Subgroups — #27290815

Order 13568.

1506 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811173	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#13133143	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₄×#13133124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#11719945	C₂²	1	2	yes	—
6	#16811173	—	2	8	no	—
7	C₂×#13133217	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
8	C₂×#13133214	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
9	C₂×#13133205	C₄	1	2	yes	complemented
10	C₂×#13133191	—	2	2	no	—
11	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
12	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133143	—	2	8	no	—
14	C₂×#13133143	—	2	8	no	—
15	C₂×#13133143	—	2	8	no	—
16	C₂×#13133124	—	2	2	no	—
17	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₅₃×#336	—	2	2	no	—
20	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
21	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
22	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
23	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
24	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
25	C₂×#11719945	D₄	1	8	yes	—
26	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
30	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
32	#13133217	—	2	4	no	—
33	#13133214	—	2	4	no	—
34	#13133205	—	2	4	no	—
35	#13133205	—	2	4	no	—
36	#13133191	—	2	16	no	—
37	C₄×D₂₁₂	—	2	16	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
44	#13133143	—	2	32	no	—
45	#13133124	—	2	8	no	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
52	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
72	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
73	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
81	#11719945	—	2	8	no	—
82	#11719945	—	2	8	no	—
83	#11719945	—	2	8	no	—
84	#11719945	—	2	8	no	—
85	#11719945	—	4	4	no	—
86	#11719945	—	4	4	no	—
87	#11719945	—	4	4	no	—
88	#11719945	—	4	4	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
95	C₂×D₂₁₂	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
104	M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
105	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
108	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
109	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
112	#11719921	—	2	16	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
120	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
121	C₂³×C₅₃	#124	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₅₃	#127	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#104	1	4	yes	complemented
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	4	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	1	yes	characteristic
146	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
147	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
156	D₂₁₂	—	2	8	no	—
157	D₂₁₂	—	4	16	no	—
158	D₂₁₂	—	4	4	no	—
159	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
160	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
161	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
162	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
163	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
164	#11011	—	53	1	no	maximal, Sylow
165	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₅₃	#379	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₅₃	#390	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₅₃	#390	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₅₃	#392	1	2	yes	—
174	C₂²×C₅₃	#394	1	2	yes	—
175	C₂²×C₅₃	C₂×#104	1	2	yes	—
176	C₂²×C₅₃	#421	1	2	yes	—
177	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
178	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
179	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
181	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
182	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
183	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
184	C₄×C₅₃	#386	1	4	yes	—
185	C₄×C₅₃	#392	1	2	yes	—
186	C₄×C₅₃	#394	1	2	yes	—
187	Dic₅₃	—	4	8	no	—
188	Dic₅₃	—	4	4	no	—
189	C₂×#532	—	53	1	no	—
190	C₂²×#104	—	53	4	no	—
191	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
192	C₄×#95	—	53	1	no	—
193	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
194	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
195	C₂×C₅₃	#1438	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#1789	1	2	yes	—
197	C₂×C₅₃	#1962	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	#1963	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₅₃	#1980	1	2	yes	—
200	D₅₃	—	8	4	no	—
201	C₂²×#41	—	53	2	no	—
202	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
203	#532	—	106	8	no	—
204	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
205	C₂×#127	—	53	1	no	—
206	C₂×#124	—	53	2	no	—
207	C₂×#121	—	106	2	no	—
208	C₂×C₄×D₄	—	106	2	no	—
209	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
210	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	C₂×#104	—	106	8	no	—
212	C₂×#104	—	106	8	no	—
213	C₂×#104	—	106	8	no	—
214	C₂×#95	—	106	2	no	—
215	#336	—	2	2	no	—
216	C₅₃	#11011	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
217	C₂×#41	—	53	8	no	—
218	C₂×#41	—	106	4	no	—
219	C₂×#41	—	106	4	no	—
220	C₂×#41	—	106	4	no	—
221	C₂×#41	—	106	4	no	—
222	C₂×#41	—	106	4	no	—
223	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
224	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
225	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
226	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
227	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
228	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
229	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
230	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
232	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
233	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
234	C₂×M₁₆	D₂₁₂	1	4	yes	complemented
235	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
236	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
237	#127	—	106	4	no	—
238	#124	—	106	4	no	—
239	#124	—	106	4	no	—
240	#121	—	106	16	no	—
241	C₄×D₄	—	106	16	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
243	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
244	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
246	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
247	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
248	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
249	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
252	#104	—	106	32	no	—
253	#95	—	106	8	no	—
254	C₂⁴	—	106	2	no	—
255	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
256	#41	—	106	8	no	—
257	#41	—	106	8	no	—
258	#41	—	106	8	no	—
259	#41	—	106	8	no	—
260	#41	—	212	4	no	—
261	#41	—	212	4	no	—
262	#41	—	212	4	no	—
263	#41	—	212	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
266	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
268	C₂×D₄	—	53	4	no	—
269	C₂×D₄	—	106	8	no	—
270	C₂×D₄	—	106	8	no	—
271	C₂×D₄	—	106	2	no	—
272	C₂×D₄	—	106	4	no	—
273	C₂×D₄	—	106	4	no	—
274	C₂×D₄	—	212	4	no	—
275	C₂×D₄	—	212	4	no	—
276	C₂×D₄	—	212	2	no	—
277	C₂×D₄	—	212	2	no	—
278	C₂×D₄	—	212	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
283	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
286	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
292	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
298	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
299	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	M₁₆	—	2	8	no	—
302	M₁₆	—	4	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	2	2	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	106	8	no	—
312	C₄²	—	212	4	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	106	4	no	—
316	C₂³	—	212	2	no	—
317	C₂³	—	212	2	no	—
318	C₂³	—	212	4	no	—
319	C₂³	—	212	4	no	—
320	C₂³	C₂×#11719921	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	#13133187	1	2	yes	—
322	C₂³	#13133192	1	2	yes	—
323	C₂³	#13133205	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	#13133214	1	1	yes	characteristic
325	Q₈	—	106	8	no	—
326	Q₈	—	212	4	no	—
327	D₄	—	106	8	no	—
328	D₄	—	212	16	no	—
329	D₄	—	212	8	no	—
330	D₄	—	212	8	no	—
331	D₄	—	212	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	106	8	no	—
339	C₂×C₄	—	106	4	no	—
340	C₂×C₄	—	212	4	no	—
341	C₂×C₄	—	212	8	no	—
342	C₂×C₄	—	212	8	no	—
343	C₂×C₄	—	212	2	no	—
344	C₂×C₄	—	212	2	no	—
345	C₂×C₄	—	212	4	no	—
346	C₂×C₄	—	212	8	no	—
347	C₂×C₄	—	212	8	no	—
348	C₂×C₄	#13133143	1	4	yes	complemented
349	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#13133187	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	#13133190	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#13133192	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	#13133202	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	#13133206	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#13133213	1	1	yes	characteristic
360	C₈	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	4	no	—
366	C₂²	—	424	2	no	—
367	C₂²	—	424	2	no	—
368	C₂²	—	424	4	no	—
369	C₂²	—	212	4	no	—
370	C₂²	—	212	8	no	—
371	C₂²	#16810478	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#16810524	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#16810525	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#16810533	1	2	yes	—
375	C₂²	#16810541	1	2	yes	—
376	C₂²	C₂×#13133143	1	2	yes	—
377	C₂²	#16810639	1	2	yes	—
378	C₄	—	2	4	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	212	8	no	—
381	C₄	—	212	4	no	—
382	C₄	#16810501	1	4	yes	—
383	C₄	#16810532	1	2	yes	—
384	C₄	#16810540	1	2	yes	—
385	C₂	—	2	2	no	—
386	C₂	—	2	2	no	—
387	C₂	—	424	4	no	—
388	C₂	#20272955	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#20274658	1	2	yes	—
390	C₂	#20275542	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#20275546	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20275634	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃
commutator	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄
Frattini	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#16811173	C₂
cosocle	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#11011
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#13133143	C₂	semidirect
3. C₄×#13133124	C₂	semidirect
4. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
7. C₂×#13133217	C₄	semidirect
8. C₂×#13133214	C₄	semidirect
9. C₂×#13133205	C₄	semidirect
43. C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	semidirect
51. C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	semidirect
134. C₂×C₄×C₅₃	#104	semidirect
191. #1728	D₅₃	semidirect
216. C₅₃	#11011	semidirect
234. C₂×M₁₆	D₂₁₂	semidirect
348. C₂×C₄	#13133143	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811173	2
C₂²×#13133143	2
C₄×#13133124	2
C₅₃×#1728	2
#11011	53