Subgroups — #27278736

Order 13568.

586 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#13133205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20273111	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20273109	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20273035	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20272548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₅₃×#1276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#13133205	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₈×D₂₁₂	—	2	2	no	—
12	#16810688	—	2	2	no	—
13	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²⋊C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
16	#16810529	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#16810525	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#16810514	—	2	2	no	—
19	#16810489	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
21	#16810355	—	2	2	no	—
22	#16810353	—	2	2	no	—
23	#16810346	—	2	2	no	—
24	C₅₃×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₅₃×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	2	yes	—
30	C₂×C₈×D₅₃	—	2	4	no	—
31	#13133205	—	2	2	no	—
32	#13133205	C₈	1	4	yes	complemented
33	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
34	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
35	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
36	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
37	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
38	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
39	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
40	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
44	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
45	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
46	C₂×#11719921	D₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
48	C₄⋊#88322	—	2	1	no	—
49	C₄⋊#88322	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
51	C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
52	#13133129	—	2	4	no	—
53	C₄×#88322	—	2	1	no	—
54	C₄×#88322	—	2	1	no	—
55	#13133124	—	2	2	no	—
56	#13133124	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
63	C₄⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
64	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
65	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
66	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
67	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
68	C₂³×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
77	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
78	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
81	C₂×D₂₁₂	C₂×C₈	1	2	yes	—
82	C₂×D₂₁₂	M₁₆	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	C₂×C₈	1	2	yes	complemented
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
95	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
99	C₄²×C₅₃	C₂×C₈	1	2	yes	complemented
100	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
103	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
104	#11719921	—	2	8	no	—
105	#11719921	—	2	2	no	—
106	#11719921	—	2	2	no	—
107	#11719921	—	4	4	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
112	#11719919	—	4	1	no	—
113	#11719919	—	4	1	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	4	1	no	—
118	C₈×D₅₃	—	8	4	no	—
119	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₅₃	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	1	yes	characteristic
143	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
150	D₂₁₂	—	2	2	no	—
151	D₂₁₂	—	2	2	no	—
152	D₂₁₂	—	2	2	no	—
153	D₂₁₂	—	2	2	no	—
154	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
155	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
156	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
157	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
158	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
159	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
160	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
161	C₈×C₅₃	—	8	1	no	—
162	#88322	—	4	2	no	—
163	#88322	—	8	1	no	—
164	#8957	—	53	1	no	maximal, Sylow
165	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₅₃	#386	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₅₃	#408	1	1	yes	characteristic
170	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
171	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
172	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
174	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
175	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
176	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
177	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
178	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
179	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
180	C₄×C₅₃	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₅₃	#435	1	1	yes	characteristic
183	C₄×C₅₃	#435	1	1	yes	characteristic
184	C₄×C₅₃	#455	1	2	yes	—
185	Dic₅₃	—	4	2	no	—
186	Dic₅₃	—	4	2	no	—
187	Dic₅₃	—	8	1	no	—
188	#2972	—	53	1	no	—
189	C₄×#124	—	53	1	no	—
190	#1479	—	53	1	no	—
191	#1479	—	53	1	no	—
192	#1460	—	53	1	no	—
193	#1276	—	53	1	no	—
194	#1276	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
195	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
196	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
197	C₂×C₅₃	#1869	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	#1884	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₅₃	#1885	1	1	yes	characteristic
200	D₅₃	—	4	4	no	—
201	C₂×#124	—	53	1	no	—
202	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
203	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
204	C₈×D₄	—	106	2	no	—
205	C₈×D₄	—	106	2	no	—
206	#431	—	53	1	no	—
207	#431	—	53	1	no	—
208	#431	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	#431	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
211	#391	—	53	1	no	—
212	#390	—	53	1	no	—
213	#388	—	106	2	no	—
214	#382	—	53	1	no	—
215	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
216	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	Q₈⋊C₈	—	106	2	no	—
218	Q₈⋊C₈	—	106	2	no	—
219	#323	—	106	2	no	—
220	C₅₃	#8957	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
221	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
222	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
223	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
224	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
225	#124	—	53	4	no	—
226	#124	—	106	2	no	—
227	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
228	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
229	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
230	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
231	C₄×D₄	—	106	1	no	—
232	C₄×D₄	—	106	1	no	—
233	C₄×D₄	—	106	1	no	—
234	C₄×D₄	—	106	1	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
241	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
244	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
248	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
249	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
250	C₄⋊C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
251	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
252	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
253	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
254	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
255	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
256	C₄×C₈	—	2	1	no	—
257	C₄×C₈	—	2	1	no	—
258	C₄×C₈	—	106	1	no	—
259	C₄×C₈	—	106	1	no	—
260	#95	—	106	2	no	—
261	#95	—	106	2	no	—
262	C₂⁴	—	53	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
265	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
266	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
267	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
268	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
269	C₂×D₄	—	53	2	no	—
270	C₂×D₄	—	53	2	no	—
271	C₂×D₄	—	106	1	no	—
272	C₂×D₄	—	106	1	no	—
273	C₂×D₄	—	106	1	no	—
274	C₂×D₄	—	106	1	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
282	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
283	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	1	no	—
288	C₂×C₈	—	106	2	no	—
289	C₂×C₈	—	424	4	no	—
290	C₂×C₈	—	212	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
301	C₄²	—	2	1	no	—
302	C₄²	—	2	1	no	—
303	C₄²	—	2	1	no	—
304	C₄²	—	4	2	no	—
305	C₄²	—	4	2	no	—
306	C₄²	—	212	1	no	—
307	C₄²	—	212	1	no	—
308	C₄²	C₈×D₅₃	1	2	yes	complemented
309	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	#11719945	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	#11719949	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	—	53	4	no	—
314	C₂³	—	106	2	no	—
315	C₂³	—	106	2	no	—
316	C₂³	—	212	2	no	—
317	C₂³	—	212	2	no	—
318	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	106	2	no	—
320	Q₈	—	106	2	no	—
321	Q₈	—	212	1	no	—
322	Q₈	—	212	1	no	—
323	D₄	—	106	2	no	—
324	D₄	—	106	2	no	—
325	D₄	—	106	2	no	—
326	D₄	—	106	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	1	no	—
333	C₂×C₄	—	4	1	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	106	2	no	—
336	C₂×C₄	—	106	2	no	—
337	C₂×C₄	—	424	2	no	—
338	C₂×C₄	—	212	2	no	—
339	C₂×C₄	—	212	1	no	—
340	C₂×C₄	—	212	1	no	—
341	C₂×C₄	—	212	1	no	—
342	C₂×C₄	—	212	4	no	—
343	C₂×C₄	—	212	2	no	—
344	C₂×C₄	#13133179	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#13133187	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#13133190	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#13133202	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×C₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	M₁₆×D₅₃	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#13133223	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#13133225	1	1	yes	characteristic
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₈	—	8	1	no	—
356	C₈	—	424	1	no	—
357	C₈	—	212	2	no	—
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	2	1	no	—
360	C₂²	—	106	4	no	—
361	C₂²	—	424	2	no	—
362	C₂²	—	212	4	no	—
363	C₂²	—	212	2	no	—
364	C₂²	—	212	2	no	—
365	C₂²	#16810501	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂²⋊C₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#16810588	1	1	yes	characteristic
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	2	1	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	424	1	no	—
374	C₄	—	212	2	no	—
375	C₄	—	212	2	no	—
376	C₄	#16810688	1	1	yes	characteristic
377	C₄	C₈×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#16810693	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#16810696	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#16810802	1	2	yes	—
381	C₂	—	2	1	no	—
382	C₂	—	2	1	no	—
383	C₂	—	212	4	no	—
384	C₂	#20275006	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#20275097	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#20275102	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#13133187
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈
Frattini	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1276	C₂
socle	C₂²×C₅₃	#386
prime radical	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄
cosocle	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³
hypercenter	#1276	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#8957
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ #1276

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20273111	C₂	semidirect
4. #20273109	C₂	semidirect
6. #20272548	C₂	semidirect
7. C₅₃×#1276	C₂	semidirect
32. #13133205	C₈	semidirect
91. C₂×Dic₁₀₆	C₂×C₈	semidirect
99. C₄²×C₅₃	C₂×C₈	semidirect
194. #1276	D₅₃	semidirect
220. C₅₃	#8957	semidirect
308. C₄²	C₈×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283738	2
C₄×#13133205	2
#20273111	2
#20273109	2
#20273035	2
#20272548	2
C₅₃×#1276	2
#8957	53