Subgroups — #27290352

Order 13568.

1074 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133143	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20277205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810469	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#16810384	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133143	—	2	4	no	—
10	C₂×#13133143	—	2	4	no	—
11	C₂×#13133143	C₄	1	8	yes	complemented
12	#16810529	C₄	1	2	yes	complemented
13	#16810525	C₄	1	2	yes	complemented
14	#16810502	—	2	2	no	—
15	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
16	#16810469	—	2	4	no	—
17	C₂×#13133124	—	2	2	no	—
18	#16810384	—	2	4	no	—
19	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₅₃×#336	—	2	2	no	—
22	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
23	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
24	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
25	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
26	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
27	C₂×#11719945	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
31	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
33	#13133176	—	2	2	no	—
34	#13133176	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
37	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	4	yes	—
45	#13133143	—	2	16	no	—
46	#13133124	—	2	8	no	—
47	#13133124	—	2	4	no	—
48	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
61	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
75	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	1	no	—
77	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	1	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
85	#11719945	—	2	4	no	—
86	#11719945	—	2	4	no	—
87	#11719945	—	2	4	no	—
88	#11719945	—	2	4	no	—
89	#11719945	—	4	2	no	—
90	#11719945	—	4	2	no	—
91	#11719945	—	4	2	no	—
92	#11719945	—	4	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
96	C₂×D₂₁₂	C₄²	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
100	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	C₄²	1	2	yes	—
105	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
106	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
107	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
108	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
109	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
111	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
112	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
114	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
115	#11719921	—	4	8	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
117	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
119	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
120	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
121	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
122	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
123	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
128	C₂³×C₅₃	#123	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	#126	1	2	yes	—
153	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	1	yes	characteristic
154	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
163	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
164	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
165	D₂₁₂	—	2	4	no	—
166	D₂₁₂	—	4	2	no	—
167	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
168	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
169	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
170	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
171	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
172	#10924	—	53	1	no	maximal, Sylow
173	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₅₃	#386	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₅₃	#386	1	2	yes	—
180	C₂²×C₅₃	#388	1	2	yes	—
181	C₂²×C₅₃	#390	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₅₃	#421	1	4	yes	—
183	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
184	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
185	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
186	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
187	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
188	C₄×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₄×C₅₃	#388	1	2	yes	—
190	C₄×C₅₃	#388	1	2	yes	—
191	C₄×C₅₃	#390	1	2	yes	—
192	Dic₅₃	—	4	8	no	—
193	Dic₅₃	—	4	2	no	—
194	Dic₅₃	—	8	2	no	—
195	C₂²×#104	—	53	2	no	—
196	#2297	—	53	1	no	—
197	C₂×#376	—	53	1	no	—
198	C₂×#339	—	53	2	no	—
199	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
200	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
201	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
202	C₂×C₅₃	#1437	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₅₃	#1759	1	2	yes	—
204	C₂×C₅₃	#1897	1	2	yes	—
205	C₂×C₅₃	#1963	1	2	yes	—
206	D₅₃	—	8	2	no	—
207	C₂²×#41	—	53	1	no	—
208	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
209	C₂×#117	—	53	1	no	—
210	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
211	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂×#104	—	53	8	no	—
213	C₂×#104	—	106	4	no	—
214	C₂×#104	—	106	4	no	—
215	#391	—	53	2	no	—
216	#390	—	53	2	no	—
217	#386	—	106	2	no	—
218	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
219	#376	—	106	4	no	—
220	C₂×#95	—	106	2	no	—
221	#339	—	106	4	no	—
222	#336	—	2	2	no	—
223	C₅₃	#10924	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
224	C₂×#41	—	53	4	no	—
225	C₂×#41	—	106	2	no	—
226	C₂×#41	—	106	2	no	—
227	C₂×#41	—	106	2	no	—
228	C₂×#41	—	106	2	no	—
229	C₂×#41	—	106	2	no	—
230	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
231	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
232	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
233	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
234	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
235	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
236	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
238	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
239	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
240	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
241	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
242	C₂×M₁₆	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
243	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
244	#117	—	106	2	no	—
245	#117	—	106	2	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
247	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
248	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
249	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
252	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
253	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
254	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
255	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
256	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
257	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
258	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
259	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
260	#104	—	106	16	no	—
261	#95	—	106	8	no	—
262	#95	—	106	4	no	—
263	C₂⁴	—	106	1	no	—
264	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
265	#41	—	106	4	no	—
266	#41	—	106	4	no	—
267	#41	—	106	4	no	—
268	#41	—	106	4	no	—
269	#41	—	212	2	no	—
270	#41	—	212	2	no	—
271	#41	—	212	2	no	—
272	#41	—	212	2	no	—
273	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
274	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
275	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
276	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
277	C₂×D₄	—	53	2	no	—
278	C₂×D₄	—	106	4	no	—
279	C₂×D₄	—	106	1	no	—
280	C₂×D₄	—	106	2	no	—
281	C₂×D₄	—	106	2	no	—
282	C₂×D₄	—	212	1	no	—
283	C₂×D₄	—	212	2	no	—
284	C₂×D₄	—	212	1	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
289	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
292	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
293	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
295	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
296	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
297	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
298	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
299	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
305	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
306	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
307	M₁₆	—	2	4	no	—
308	M₁₆	—	2	4	no	—
309	M₁₆	—	4	2	no	—
310	M₁₆	—	4	2	no	—
311	C₂×C₈	—	2	4	no	—
312	C₂×C₈	—	4	2	no	—
313	C₂×C₈	—	4	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	53	8	no	—
320	C₄²	—	106	4	no	—
321	C₄²	—	106	4	no	—
322	C₄²	—	106	4	no	—
323	C₄²	—	212	1	no	—
324	C₄²	—	212	1	no	—
325	C₂³	—	2	4	no	—
326	C₂³	—	106	2	no	—
327	C₂³	—	212	1	no	—
328	C₂³	—	212	1	no	—
329	C₂³	—	212	4	no	—
330	C₂³	C₂×#11719921	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
332	C₂³	#13133187	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	#13133192	1	2	yes	—
334	C₂³	#13133201	1	1	yes	characteristic
335	Q₈	—	106	4	no	—
336	Q₈	—	212	2	no	—
337	D₄	—	106	4	no	—
338	D₄	—	212	4	no	—
339	D₄	—	212	4	no	—
340	D₄	—	212	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	106	8	no	—
347	C₂×C₄	—	106	2	no	—
348	C₂×C₄	—	212	2	no	—
349	C₂×C₄	—	212	4	no	—
350	C₂×C₄	—	212	8	no	—
351	C₂×C₄	—	212	8	no	—
352	C₂×C₄	—	212	8	no	—
353	C₂×C₄	—	212	1	no	—
354	C₂×C₄	—	212	1	no	—
355	C₂×C₄	—	212	4	no	—
356	C₂×C₄	—	212	4	no	—
357	C₂×C₄	C₄²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#13133174	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#13133175	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#13133177	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#13133177	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#13133189	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#13133190	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#13133202	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#13133203	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#13133206	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#13133212	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#13133213	1	1	yes	characteristic
373	C₈	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	424	2	no	—
379	C₂²	—	424	2	no	—
380	C₂²	—	212	2	no	—
381	C₂²	—	212	4	no	—
382	C₂²	C₄×#11719921	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#16810500	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#16810501	1	2	yes	—
385	C₂²	#16810515	1	2	yes	—
386	C₂²	#16810524	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#16810639	1	4	yes	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	424	2	no	—
390	C₄	—	212	8	no	—
391	C₄	—	212	2	no	—
392	C₄	#16810470	1	2	yes	—
393	C₄	#16810512	1	2	yes	—
394	C₄	#16810513	1	2	yes	—
395	C₄	#16810523	1	2	yes	—
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	424	2	no	—
399	C₂	#20272951	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#20274528	1	2	yes	—
401	C₂	#20275161	1	2	yes	—
402	C₂	#20275546	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²
Frattini	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#11719945	C₂²
cosocle	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#10924
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#16810469	C₂	semidirect
4. C₂×#16810384	C₂	semidirect
5. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
11. C₂×#13133143	C₄	semidirect
12. #16810529	C₄	semidirect
13. #16810525	C₄	semidirect
122. C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	semidirect
199. #1728	D₅₃	semidirect
223. C₅₃	#10924	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133143	2
#20277205	2
C₂×#16810469	2
C₂×#16810384	2
C₅₃×#1728	2
#10924	53