Subgroups — #27299544

Order 13568.

890 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20276343	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810407	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20276336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₅₃×#3573	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#13133157	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
7	C₂×#13133157	C₂²	1	2	yes	complemented
8	C₂²×#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
9	#16810407	—	2	4	no	—
10	#16810407	—	2	4	no	—
11	#16810405	—	2	2	no	—
12	C₂²⋊#11719908	—	2	2	no	—
13	C₅₃×#585	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₅₃×#568	—	2	4	no	—
15	C₅₃×#568	—	2	2	no	—
16	C₅₃×#568	C₄	1	2	yes	—
17	C₅₃×#568	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#131×C₅₃	—	2	4	no	—
19	C₂×#131×C₅₃	—	2	2	no	—
20	C₂×#131×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#131×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#13133157	—	2	2	no	—
23	#13133157	—	2	2	no	—
24	#13133157	—	2	2	no	—
25	C₂×#11719908	—	2	1	no	—
26	C₂×#11719908	—	2	2	no	—
27	C₂×#11719908	—	2	1	no	—
28	C₂×#11719908	—	2	2	no	—
29	2₋¹⁺⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
30	2₋¹⁺⁴×C₅₃	C₈	1	2	yes	—
31	H(5,𝔽₂)×C₅₃	—	2	2	no	—
32	H(5,𝔽₂)×C₅₃	—	2	2	no	—
33	H(5,𝔽₂)×C₅₃	C₈	1	2	yes	—
34	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
35	C₂×#41×C₅₃	—	2	2	no	—
36	C₂×#41×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×#41×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
39	#131×C₅₃	—	2	8	no	—
40	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
41	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
42	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
43	#131×C₅₃	—	2	2	no	—
44	#131×C₅₃	—	2	2	no	—
45	#131×C₅₃	—	2	2	no	—
46	#131×C₅₃	—	2	2	no	—
47	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
48	#131×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
49	#131×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
50	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
51	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#41×C₅₃	—	2	4	no	—
63	#41×C₅₃	—	2	8	no	—
64	#41×C₅₃	—	2	4	no	—
65	#41×C₅₃	—	2	4	no	—
66	#41×C₅₃	—	2	4	no	—
67	#41×C₅₃	—	2	4	no	—
68	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
69	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
70	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
71	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
72	#41×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
73	#41×C₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
77	C₂×Q₈×C₅₃	M₁₆	1	2	yes	—
78	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂×D₄×C₅₃	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
84	C₂×D₄×C₅₃	M₁₆	1	2	yes	—
85	C₂×D₄×C₅₃	M₁₆	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
91	M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
92	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
93	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
94	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
95	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
96	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
97	M₁₆×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	#11719908	—	4	1	no	—
111	#11719908	—	4	2	no	—
112	#11719908	—	4	1	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
117	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
118	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
119	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
120	Q₈×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
121	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
122	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
123	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
124	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
125	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
126	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	D₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
141	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
142	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₈×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
144	C₈×C₅₃	#120	1	2	yes	—
145	C₈×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
146	#12685	—	53	1	no	maximal, Sylow
147	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₅₃	#407	1	2	yes	—
155	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₄×C₅₃	#379	1	1	yes	characteristic
158	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
159	C₄×C₅₃	#407	1	1	yes	characteristic
160	#3573	D₅₃	1	1	yes	characteristic
161	#2117	—	53	2	no	—
162	C₂×#350	—	53	2	no	—
163	#2115	—	53	1	no	—
164	#2113	—	53	1	no	—
165	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
166	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
168	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
169	C₂×C₅₃	#1779	1	1	yes	characteristic
170	#585	Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
171	#568	—	2	4	no	—
172	#568	—	2	2	no	—
173	#568	Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
174	#568	Dic₅₃	1	2	yes	—
175	C₂×#131	—	2	4	no	—
176	C₂×#131	—	2	2	no	—
177	C₂×#131	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
178	C₂×#131	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
179	C₂×M₃₂	—	53	1	no	—
180	C₂×M₃₂	—	53	2	no	—
181	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
182	#350	—	106	4	no	—
183	#350	—	106	4	no	—
184	#349	—	106	2	no	—
185	C₂²⋊C₁₆	—	106	2	no	—
186	C₅₃	#12685	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
187	2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
188	2₋¹⁺⁴	#88322	1	2	yes	—
189	H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
190	H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
191	H(5,𝔽₂)	#88322	1	2	yes	—
192	C₂×#41	—	2	4	no	—
193	C₂×#41	—	2	2	no	—
194	C₂×#41	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
195	C₂×#41	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
196	#131	—	2	4	no	—
197	#131	—	2	8	no	—
198	#131	—	2	4	no	—
199	#131	—	2	4	no	—
200	#131	—	2	4	no	—
201	#131	—	2	2	no	—
202	#131	—	2	2	no	—
203	#131	—	2	2	no	—
204	#131	—	2	2	no	—
205	#131	—	2	4	no	—
206	#131	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
207	#131	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
208	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
209	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
210	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
211	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
212	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
213	C₂×M₁₆	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
214	C₂×M₁₆	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂×M₁₆	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
216	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
219	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	M₃₂	—	106	2	no	—
221	M₃₂	—	106	2	no	—
222	M₃₂	—	106	2	no	—
223	C₂×C₁₆	—	106	1	no	—
224	C₂×C₁₆	—	106	1	no	—
225	C₂×C₁₆	—	106	2	no	—
226	C₂×C₁₆	—	106	2	no	—
227	#41	—	2	4	no	—
228	#41	—	2	8	no	—
229	#41	—	2	4	no	—
230	#41	—	2	4	no	—
231	#41	—	2	4	no	—
232	#41	—	2	4	no	—
233	#41	—	2	2	no	—
234	#41	—	2	2	no	—
235	#41	—	2	2	no	—
236	#41	—	2	2	no	—
237	#41	C₂×#88322	1	4	yes	—
238	#41	C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	C₂×#88322	1	1	yes	characteristic
242	C₂×Q₈	#11719917	1	2	yes	—
243	C₂×D₄	—	2	8	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	C₂×#88322	1	1	yes	characteristic
249	C₂×D₄	#11719917	1	2	yes	—
250	C₂×D₄	#11719917	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	2	8	no	—
257	M₁₆	—	2	2	no	—
258	M₁₆	—	2	2	no	—
259	M₁₆	—	2	4	no	—
260	M₁₆	—	2	4	no	—
261	M₁₆	—	2	4	no	—
262	M₁₆	C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
275	C₁₆	—	212	1	no	—
276	C₁₆	—	212	2	no	—
277	C₁₆	—	212	1	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	C₂²⋊#88322	1	2	yes	—
281	C₂³	C₂×#11719917	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	2	4	no	—
283	Q₈	—	2	2	no	—
284	Q₈	—	2	2	no	—
285	Q₈	C₂²⋊#88322	1	4	yes	—
286	D₄	—	2	8	no	—
287	D₄	—	2	4	no	—
288	D₄	—	2	4	no	—
289	D₄	—	2	4	no	—
290	D₄	—	2	4	no	—
291	D₄	—	2	2	no	—
292	D₄	—	2	2	no	—
293	D₄	C₂²⋊#88322	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	C₂²⋊#88322	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂²×#88322	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×#11719917	1	2	yes	—
306	C₈	—	2	4	no	—
307	C₈	—	2	2	no	—
308	C₈	#13133186	1	1	yes	characteristic
309	C₈	#13133186	1	2	yes	—
310	C₈	#13133186	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	4	1	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	8	2	no	—
316	C₂²	—	8	4	no	—
317	C₂²	C₂×C₂²⋊#88322	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#16810587	1	2	yes	—
319	C₄	—	2	4	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	#16810479	1	1	yes	characteristic
322	C₄	C₂×C₂²⋊#88322	1	2	yes	—
323	C₄	#16810587	1	1	yes	characteristic
324	C₂	—	2	1	no	—
325	C₂	—	2	2	no	—
326	C₂	—	4	2	no	—
327	C₂	—	4	4	no	—
328	C₂	#20274625	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₈	#13133186
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈
Frattini	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3573	C₂
socle	C₂×C₅₃	#1779
prime radical	C₅₃×#585	C₄
cosocle	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³
hypercenter	#3573	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#12685
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₈ ◁ C₂²×C₈ ◁ #3573

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20276343	C₂	semidirect
2. C₂×#16810407	C₂	semidirect
3. #20276336	C₂	semidirect
4. #20276329	C₂	semidirect
6. C₂×#13133157	C₂²	semidirect
7. C₂×#13133157	C₂²	semidirect
8. C₂²×#11719908	C₂²	semidirect
186. C₅₃	#12685	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20276343	2
C₂×#16810407	2
#20276336	2
#20276329	2
C₅₃×#3573	2
#12685	53