Subgroups — #27284130

Order 13568.

680 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×C₂²⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20272557	C₂	1	4	yes	maximal
4	C₅₃×#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂³×Dic₁₀₆	C₄	1	1	yes	characteristic
6	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×C₄×#88322	—	2	1	no	—
9	#16810529	—	2	1	no	—
10	#16810529	—	2	1	no	—
11	#16810529	—	2	1	no	—
12	#16810529	—	2	1	no	—
13	C₂×#13133124	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×#13133124	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810378	—	2	1	no	—
16	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
18	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
19	C₅₃×#336	—	2	1	no	—
20	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
21	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
22	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
23	C₂²×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
24	C₂²×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
25	C₂²×Dic₁₀₆	C₈	1	4	yes	complemented
26	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
27	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
29	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
30	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
31	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
32	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
33	C₂²⋊#88322	Q₈	1	4	yes	complemented
34	C₄×#88322	—	4	2	no	—
35	#13133124	—	2	2	no	—
36	#13133124	—	2	2	no	—
37	#13133124	—	2	2	no	—
38	#13133124	—	2	2	no	—
39	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
44	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₄⋊C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
49	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
56	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
57	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
58	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×C₈	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	M₁₆	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
68	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
77	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
78	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
79	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
80	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
81	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
82	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
83	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
85	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
88	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
91	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
92	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
94	C₂×#88322	—	2	4	no	—
95	C₂×#88322	—	4	2	no	—
96	C₂×#88322	—	4	2	no	—
97	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
103	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₅₃	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₅₃	#131	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	#99	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	#100	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	#101	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
139	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
140	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
141	C₈×C₅₃	—	8	2	no	—
142	#88322	—	4	4	no	—
143	#9878	—	53	1	no	maximal, Sylow
144	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₅₃	#391	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₅₃	#408	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	C₂×#99	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	#410	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂×#100	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	C₂×#101	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	C₈×Q₈	1	2	yes	—
160	C₂²×C₅₃	#446	1	2	yes	—
161	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
166	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
167	C₄×C₅₃	#323	1	4	yes	—
168	Dic₅₃	—	4	4	no	—
169	Dic₅₃	—	8	2	no	—
170	C₂×#391	—	53	1	no	—
171	#1797	D₅₃	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
173	#1280	—	53	4	no	—
174	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₂×C₅₃	C₂×#323	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₅₃	#1461	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	#1469	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	#1472	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	#1984	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#1996	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#1997	1	1	yes	characteristic
183	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
184	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
185	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
189	C₂×C₄×C₈	—	106	1	no	—
190	#391	—	106	1	no	—
191	#391	—	106	1	no	—
192	#391	—	106	1	no	—
193	#391	—	106	1	no	—
194	C₂×#95	—	53	2	no	—
195	C₂×#95	—	53	2	no	—
196	#336	—	2	1	no	—
197	#336	—	106	1	no	—
198	C₅₃	#9878	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
199	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
200	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
201	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
202	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
203	C₂²×Q₈	—	212	2	no	—
204	C₂²×Q₈	—	212	2	no	—
205	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
206	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
207	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
216	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
223	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
224	C₄×C₈	—	212	2	no	—
225	#95	—	106	2	no	—
226	#95	—	106	2	no	—
227	#95	—	106	2	no	—
228	#95	—	106	2	no	—
229	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
236	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
254	C₂²×C₄	C₈×D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#11719912	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#11719921	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	#11719921	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	#11719921	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	#11719921	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	106	4	no	—
268	C₂×C₈	—	212	2	no	—
269	C₂×C₈	—	212	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	4	1	no	—
275	C₄²	—	4	1	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	C₂×#11719921	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	#13133182	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂×C₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×#11719912	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	#13133225	1	2	yes	—
285	Q₈	—	212	8	no	—
286	Q₈	—	212	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	106	4	no	—
304	C₂×C₄	—	424	4	no	—
305	C₂×C₄	—	212	2	no	—
306	C₂×C₄	—	212	2	no	—
307	C₂×C₄	—	212	2	no	—
308	C₂×C₄	—	212	4	no	—
309	C₂×C₄	—	212	2	no	—
310	C₂×C₄	—	212	2	no	—
311	C₂×C₄	—	212	4	no	—
312	C₂×C₄	#13133129	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#13133129	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#13133131	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#13133133	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#13133135	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#13133197	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#13133204	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#13133215	1	1	yes	characteristic
320	C₈	—	8	2	no	—
321	C₈	—	212	4	no	—
322	C₂²	—	2	1	no	—
323	C₂²	—	2	1	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	1	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	#16810528	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#13133129	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#16810591	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂×#13133131	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#16810596	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#13133133	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#13133135	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#16810747	1	2	yes	—
338	C₂²	#16810750	1	2	yes	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	1	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	4	1	no	—
345	C₄	—	424	2	no	—
346	C₄	—	212	4	no	—
347	C₄	#16810346	1	4	yes	—
348	C₂	—	2	2	no	—
349	C₂	—	2	2	no	—
350	C₂	C₂×#16810346	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#20273038	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#20273068	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#20273080	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20275650	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#20275699	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#20275703	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×#11719921
commutator	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈
Frattini	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1797	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³
hypercenter	#1797	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#9878
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1797

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
25. C₂²×Dic₁₀₆	C₈	semidirect
33. C₂²⋊#88322	Q₈	semidirect
198. C₅₃	#9878	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810529	2
C₄×C₂²⋊#88322	2
#20272557	2
C₅₃×#1797	2
#9878	53