274568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810352	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20272555	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₅₃×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×C₄×D₂₁₂	C₄	1	2	yes	—
7	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄²×D₅₃	—	2	1	no	—
9	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#13133128	—	2	1	no	—
11	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	2	yes	—
12	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₄×#11719921	—	2	1	no	—
14	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
15	#16810378	—	2	1	no	—
16	#16810352	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₅₃×#336	—	2	2	no	—
20	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
22	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
23	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
24	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
25	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
26	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
27	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
31	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
32	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
34	C₄²×D₅₃	—	4	2	no	—
35	C₄²×D₅₃	—	4	2	no	—
36	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
37	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
38	#13133128	—	4	2	no	—
39	#13133124	—	2	2	no	—
40	#13133124	—	2	1	no	—
41	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
48	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
49	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
56	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
58	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
59	C₂×D₂₁₂	C₄²	1	2	yes	—
60	C₂×D₂₁₂	M₁₆	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
64	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
65	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
66	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
67	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
68	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
70	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
74	C₄²×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
75	C₄²×C₅₃	SD₁₆	1	2	yes	—
76	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
78	#11719921	—	2	8	no	—
79	#11719921	—	2	4	no	—
80	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
81	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	2	yes	—
83	C₄⋊Dic₅₃	M₁₆	1	4	yes	—
84	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
85	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
86	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
87	C₂×#88322	—	2	4	no	—
88	C₂×#88322	—	4	2	no	—
89	C₂×#88322	—	4	2	no	—
90	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
94	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
95	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
96	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄×C₅₃	#102	1	4	yes	—
103	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
112	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
114	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
115	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
116	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
117	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
118	D₂₁₂	—	2	2	no	—
119	D₂₁₂	—	2	4	no	—
120	D₂₁₂	#97	1	4	yes	complemented
121	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
122	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
123	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
124	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
125	#88322	—	4	4	no	—
126	#8174	—	53	1	no	maximal, Sylow
127	C₂²×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₅₃	#407	1	2	yes	—
129	C₂²×C₅₃	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₅₃	#416	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₅₃	#421	1	2	yes	—
132	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
135	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
137	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
138	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₄×C₅₃	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
141	C₄×C₅₃	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
142	C₄×C₅₃	#432	1	2	yes	—
143	C₄×C₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
144	C₄×C₅₃	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
145	Dic₅₃	—	4	4	no	—
146	Dic₅₃	—	4	2	no	—
147	C₄²×D₄	—	53	1	no	—
148	#1767	—	53	1	no	—
149	#1744	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
150	C₂×D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
151	#1279	—	53	2	no	—
152	C₂×C₅₃	#1486	1	2	yes	—
153	C₂×C₅₃	#1488	1	2	yes	—
154	C₂×C₅₃	#1749	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₅₃	#1759	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₅₃	C₄×#102	1	1	yes	characteristic
157	D₅₃	—	4	4	no	—
158	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
159	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
160	C₂²×C₄²	—	106	1	no	—
161	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
162	C₂×#97	—	106	1	no	—
163	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
164	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
165	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
166	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
167	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
168	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
169	#336	—	2	2	no	—
170	#336	—	106	1	no	—
171	D₄⋊C₈	—	53	8	no	—
172	C₅₃	#8174	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
173	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
174	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
175	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
176	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
178	C₄×D₄	—	53	4	no	—
179	C₄×D₄	—	106	4	no	—
180	C₄×D₄	—	106	4	no	—
181	C₄×D₄	—	106	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	212	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	212	2	no	—
190	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
197	#97	—	212	2	no	—
198	C₄×C₈	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
200	#95	—	106	1	no	—
201	#95	—	106	2	no	—
202	C₂⁴	—	106	1	no	—
203	C₂×D₄	—	53	2	no	—
204	C₂×D₄	—	53	4	no	—
205	C₂×D₄	—	106	1	no	—
206	C₂×D₄	—	106	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
216	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	4	4	no	—
223	C₂×C₈	—	106	4	no	—
224	C₂×C₈	—	212	2	no	—
225	C₂×C₈	—	212	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
229	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	2	no	—
235	C₄²	—	4	2	no	—
236	C₄²	—	212	4	no	—
237	C₄²	—	212	1	no	—
238	C₄²	—	212	1	no	—
239	C₄²	#11719913	1	2	yes	—
240	C₄²	D₄₂₄	1	2	yes	—
241	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
243	C₂³	—	106	4	no	—
244	C₂³	—	106	2	no	—
245	C₂³	—	212	1	no	—
246	C₂³	—	212	1	no	—
247	C₂³	—	212	2	no	—
248	C₂³	C₂×#11719921	1	1	yes	characteristic
249	D₄	—	53	4	no	—
250	D₄	—	106	2	no	—
251	D₄	—	106	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	106	4	no	—
259	C₂×C₄	—	106	2	no	—
260	C₂×C₄	—	212	16	no	—
261	C₂×C₄	—	212	1	no	—
262	C₂×C₄	—	212	2	no	—
263	C₂×C₄	—	212	1	no	—
264	C₂×C₄	—	212	2	no	—
265	C₂×C₄	—	212	4	no	—
266	C₂×C₄	—	212	4	no	—
267	C₂×C₄	#13133139	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	C₄²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	#13133174	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	M₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	M₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×#11719913	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#13133239	1	2	yes	—
277	C₈	—	4	4	no	—
278	C₈	—	212	4	no	—
279	C₂²	—	106	4	no	—
280	C₂²	—	212	2	no	—
281	C₂²	—	212	2	no	—
282	C₂²	—	212	4	no	—
283	C₂²	—	212	4	no	—
284	C₂²	C₄×#11719921	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#16810586	1	2	yes	—
286	C₂²	C₂×#13133139	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#16810620	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	#16810641	1	2	yes	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	2	4	no	—
291	C₄	—	4	2	no	—
292	C₄	—	212	2	no	—
293	C₄	—	212	4	no	—
294	C₄	#97×D₅₃	1	1	yes	characteristic
295	C₄	#16810575	1	1	yes	characteristic
296	C₄	#16810678	1	2	yes	—
297	C₄	C₄×D₄₂₄	1	2	yes	—
298	C₄	C₄×#11719913	1	2	yes	—
299	C₂	—	212	4	no	—
300	C₂	#20273141	1	2	yes	—
301	C₂	#20273150	1	2	yes	—
302	C₂	#20274478	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#20274526	1	1	yes	characteristic
304	C₂	C₄×#13133139	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²
Frattini	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1744	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄
cosocle	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³
hypercenter	#1744	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#8174
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄³ ◁ #1744

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20274568	C₂	semidirect
4. #20272555	C₂	semidirect
5. C₅₃×#1744	C₂	semidirect
16. #16810352	C₄	semidirect
37. C₄⋊#88322	C₂×C₄	semidirect
48. C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
120. D₂₁₂	#97	semidirect
149. #1744	D₅₃	semidirect
172. C₅₃	#8174	semidirect
199. C₄×C₈	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄²×D₂₁₂	2
#20274568	2
C₂×#16810352	2
#20272555	2
C₅₃×#1744	2
#8174	53