Subgroups — #27311308

Order 13568.

1542 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810491	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20272985	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20272984	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20272965	C₂	1	4	yes	maximal
6	#20272939	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂×C₅₃×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
10	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#11719919	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810491	—	2	4	no	—
16	C₂×#13133124	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133124	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#13133124	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133124	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#382	—	2	4	no	—
24	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
30	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
33	C₄×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
34	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
38	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
39	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	#13133124	—	2	4	no	—
44	#13133124	—	2	4	no	—
45	#13133124	—	2	4	no	—
46	#13133124	—	2	16	no	—
47	#13133124	—	4	8	no	—
48	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
57	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
58	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
90	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂²×Dic₅₃	#41	1	8	yes	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
96	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
97	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
99	#11719919	—	2	16	no	—
100	C₄×Dic₅₃	—	2	16	no	—
101	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
105	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
106	C₂³×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
107	C₂³×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
139	C₂×Dic₅₃	#117	1	8	yes	—
140	Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
141	#14346	—	53	1	no	maximal, Sylow
142	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	2	yes	—
144	C₂²×C₅₃	#519	1	2	yes	—
145	C₂²×C₅₃	#520	1	2	yes	—
146	C₂²×C₅₃	#525	1	2	yes	—
147	C₂²×C₅₃	#525	1	2	yes	—
148	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₅₃	#536	1	2	yes	—
150	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	#536	1	2	yes	—
152	C₂²×C₅₃	#537	1	2	yes	—
153	C₂²×C₅₃	#541	1	8	yes	—
154	C₂²×C₅₃	#542	1	8	yes	—
155	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
157	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
158	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
159	Dic₅₃	—	2	8	no	—
160	Dic₅₃	—	4	4	no	—
161	Dic₅₃	—	8	4	no	—
162	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
163	C₂×#383	—	53	1	no	—
164	C₂×#382	D₅₃	1	1	yes	characteristic
165	#1446	—	53	2	no	—
166	#1445	—	53	2	no	—
167	#1441	—	53	4	no	—
168	#1434	—	53	4	no	—
169	C₂×C₅₃	#2280	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	#2310	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₅₃	#2311	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₅₃	#2320	1	4	yes	—
173	C₂×C₅₃	#2632	1	2	yes	—
174	C₂×C₅₃	#2634	1	2	yes	—
175	C₂×C₅₃	#2637	1	4	yes	—
176	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
177	C₂×C₄×Q₈	—	53	8	no	—
178	C₂×C₄×Q₈	—	106	4	no	—
179	C₂×C₄×Q₈	—	106	4	no	—
180	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
181	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
182	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
184	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	#383	—	106	4	no	—
186	#382	—	2	4	no	—
187	C₂×#95	—	53	2	no	—
188	C₂×#95	—	53	8	no	—
189	C₂×#95	—	53	2	no	—
190	C₂×#95	—	53	2	no	—
191	C₂×#95	—	53	8	no	—
192	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
193	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
194	C₅₃	#14346	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
195	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
196	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
197	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
198	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
199	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
200	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
201	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
202	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
203	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₄×Q₈	—	106	32	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
216	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
217	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
218	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
219	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	4	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
221	#95	—	2	4	no	—
222	#95	—	2	4	no	—
223	#95	—	106	16	no	—
224	#95	—	106	4	no	—
225	#95	—	106	4	no	—
226	#95	—	106	4	no	—
227	#95	—	212	8	no	—
228	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
230	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
231	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
232	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
267	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
268	C₄²	—	106	16	no	—
269	C₄²	#11719921	1	16	yes	—
270	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	#41×D₅₃	1	4	yes	—
274	C₂³	#13133262	1	2	yes	—
275	C₂³	#13133264	1	4	yes	—
276	C₂³	#13133265	1	2	yes	—
277	Q₈	—	106	32	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	16	no	—
292	C₂×C₄	—	53	8	no	—
293	C₂×C₄	—	106	4	no	—
294	C₂×C₄	—	106	4	no	—
295	C₂×C₄	—	106	8	no	—
296	C₂×C₄	—	106	8	no	—
297	C₂×C₄	—	106	4	no	—
298	C₂×C₄	—	106	8	no	—
299	C₂×C₄	—	212	4	no	—
300	C₂×C₄	—	212	4	no	—
301	C₂×C₄	—	212	4	no	—
302	C₂×C₄	—	212	8	no	—
303	C₂×C₄	—	212	8	no	—
304	C₂×C₄	—	212	2	no	—
305	C₂×C₄	—	212	2	no	—
306	C₂×C₄	—	212	4	no	—
307	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
310	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#117×D₅₃	1	2	yes	—
312	C₂²	#16811100	1	2	yes	—
313	C₂²	#16811104	1	2	yes	—
314	C₂²	#16811130	1	2	yes	—
315	C₂²	#16811135	1	2	yes	—
316	C₂²	#16811190	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#16811194	1	2	yes	—
318	C₂²	#16811197	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#16811199	1	2	yes	—
320	C₂²	#16811204	1	2	yes	—
321	C₂²	#16811232	1	8	yes	—
322	C₂²	#16811237	1	8	yes	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	2	4	no	—
326	C₄	—	8	4	no	—
327	C₄	—	106	8	no	—
328	C₄	—	424	4	no	—
329	C₄	—	212	4	no	—
330	C₂	#20277094	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#20277299	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#20277308	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#20277363	1	4	yes	—
334	C₂	#20280576	1	2	yes	—
335	C₂	#20280592	1	2	yes	—
336	C₂	#20280625	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₅₃
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₅₃×#382	C₂
socle, prime radical, cosocle	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#382	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#14346
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×#382

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
11. C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	semidirect
194. C₅₃	#14346	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Dic₁₀₆	2
C₂×#16810491	2
#20272985	2
#20272984	2
#20272965	2
#20272939	2
C₂×C₅₃×#382	2
#14346	53