Subgroups — #27311252

Order 13568.

6494 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810478	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20272955	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₅₃×#381	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂⁵×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂³×D₂₁₂	—	2	16	no	—
8	C₂³×D₂₁₂	—	2	4	no	—
9	C₂³×D₂₁₂	—	2	4	no	—
10	C₂³×D₂₁₂	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#11719921	C₂²	1	16	yes	complemented
14	#16810486	—	2	4	no	—
15	#16810478	—	2	16	no	—
16	C₂×#13133124	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
19	C₅₃×#381	—	2	4	no	—
20	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂⁴×D₅₃	—	2	4	no	—
22	C₂⁴×D₅₃	—	2	8	no	—
23	C₂⁴×D₅₃	—	2	4	no	—
24	C₂⁴×D₅₃	—	4	16	no	—
25	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
26	C₂⁴×D₅₃	D₄	1	16	yes	—
27	C₂⁴×D₅₃	C₂³	1	4	yes	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	64	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	64	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	64	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	32	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	32	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
35	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	16	yes	—
36	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
38	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
39	C₂×#11719921	—	2	32	no	—
40	C₂×#11719921	—	4	32	no	—
41	#13133124	—	2	8	no	—
42	C₂⁵×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
44	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
51	#95×C₅₃	—	2	8	no	—
52	C₂⁴×C₅₃	—	2	8	no	—
53	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
55	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
56	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
57	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×D₅₃	—	2	16	no	—
59	C₂³×D₅₃	—	2	16	no	—
60	C₂³×D₅₃	—	2	32	no	—
61	C₂³×D₅₃	—	2	32	no	—
62	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
63	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂³×D₅₃	—	2	32	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	4	32	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	4	64	no	—
68	C₂³×D₅₃	—	4	64	no	—
69	C₂³×D₅₃	—	4	32	no	—
70	C₂³×D₅₃	—	4	32	no	—
71	C₂³×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	32	yes	complemented
72	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
73	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	16	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	16	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	64	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	64	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	256	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	64	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	32	no	—
93	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
94	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
95	#11719921	—	4	64	no	—
96	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
97	C₂³×C₅₃	—	2	32	no	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
99	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
101	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₂³×C₅₃	#120	1	8	yes	—
103	C₂³×C₅₃	#120	1	8	yes	—
104	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
109	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₅₃	—	2	32	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	2	16	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	2	16	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	2	32	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	2	32	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	2	64	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	4	64	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	4	64	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	4	64	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	128	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	128	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	32	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
125	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	32	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
137	D₂₁₂	—	2	128	no	—
138	#14335	—	53	1	no	maximal, Sylow
139	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
143	C₂²×C₅₃	#379	1	8	yes	—
144	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₅₃	#518	1	4	yes	—
147	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	2	yes	—
148	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	2	yes	—
149	C₂²×C₅₃	#534	1	16	yes	—
150	C₂²×C₅₃	#535	1	4	yes	—
151	C₂²×C₅₃	#535	1	4	yes	—
152	C₂×D₅₃	—	2	32	no	—
153	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
154	C₂×D₅₃	—	4	128	no	—
155	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
156	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
157	C₂×D₅₃	—	4	32	no	—
158	C₂×D₅₃	—	4	32	no	—
159	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
160	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
161	Dic₅₃	—	8	4	no	—
162	C₂⁴×D₄	—	53	1	no	—
163	C₂×#381	—	53	1	no	—
164	C₂×#381	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
165	C₂×#379	—	53	4	no	—
166	#1438	—	53	8	no	—
167	C₂×C₅₃	—	2	8	no	—
168	C₂×C₅₃	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₅₃	#2308	1	4	yes	—
170	C₂×C₅₃	#2309	1	2	yes	—
171	C₂×C₅₃	#2613	1	4	yes	—
172	C₂×C₅₃	#2613	1	4	yes	—
173	D₅₃	—	4	16	no	—
174	C₂⁶	—	53	2	no	—
175	C₂³×D₄	—	53	8	no	—
176	C₂³×D₄	—	53	4	no	—
177	C₂³×D₄	—	106	16	no	—
178	C₂³×D₄	—	106	4	no	—
179	C₂³×D₄	—	106	4	no	—
180	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
182	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	16	no	—
183	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
184	#381	—	2	4	no	—
185	#381	—	106	4	no	—
186	#379	—	106	16	no	—
187	C₂×#95	—	53	4	no	—
188	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
189	C₅₃	#14335	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
190	C₂⁵	—	53	4	no	—
191	C₂⁵	—	53	8	no	—
192	C₂⁵	—	53	16	no	—
193	C₂⁵	—	106	4	no	—
194	C₂⁵	—	106	8	no	—
195	C₂⁵	—	106	4	no	—
196	C₂⁵	—	212	16	no	—
197	C₂⁵	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×D₄	—	53	16	no	—
199	C₂²×D₄	—	106	64	no	—
200	C₂²×D₄	—	106	32	no	—
201	C₂²×D₄	—	106	64	no	—
202	C₂²×D₄	—	106	64	no	—
203	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
204	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
205	C₂²×D₄	—	106	32	no	—
206	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
208	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
209	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	4	yes	—
210	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
211	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
212	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	32	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	32	no	—
219	#95	—	2	8	no	—
220	#95	—	106	8	no	—
221	C₂⁴	—	2	8	no	—
222	C₂⁴	—	53	8	no	—
223	C₂⁴	—	53	16	no	—
224	C₂⁴	—	53	32	no	—
225	C₂⁴	—	106	16	no	—
226	C₂⁴	—	106	16	no	—
227	C₂⁴	—	106	32	no	—
228	C₂⁴	—	106	32	no	—
229	C₂⁴	—	106	8	no	—
230	C₂⁴	—	106	4	no	—
231	C₂⁴	—	106	4	no	—
232	C₂⁴	—	106	32	no	—
233	C₂⁴	—	212	32	no	—
234	C₂⁴	—	212	64	no	—
235	C₂⁴	—	212	64	no	—
236	C₂⁴	—	212	32	no	—
237	C₂⁴	—	212	32	no	—
238	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
239	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
240	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	8	yes	—
241	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂×D₄	—	106	64	no	—
244	C₂×D₄	—	106	64	no	—
245	C₂×D₄	—	106	64	no	—
246	C₂×D₄	—	106	256	no	—
247	C₂×D₄	—	106	32	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
255	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
258	C₂²×C₄	#11719921	1	16	yes	complemented
259	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	212	64	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	32	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	2	8	no	—
269	C₂³	—	53	16	no	—
270	C₂³	—	106	8	no	—
271	C₂³	—	106	8	no	—
272	C₂³	—	106	32	no	—
273	C₂³	—	106	16	no	—
274	C₂³	—	106	16	no	—
275	C₂³	—	106	32	no	—
276	C₂³	—	106	32	no	—
277	C₂³	—	106	64	no	—
278	C₂³	—	212	64	no	—
279	C₂³	—	212	64	no	—
280	C₂³	—	212	64	no	—
281	C₂³	—	212	128	no	—
282	C₂³	—	212	128	no	—
283	C₂³	—	212	32	no	—
284	C₂³	—	212	16	no	—
285	C₂³	—	212	16	no	—
286	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	8	yes	—
287	C₂³	C₂×#11719921	1	4	yes	—
288	C₂³	#13133185	1	8	yes	—
289	C₂³	#13133187	1	8	yes	—
290	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	4	yes	—
292	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	#13133263	1	8	yes	—
295	D₄	—	106	128	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	32	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	16	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	212	4	no	—
304	C₂×C₄	—	212	16	no	—
305	C₂×C₄	—	212	8	no	—
306	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	8	yes	—
307	C₂²	—	2	16	no	—
308	C₂²	—	2	8	no	—
309	C₂²	—	2	16	no	—
310	C₂²	—	2	16	no	—
311	C₂²	—	106	32	no	—
312	C₂²	—	106	16	no	—
313	C₂²	—	212	128	no	—
314	C₂²	—	212	16	no	—
315	C₂²	—	212	16	no	—
316	C₂²	—	212	32	no	—
317	C₂²	—	212	32	no	—
318	C₂²	#16810478	1	8	yes	—
319	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
320	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#16811097	1	4	yes	—
322	C₂²	C₂×#13133185	1	2	yes	—
323	C₂²	C₂×#13133187	1	2	yes	—
324	C₂²	#16811184	1	16	yes	—
325	C₂²	#16811187	1	4	yes	—
326	C₂²	#16811192	1	4	yes	—
327	C₄	—	2	8	no	—
328	C₄	—	8	4	no	—
329	C₄	—	424	4	no	—
330	C₂	—	2	8	no	—
331	C₂	—	212	16	no	—
332	C₂	C₂×#16810478	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#20277292	1	4	yes	—
334	C₂	#20277295	1	2	yes	—
335	C₂	#20280431	1	4	yes	—
336	C₂	#20280432	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₅₃
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₅₃×#381	C₂
socle, cosocle	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
prime radical	C₂⁴×D₂₁₂	C₂
hypercenter	C₂×#381	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#14335
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×#381

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810486	C₂	semidirect
3. C₂×#16810478	C₂	semidirect
4. #20272955	C₂	semidirect
5. C₂×C₅₃×#381	C₂	semidirect
10. C₂³×D₂₁₂	C₄	semidirect
13. C₂²×#11719921	C₂²	semidirect
16. C₂×#13133124	C₂²	semidirect
20. C₂×#95×C₅₃	C₂²	semidirect
71. C₂³×D₅₃	C₂²⋊C₄	semidirect
81. C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	semidirect
164. C₂×#381	D₅₃	semidirect
188. C₂×#95	C₂×D₅₃	semidirect
189. C₅₃	#14335	semidirect
258. C₂²×C₄	#11719921	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×D₂₁₂	2
C₂×#16810486	2
C₂×#16810478	2
#20272955	2
C₂×C₅₃×#381	2
#14335	53