Subgroups — #27292998

Order 13568.

1246 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810378	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810377	C₂	1	4	yes	maximal
4	C₂×C₅₃×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂³×Dic₁₀₆	C₄	1	1	yes	characteristic
6	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
8	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
9	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
10	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#11719919	C₄	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
13	#16810378	—	2	2	no	—
14	#16810377	—	2	8	no	—
15	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₅₃×#336	—	2	2	no	—
18	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
19	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
20	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
21	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
22	C₂²×Dic₁₀₆	C₈	1	4	yes	complemented
23	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
24	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
25	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
26	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
27	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
28	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
29	C₂²×#88322	Q₈	1	4	yes	complemented
30	C₄×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
31	C₄×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
32	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
34	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
35	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
36	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	8	yes	—
41	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₈×C₅₃	Q₈	1	4	yes	complemented
49	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
52	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×C₈	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	M₁₆	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
69	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
78	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×Dic₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
80	C₂²×Dic₅₃	M₁₆	1	4	yes	—
81	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
82	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
83	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
89	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
91	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
94	#11719919	—	2	16	no	—
95	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
96	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
97	C₂×#88322	—	2	8	no	—
98	C₂×#88322	—	2	4	no	—
99	C₂×#88322	—	4	2	no	—
100	C₂×#88322	—	4	4	no	—
101	C₂×#88322	—	4	2	no	—
102	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
106	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₅₃	#131	1	2	yes	—
110	C₂³×C₅₃	#131	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
144	Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
145	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
146	#88322	—	4	4	no	—
147	#11380	—	53	1	no	maximal, Sylow
148	C₂²×C₅₃	#379	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₅₃	#391	1	4	yes	—
150	C₂²×C₅₃	#391	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	#391	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
153	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₅₃	#407	1	2	yes	—
155	C₂²×C₅₃	#407	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	#408	1	4	yes	—
157	C₂²×C₅₃	#408	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	#408	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	C₈×Q₈	1	2	yes	—
160	C₂²×C₅₃	C₈×Q₈	1	2	yes	—
161	C₂²×C₅₃	#446	1	4	yes	—
162	C₂²×C₅₃	#446	1	2	yes	—
163	C₂²×C₅₃	#446	1	2	yes	—
164	C₂²×C₅₃	#446	1	4	yes	—
165	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
166	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
167	C₄×C₅₃	#393	1	2	yes	—
168	C₄×C₅₃	#393	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	#395	1	2	yes	—
170	C₄×C₅₃	#395	1	2	yes	—
171	Dic₅₃	—	2	8	no	—
172	Dic₅₃	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
174	C₂×#336	—	53	1	no	—
175	C₂×#336	—	53	4	no	—
176	C₂×#336	D₅₃	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₅₃	#1446	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	#1779	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	#1780	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	#1984	1	4	yes	—
181	C₂×C₅₃	#1984	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#1984	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	#1985	1	4	yes	—
184	C₂×C₅₃	#1985	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	#1985	1	1	yes	characteristic
186	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
187	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
188	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
189	C₂×C₄×Q₈	—	106	8	no	—
190	C₂×C₄×Q₈	—	106	2	no	—
191	C₂×C₄×Q₈	—	106	2	no	—
192	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
193	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
194	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
195	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	#336	—	2	2	no	—
197	#336	—	106	8	no	—
198	#336	—	106	2	no	—
199	C₅₃	#11380	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
200	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
201	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
202	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
203	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
204	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
205	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
206	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
207	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
215	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
216	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
217	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
218	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
219	C₂²×C₈	Dic₁₀₆	1	4	yes	complemented
220	C₄×Q₈	—	106	16	no	—
221	C₄×Q₈	—	106	16	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
227	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
229	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
230	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
231	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
232	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
233	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
236	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
237	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
238	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
239	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
257	C₂²×C₄	C₈×D₅₃	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#11719912	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	—	2	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	106	8	no	—
274	C₂×C₈	—	106	4	no	—
275	C₂×C₈	—	212	2	no	—
276	C₂×C₈	—	212	4	no	—
277	C₂×C₈	—	212	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
279	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	106	8	no	—
283	C₄²	—	106	8	no	—
284	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂×#11719921	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	#13133182	1	2	yes	—
287	C₂³	C₄×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂×C₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	M₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂×#11719912	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	#13133223	1	2	yes	—
292	C₂³	#13133225	1	2	yes	—
293	Q₈	—	106	32	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	53	8	no	—
303	C₂×C₄	—	106	4	no	—
304	C₂×C₄	—	106	4	no	—
305	C₂×C₄	—	106	4	no	—
306	C₂×C₄	—	106	4	no	—
307	C₂×C₄	—	106	4	no	—
308	C₂×C₄	—	106	4	no	—
309	C₂×C₄	—	106	8	no	—
310	C₂×C₄	—	106	4	no	—
311	C₂×C₄	—	212	4	no	—
312	C₂×C₄	—	212	2	no	—
313	C₂×C₄	—	212	2	no	—
314	C₂×C₄	#13133129	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#13133187	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#13133194	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#13133195	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#13133196	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#13133197	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#13133203	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#13133204	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#13133205	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#13133215	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#13133216	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#13133217	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	4	4	no	—
328	C₈	—	212	4	no	—
329	C₂²	#16810478	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#16810527	1	4	yes	—
331	C₂²	#16810528	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#16810529	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂²⋊C₈×D₅₃	1	2	yes	—
334	C₂²	C₂×#13133129	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#16810585	1	2	yes	—
336	C₂²	#16810586	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#16810588	1	4	yes	—
338	C₂²	#16810589	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#16810591	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#16810747	1	2	yes	—
341	C₂²	C₈×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
342	C₂²	#16810750	1	2	yes	—
343	C₂²	#16810751	1	4	yes	—
344	C₂²	#16810752	1	4	yes	—
345	C₂²	#16810753	1	2	yes	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	106	8	no	—
349	C₄	—	212	4	no	—
350	C₄	#16810535	1	2	yes	—
351	C₄	#16810536	1	2	yes	—
352	C₄	#16810543	1	2	yes	—
353	C₄	#16810544	1	2	yes	—
354	C₂	#20272985	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#20274624	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#20274626	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#20275649	1	4	yes	—
358	C₂	#20275650	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#20275651	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20275653	1	4	yes	—
361	C₂	#20275654	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20275655	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃
commutator	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈
Fitting	C₂×C₅₃×#336	C₂
socle, prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³
hypercenter	C₂×#336	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#11380
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×#336

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
22. C₂²×Dic₁₀₆	C₈	semidirect
29. C₂²×#88322	Q₈	semidirect
48. C₂²×C₈×C₅₃	Q₈	semidirect
199. C₅₃	#11380	semidirect
219. C₂²×C₈	Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Dic₁₀₆	2
C₂×#16810378	2
C₂×#16810377	2
C₂×C₅₃×#336	2
#11380	53