Subgroups — #27299307

Order 13568.

526 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 254 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810425	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₄×#13133151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20272807	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₅₃×#346	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
8	C₄×D₄₂₄	—	2	2	no	—
9	C₄×D₄₂₄	C₄	1	4	yes	complemented
10	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133139	—	2	1	no	—
13	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
14	#16810425	C₄	1	8	yes	complemented
15	#16810386	—	2	1	no	—
16	C₂²×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₅₃×#346	—	2	2	no	—
19	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
21	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
22	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
23	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
24	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
25	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
26	C₄×D₂₁₂	—	4	2	no	—
27	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
28	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
29	C₂×#11719921	—	4	1	no	—
30	C₂×C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
31	#13133151	—	2	1	no	—
32	#13133151	—	2	2	no	—
33	#13133151	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	#13133151	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
35	#13133139	—	2	4	no	—
36	#13133124	—	4	1	no	—
37	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂×C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
43	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
45	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
46	C₂²×C₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
50	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
51	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
52	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
53	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
54	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
56	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
57	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂×C₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
63	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
64	C₄²×C₅₃	SD₁₆	1	2	yes	—
65	#11719921	—	4	4	no	—
66	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
67	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
68	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
69	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
70	C₄×Dic₅₃	—	8	2	no	—
71	D₄₂₄	—	2	2	no	—
72	D₄₂₄	—	2	4	no	—
73	D₄₂₄	C₄²	1	4	yes	complemented
74	C₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
77	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
78	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
79	C₂²×D₅₃	—	8	1	no	—
80	C₂²×D₅₃	—	8	1	no	—
81	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄×C₅₃	#102	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₅₃	#102	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
90	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
91	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
92	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
93	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
94	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
95	D₂₁₂	—	2	4	no	—
96	D₂₁₂	—	4	2	no	—
97	D₂₁₂	—	4	4	no	—
98	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
99	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₈×C₅₃	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
101	C₈×C₅₃	#117	1	1	yes	characteristic
102	C₈×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
103	#12637	—	53	1	no	maximal, Sylow
104	C₂²×C₅₃	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
106	C₂²×C₅₃	#509	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₅₃	#509	1	2	yes	—
108	C₂²×C₅₃	#510	1	1	yes	characteristic
109	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
111	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
112	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
113	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
114	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₄×C₅₃	#416	1	1	yes	characteristic
118	C₄×C₅₃	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
119	Dic₅₃	—	8	2	no	—
120	Dic₅₃	—	8	4	no	—
121	C₂×C₄×D₈	—	53	1	no	—
122	C₂×#357	—	53	2	no	—
123	C₂×#346	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
124	C₄×#107	—	53	1	no	—
125	#1380	—	53	2	no	—
126	C₂×C₅₃	C₄×#102	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₅₃	#2139	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₅₃	#2140	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₅₃	#2175	1	2	yes	—
130	C₂×C₅₃	#2177	1	2	yes	—
131	D₅₃	—	8	4	no	—
132	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
133	C₂×C₄×D₄	—	106	1	no	—
134	C₂²×C₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
135	C₄×D₈	—	53	4	no	—
136	C₄×D₈	—	106	2	no	—
137	C₂×#107	—	53	2	no	—
138	C₂×#107	—	53	1	no	—
139	C₂×#102	—	106	1	no	—
140	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
141	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
142	#357	—	53	8	no	—
143	#346	—	2	2	no	—
144	#340	—	106	1	no	—
145	C₅₃	#12637	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
146	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
147	C₂³×C₄	—	212	1	no	—
148	C₂×D₈	—	53	4	no	—
149	C₂×D₈	—	53	2	no	—
150	C₂×D₈	—	106	2	no	—
151	C₂×D₈	—	106	1	no	—
152	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
154	C₄×D₄	—	106	4	no	—
155	C₄×D₄	—	212	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
159	C₂×C₄²	—	212	1	no	—
160	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
163	C₂×C₁₆	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
164	#107	—	53	2	no	—
165	#107	—	53	4	no	—
166	#107	—	106	2	no	—
167	#107	—	106	1	no	—
168	#102	—	106	4	no	—
169	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
170	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
171	#95	—	212	1	no	—
172	C₂⁴	—	212	1	no	—
173	C₂×D₄	—	106	2	no	—
174	C₂×D₄	—	106	4	no	—
175	C₂×D₄	—	212	1	no	—
176	C₂×D₄	—	212	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
181	C₂²×C₄	D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
184	D₈	—	53	4	no	—
185	D₈	—	106	2	no	—
186	D₈	—	106	4	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	#11719921	1	2	yes	—
189	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂×C₈	#11719945	1	2	yes	—
192	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
194	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
196	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
198	C₄²	—	424	2	no	—
199	C₄²	#11719913	1	2	yes	—
200	C₄²	#11719921	1	2	yes	—
201	C₁₆	—	2	4	no	—
202	C₂³	—	424	2	no	—
203	C₂³	—	424	1	no	—
204	C₂³	—	424	1	no	—
205	C₂³	—	212	2	no	—
206	C₂³	—	212	4	no	—
207	C₂³	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
208	D₄	—	106	4	no	—
209	D₄	—	212	2	no	—
210	D₄	—	212	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄	—	424	8	no	—
215	C₂×C₄	—	424	2	no	—
216	C₂×C₄	—	424	2	no	—
217	C₂×C₄	—	424	2	no	—
218	C₂×C₄	—	212	2	no	—
219	C₂×C₄	—	212	4	no	—
220	C₂×C₄	#13133139	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	#13133139	1	2	yes	—
222	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
224	C₂×C₄	C₂×#11719913	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	#13133239	1	2	yes	—
226	C₈	—	2	2	no	—
227	C₈	C₄²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₈	#13133174	1	1	yes	characteristic
229	C₈	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
230	C₂²	—	424	4	no	—
231	C₂²	—	424	4	no	—
232	C₂²	—	424	2	no	—
233	C₂²	—	424	2	no	—
234	C₂²	—	212	4	no	—
235	C₂²	C₂×#13133139	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	C₄×D₄₂₄	1	2	yes	—
237	C₂²	#16811061	1	2	yes	—
238	C₂²	#16811061	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	#16811066	1	1	yes	characteristic
240	C₄	—	2	2	no	—
241	C₄	—	2	2	no	—
242	C₄	—	424	4	no	—
243	C₄	—	424	2	no	—
244	C₄	C₄×#11719921	1	1	yes	characteristic
245	C₄	#16810620	1	1	yes	characteristic
246	C₄	C₄×#11719913	1	2	yes	—
247	C₂	—	424	4	no	—
248	C₂	C₄×#13133139	1	1	yes	characteristic
249	C₂	#20276428	1	1	yes	characteristic
250	C₂	#20276432	1	1	yes	characteristic
251	C₂	#20276581	1	2	yes	—
252	C₂	#20276592	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄₂₄
commutator	C₈×C₅₃	C₂×C₄²
Frattini	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#346	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂×D₈
prime radical	C₂²×D₄₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³
hypercenter	C₂×#346	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#12637
LCS	G ▷ C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ C₂×#346

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₄×#13133151	C₂	semidirect
4. #20272807	C₂	semidirect
5. C₂×C₅₃×#346	C₂	semidirect
9. C₄×D₄₂₄	C₄	semidirect
14. #16810425	C₄	semidirect
34. #13133151	C₂×C₄	semidirect
42. C₂×C₁₆×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
73. D₄₂₄	C₄²	semidirect
123. C₂×#346	D₅₃	semidirect
145. C₅₃	#12637	semidirect
163. C₂×C₁₆	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×D₄₂₄	2
C₂×#16810425	2
C₄×#13133151	2
#20272807	2
C₂×C₅₃×#346	2
#12637	53