Subgroups — #27306805

Order 13568.

2230 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810469	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20272982	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20272955	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20272951	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20272936	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₅₃×#383	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
11	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄×D₂₁₂	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#11719921	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂²×#11719921	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810469	—	2	4	no	—
18	C₂×#13133124	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133124	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₅₃×#383	—	2	4	no	—
23	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂⁴×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
34	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
35	C₂²×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
36	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₄×D₂₁₂	—	2	32	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×#11719921	—	2	16	no	—
42	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
43	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
44	C₂×#11719921	—	2	16	no	—
45	C₂×#11719921	—	4	8	no	—
46	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
49	#13133124	—	2	4	no	—
50	#13133124	—	2	4	no	—
51	#13133124	—	4	8	no	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
59	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
60	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
61	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
68	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
69	C₂³×D₅₃	#41	1	8	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×Dic₅₃	#41	1	8	yes	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
100	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
101	C₂×C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
102	C₂×C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
103	C₂×C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
104	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
105	#11719921	—	2	16	no	—
106	#11719921	—	4	32	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	2	16	no	—
109	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
114	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
115	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	2	16	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	2	16	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
129	C₂²×D₅₃	#117	1	8	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
156	D₂₁₂	—	2	32	no	—
157	C₄×D₅₃	—	4	32	no	—
158	#13959	—	53	1	no	maximal, Sylow
159	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	2	yes	—
161	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	2	yes	—
162	C₂²×C₅₃	#518	1	2	yes	—
163	C₂²×C₅₃	#525	1	2	yes	—
164	C₂²×C₅₃	#525	1	2	yes	—
165	C₂²×C₅₃	#525	1	2	yes	—
166	C₂²×C₅₃	#532	1	2	yes	—
167	C₂²×C₅₃	#535	1	2	yes	—
168	C₂²×C₅₃	#535	1	2	yes	—
169	C₂²×C₅₃	#551	1	8	yes	—
170	C₂²×C₅₃	#553	1	8	yes	—
171	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
172	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
175	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
176	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
177	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
178	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
179	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
180	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
181	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
182	Dic₅₃	—	4	4	no	—
183	Dic₅₃	—	4	8	no	—
184	C₂²×C₄×D₄	—	53	1	no	—
185	C₂×#383	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
186	C₂×#376	—	53	1	no	—
187	#1445	—	53	2	no	—
188	#1438	—	53	2	no	—
189	#1437	—	53	4	no	—
190	C₂²⋊#95	—	53	4	no	—
191	C₂×C₅₃	#2280	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	#2297	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	#2309	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#2353	1	4	yes	—
195	C₂×C₅₃	#2598	1	4	yes	—
196	C₂×C₅₃	#2603	1	4	yes	—
197	D₅₃	—	4	8	no	—
198	C₂³×D₄	—	53	1	no	—
199	C₂⁴×C₄	—	53	2	no	—
200	C₂×C₄×D₄	—	53	8	no	—
201	C₂×C₄×D₄	—	106	4	no	—
202	C₂×C₄×D₄	—	106	4	no	—
203	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
204	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
205	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
206	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
207	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	#383	—	2	4	no	—
209	#376	—	106	4	no	—
210	C₂×#95	—	53	2	no	—
211	C₂×#95	—	53	2	no	—
212	C₂×#95	—	53	8	no	—
213	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
214	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
215	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
216	C₅₃	#13959	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
217	C₂⁵	—	53	2	no	—
218	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
219	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
220	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
221	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
222	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
223	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
224	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
225	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
226	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
227	C₂³×C₄	—	212	8	no	—
228	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
229	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₄×D₄	—	106	32	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
236	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
241	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
242	C₂×C₄²	—	106	8	no	—
243	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
244	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
245	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	4	yes	—
246	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
247	#95	—	2	4	no	—
248	#95	—	2	4	no	—
249	#95	—	2	4	no	—
250	#95	—	106	4	no	—
251	#95	—	106	4	no	—
252	#95	—	212	8	no	—
253	C₂⁴	—	53	4	no	—
254	C₂⁴	—	53	8	no	—
255	C₂⁴	—	106	2	no	—
256	C₂⁴	—	106	2	no	—
257	C₂⁴	—	106	8	no	—
258	C₂⁴	—	106	4	no	—
259	C₂⁴	—	106	8	no	—
260	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
261	C₂×D₄	—	106	16	no	—
262	C₂×D₄	—	106	16	no	—
263	C₂×D₄	—	106	16	no	—
264	C₂×D₄	—	106	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
281	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
282	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
283	C₂²×C₄	—	212	16	no	—
284	C₂²×C₄	—	212	16	no	—
285	C₂²×C₄	—	212	16	no	—
286	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
295	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	212	32	no	—
298	C₄²	—	106	16	no	—
299	C₄²	#11719921	1	16	yes	complemented
300	C₂³	—	53	8	no	—
301	C₂³	—	106	16	no	—
302	C₂³	—	106	16	no	—
303	C₂³	—	106	4	no	—
304	C₂³	—	106	4	no	—
305	C₂³	—	106	8	no	—
306	C₂³	—	106	8	no	—
307	C₂³	—	106	8	no	—
308	C₂³	—	106	8	no	—
309	C₂³	—	212	8	no	—
310	C₂³	—	212	8	no	—
311	C₂³	—	212	4	no	—
312	C₂³	—	212	4	no	—
313	C₂³	—	212	4	no	—
314	C₂³	—	212	4	no	—
315	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	#41×D₅₃	1	4	yes	—
319	C₂³	#41×D₅₃	1	4	yes	—
320	C₂³	#13133263	1	4	yes	—
321	D₄	—	106	32	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	106	16	no	—
337	C₂×C₄	—	106	4	no	—
338	C₂×C₄	—	106	8	no	—
339	C₂×C₄	—	106	8	no	—
340	C₂×C₄	—	212	32	no	—
341	C₂×C₄	—	212	8	no	—
342	C₂×C₄	—	212	4	no	—
343	C₂×C₄	—	212	4	no	—
344	C₂×C₄	—	212	4	no	—
345	C₂×C₄	—	212	4	no	—
346	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
349	C₂²	—	106	8	no	—
350	C₂²	—	106	16	no	—
351	C₂²	—	212	16	no	—
352	C₂²	—	212	4	no	—
353	C₂²	—	212	8	no	—
354	C₂²	—	212	4	no	—
355	C₂²	—	212	16	no	—
356	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#117×D₅₃	1	2	yes	—
358	C₂²	#16811091	1	2	yes	—
359	C₂²	#16811097	1	2	yes	—
360	C₂²	#16811130	1	2	yes	—
361	C₂²	#16811135	1	2	yes	—
362	C₂²	#16811135	1	2	yes	—
363	C₂²	#16811169	1	2	yes	—
364	C₂²	#16811187	1	2	yes	—
365	C₂²	#16811192	1	2	yes	—
366	C₂²	#16811298	1	8	yes	—
367	C₂²	#16811324	1	8	yes	—
368	C₄	—	2	4	no	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	8	4	no	—
372	C₄	—	212	4	no	—
373	C₄	—	212	8	no	—
374	C₂	—	212	8	no	—
375	C₂	#20277094	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20277203	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20277295	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20277648	1	4	yes	—
379	C₂	#20280283	1	4	yes	—
380	C₂	#20280344	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₅₃
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₅₃×#383	C₂
socle, cosocle	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₂₁₂	C₂²
hypercenter	C₂×#383	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#13959
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×#383

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810469	C₂	semidirect
3. #20272982	C₂	semidirect
5. #20272951	C₂	semidirect
6. #20272936	C₂	semidirect
7. C₂×C₅₃×#383	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×D₂₁₂	C₄	semidirect
104. C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	semidirect
185. C₂×#383	D₅₃	semidirect
216. C₅₃	#13959	semidirect
299. C₄²	#11719921	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₂₁₂	2
C₂×#16810469	2
#20272982	2
#20272955	2
#20272951	2
#20272936	2
C₂×C₅₃×#383	2
#13959	53