Subgroups — #27305849

Order 13568.

1790 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810469	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20272985	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20272982	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20272965	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₄×#13133124	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂×C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
10	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#11719919	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810469	—	2	4	no	—
17	C₂×#13133124	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#13133124	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#13133124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133124	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
25	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
30	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
33	C₄×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
34	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
38	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
39	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂×C₄×Dic₅₃	Q₈	1	8	yes	complemented
46	#13133124	—	2	4	no	—
47	#13133124	—	2	4	no	—
48	#13133124	—	2	16	no	—
49	#13133124	—	2	16	no	—
50	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
61	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂²×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	8	yes	—
94	C₂²×Dic₅₃	#41	1	8	yes	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	4	8	no	—
101	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
103	#11719919	—	2	16	no	—
104	C₄×Dic₅₃	—	2	16	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	2	16	no	—
106	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
110	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
111	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
112	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	8	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	#117	1	8	yes	—
145	Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
146	#13850	—	53	1	no	maximal, Sylow
147	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	2	yes	—
149	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
150	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	2	yes	—
151	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
152	C₂²×C₅₃	#525	1	2	yes	—
153	C₂²×C₅₃	#525	1	2	yes	—
154	C₂²×C₅₃	#525	1	2	yes	—
155	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	#529	1	8	yes	—
157	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	#532	1	2	yes	—
159	C₂²×C₅₃	#533	1	8	yes	—
160	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
161	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
162	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
163	C₄×C₅₃	#391	1	8	yes	—
164	Dic₅₃	—	2	8	no	—
165	Dic₅₃	—	4	8	no	—
166	Dic₅₃	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
168	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₅₃	1	1	yes	characteristic
169	C₂×#376	—	53	1	no	—
170	#1446	—	53	2	no	—
171	#1445	—	53	2	no	—
172	#1441	—	53	4	no	—
173	C₄×#95	—	53	4	no	—
174	C₂×C₅₃	#2280	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₅₃	#2295	1	4	yes	—
177	C₂×C₅₃	#2297	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	#2396	1	4	yes	—
179	C₂×C₅₃	#2398	1	2	yes	—
180	C₂×C₅₃	#2399	1	2	yes	—
181	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
182	C₂×C₄×Q₈	—	53	8	no	—
183	C₂×C₄×Q₈	—	106	4	no	—
184	C₂×C₄×Q₈	—	106	4	no	—
185	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
186	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
187	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
189	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
190	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	#376	—	106	4	no	—
194	C₂×#95	—	53	8	no	—
195	C₂×#95	—	53	8	no	—
196	C₂×#95	—	53	2	no	—
197	C₂×#95	—	53	2	no	—
198	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
199	C₅₃	#13850	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
200	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
201	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
202	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
203	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
204	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
205	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
206	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
207	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
208	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	C₄×Q₈	—	106	32	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
221	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
223	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
224	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
225	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
226	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
227	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
228	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
229	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	4	yes	—
230	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
231	#95	—	2	4	no	—
232	#95	—	106	16	no	—
233	#95	—	106	4	no	—
234	#95	—	106	4	no	—
235	#95	—	106	16	no	—
236	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
238	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
239	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
240	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	#11719945	1	8	yes	—
268	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
274	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
275	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
276	C₄²	—	4	8	no	—
277	C₄²	—	106	16	no	—
278	C₄²	—	106	16	no	—
279	C₄²	#11719921	1	16	yes	—
280	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
284	C₂³	#41×D₅₃	1	4	yes	—
285	C₂³	C₂×#11719947	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂×#11719945	1	4	yes	—
287	Q₈	—	106	32	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	16	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	53	8	no	—
300	C₂×C₄	—	106	4	no	—
301	C₂×C₄	—	106	4	no	—
302	C₂×C₄	—	106	8	no	—
303	C₂×C₄	—	106	8	no	—
304	C₂×C₄	—	106	4	no	—
305	C₂×C₄	—	106	8	no	—
306	C₂×C₄	—	106	8	no	—
307	C₂×C₄	—	106	16	no	—
308	C₂×C₄	—	212	4	no	—
309	C₂×C₄	—	212	4	no	—
310	C₂×C₄	—	212	8	no	—
311	C₂×C₄	—	212	4	no	—
312	C₂×C₄	—	212	4	no	—
313	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#13133182	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	#13133197	1	8	yes	—
318	C₂×C₄	#13133204	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#13133215	1	4	yes	—
320	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#117×D₅₃	1	2	yes	—
322	C₂²	C₂×#13133182	1	2	yes	—
323	C₂²	C₄×#11719945	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#13133197	1	2	yes	—
325	C₂²	#16811130	1	2	yes	—
326	C₂²	#16811134	1	2	yes	—
327	C₂²	#16811135	1	2	yes	—
328	C₂²	C₂×#13133204	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#16811153	1	8	yes	—
330	C₂²	C₂×#13133215	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#16811173	1	2	yes	—
332	C₂²	#16811177	1	8	yes	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	2	4	no	—
335	C₄	—	4	8	no	—
336	C₄	—	106	8	no	—
337	C₄	—	212	4	no	—
338	C₄	—	212	8	no	—
339	C₄	#16810528	1	8	yes	—
340	C₂	#20277094	1	1	yes	characteristic
341	C₂	C₂×#16810528	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#20277191	1	4	yes	—
343	C₂	#20277205	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#20277987	1	4	yes	—
345	C₂	#20277999	1	2	yes	—
346	C₂	#20278006	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂⁴	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂
socle, prime radical, cosocle	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#13850
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
11. C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	semidirect
45. C₂×C₄×Dic₅₃	Q₈	semidirect
199. C₅₃	#13850	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Dic₁₀₆	2
C₂×#16810469	2
#20272985	2
#20272982	2
#20272965	2
C₄×#13133124	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	2
#13850	53