Subgroups — #27311255

Order 13568.

3998 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 284 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810484	C₂	1	4	yes	maximal
4	#20272985	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₅₃×#381	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
7	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
8	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
9	C₂³×Dic₁₀₆	C₄	1	8	yes	complemented
10	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂⁴×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
13	#16810486	—	2	4	no	—
14	#16810484	—	2	16	no	—
15	C₂×#13133124	C₂²	1	16	yes	—
16	C₂×#13133124	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
19	C₅₃×#381	—	2	4	no	—
20	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
22	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
23	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
24	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
25	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
26	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
29	C₂³×Dic₅₃	—	2	4	no	—
30	C₂³×Dic₅₃	—	2	8	no	—
31	C₂³×Dic₅₃	—	2	4	no	—
32	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
33	C₂³×Dic₅₃	D₄	1	16	yes	—
34	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
37	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
38	#13133124	—	2	8	no	—
39	#13133124	—	2	32	no	—
40	C₂⁵×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
42	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
44	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
45	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
49	#95×C₅₃	—	2	8	no	—
50	C₂⁴×C₅₃	—	2	8	no	—
51	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
52	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
53	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
54	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
55	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
57	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
58	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
67	C₂²×Dic₅₃	—	2	16	no	—
68	C₂²×Dic₅₃	—	2	16	no	—
69	C₂²×Dic₅₃	—	2	32	no	—
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	32	no	—
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	2	16	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
78	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
79	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	16	yes	—
80	C₂×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
81	C₂×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
82	C₂×Dic₁₀₆	—	2	256	no	—
83	C₂×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
85	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
86	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
87	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
88	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
89	C₂³×C₅₃	—	2	32	no	—
90	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
91	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
92	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
93	C₂³×C₅₃	#120	1	8	yes	—
94	C₂³×C₅₃	#120	1	8	yes	—
95	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
97	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
100	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
102	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
103	C₂×C₄×C₅₃	—	2	32	no	—
104	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
105	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
108	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
109	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
110	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
111	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
112	C₂×Dic₅₃	—	2	64	no	—
113	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
115	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
116	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
117	Dic₁₀₆	—	2	128	no	—
118	#14336	—	53	1	no	maximal, Sylow
119	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
121	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
122	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
123	C₂²×C₅₃	#379	1	8	yes	—
124	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₅₃	#519	1	4	yes	—
127	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	2	yes	—
128	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	2	yes	—
129	C₂²×C₅₃	#536	1	4	yes	—
130	C₂²×C₅₃	#536	1	16	yes	—
131	C₂²×C₅₃	#536	1	4	yes	—
132	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
133	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
134	Dic₅₃	—	2	16	no	—
135	Dic₅₃	—	8	4	no	—
136	C₂⁴×Q₈	—	53	1	no	—
137	C₂×#381	—	53	1	no	—
138	C₂×#381	—	53	4	no	—
139	C₂×#381	D₅₃	1	1	yes	characteristic
140	#1446	—	53	8	no	—
141	C₂×C₅₃	—	2	8	no	—
142	C₂×C₅₃	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₅₃	#2310	1	2	yes	—
144	C₂×C₅₃	#2310	1	4	yes	—
145	C₂×C₅₃	#2614	1	4	yes	—
146	C₂×C₅₃	#2614	1	4	yes	—
147	C₂³×Q₈	—	53	8	no	—
148	C₂³×Q₈	—	53	4	no	—
149	C₂³×Q₈	—	106	16	no	—
150	C₂³×Q₈	—	106	4	no	—
151	C₂³×Q₈	—	106	4	no	—
152	C₂⁴×C₄	—	53	2	no	—
153	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
155	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
156	#381	—	2	4	no	—
157	#381	—	106	16	no	—
158	#381	—	106	4	no	—
159	C₂×#95	—	53	16	no	—
160	C₂×#95	—	53	4	no	—
161	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
162	C₅₃	#14336	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
163	C₂⁵	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×Q₈	—	53	16	no	—
165	C₂²×Q₈	—	106	64	no	—
166	C₂²×Q₈	—	106	32	no	—
167	C₂²×Q₈	—	106	64	no	—
168	C₂²×Q₈	—	106	64	no	—
169	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
170	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
171	C₂²×Q₈	—	106	32	no	—
172	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
174	C₂³×C₄	—	53	16	no	—
175	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
176	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
177	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
178	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
179	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
180	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
181	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	4	yes	—
182	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
183	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
184	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
189	#95	—	2	8	no	—
190	#95	—	106	32	no	—
191	#95	—	106	8	no	—
192	C₂⁴	—	2	8	no	—
193	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
194	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
195	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	8	yes	—
196	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
197	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂×Q₈	—	106	64	no	—
199	C₂×Q₈	—	106	64	no	—
200	C₂×Q₈	—	106	64	no	—
201	C₂×Q₈	—	106	256	no	—
202	C₂×Q₈	—	106	32	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
210	C₂²×C₄	—	53	32	no	—
211	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	53	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
215	C₂²×C₄	—	106	32	no	—
216	C₂²×C₄	—	106	32	no	—
217	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
223	C₂²×C₄	#11719921	1	16	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
227	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
229	C₂³	—	2	8	no	—
230	C₂³	—	2	8	no	—
231	C₂³	—	2	32	no	—
232	C₂³	—	2	8	no	—
233	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	8	yes	—
234	C₂³	C₂×#11719921	1	4	yes	—
235	C₂³	#13133185	1	8	yes	—
236	C₂³	#13133187	1	8	yes	—
237	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	4	yes	—
239	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	#13133264	1	8	yes	—
242	Q₈	—	106	128	no	—
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂×C₄	—	2	32	no	—
247	C₂×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂×C₄	—	4	16	no	—
250	C₂×C₄	—	53	16	no	—
251	C₂×C₄	—	106	8	no	—
252	C₂×C₄	—	106	8	no	—
253	C₂×C₄	—	106	16	no	—
254	C₂×C₄	—	106	16	no	—
255	C₂×C₄	—	106	64	no	—
256	C₂×C₄	—	212	4	no	—
257	C₂×C₄	—	212	16	no	—
258	C₂×C₄	—	212	8	no	—
259	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	8	yes	—
260	C₂²	—	2	8	no	—
261	C₂²	—	2	16	no	—
262	C₂²	—	2	16	no	—
263	C₂²	—	2	16	no	—
264	C₂²	#16810478	1	8	yes	—
265	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
266	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
267	C₂²	#16811100	1	4	yes	—
268	C₂²	C₂×#13133185	1	2	yes	—
269	C₂²	C₂×#13133187	1	2	yes	—
270	C₂²	#16811194	1	4	yes	—
271	C₂²	#16811195	1	16	yes	—
272	C₂²	#16811199	1	4	yes	—
273	C₄	—	2	8	no	—
274	C₄	—	8	4	no	—
275	C₄	—	106	16	no	—
276	C₄	—	424	4	no	—
277	C₂	—	2	8	no	—
278	C₂	C₂×#16810478	1	1	yes	characteristic
279	C₂	#20277299	1	2	yes	—
280	C₂	#20277300	1	4	yes	—
281	C₂	#20280436	1	4	yes	—
282	C₂	#20280437	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₅₃
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₅₃×#381	C₂
socle, cosocle	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
prime radical	C₂⁵×C₅₃	C₂³
hypercenter	C₂×#381	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#14336
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×#381

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20272985	C₂	semidirect
9. C₂³×Dic₁₀₆	C₄	semidirect
162. C₅₃	#14336	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×Dic₁₀₆	2
C₂×#16810486	2
C₂×#16810484	2
#20272985	2
C₂×C₅₃×#381	2
#14336	53