Subgroups — #27315112

Order 13568.

1898 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810483	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20272968	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20272964	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20272960	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20272956	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂²×#123×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
10	#16810483	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133124	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#13133124	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133124	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#123×C₅₃	—	2	8	no	—
17	C₂×#123×C₅₃	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	8	yes	—
22	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
23	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
24	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
25	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
26	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
27	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
28	#13133124	—	2	8	no	—
29	#13133124	—	4	8	no	—
30	#13133124	—	4	4	no	—
31	C₂⁵×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁵×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
34	C₂²×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
35	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂³×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
37	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
39	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	#123×C₅₃	—	2	32	no	—
43	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
47	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
59	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
60	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
61	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
62	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
63	C₂×D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
64	C₂×D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
87	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
88	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
89	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
90	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	16	no	—
91	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	16	no	—
92	C₄⋊Dic₅₃	—	4	16	no	—
93	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
95	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
96	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
99	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
102	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
104	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
112	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
116	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
117	C₂³×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
118	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
139	#14658	—	53	1	no	maximal, Sylow
140	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
143	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
150	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	#518	1	2	yes	—
152	C₂²×C₅₃	#520	1	4	yes	—
153	C₂²×C₅₃	#534	1	4	yes	—
154	C₂²×C₅₃	#535	1	2	yes	—
155	C₂²×C₅₃	#536	1	2	yes	—
156	C₂²×C₅₃	#537	1	4	yes	—
157	C₂²×C₅₃	#560	1	4	yes	—
158	C₂²×C₅₃	#562	1	8	yes	—
159	C₂²×C₅₃	#563	1	4	yes	—
160	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
161	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
163	Dic₅₃	—	8	8	no	—
164	C₂²×#123	D₅₃	1	1	yes	characteristic
165	C₂×#380	—	53	2	no	—
166	#1441	—	53	4	no	—
167	#1440	—	53	2	no	—
168	#1439	—	53	4	no	—
169	#1438	—	53	2	no	—
170	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
171	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
172	C₂×C₅₃	#2308	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	#2311	1	2	yes	—
174	C₂×C₅₃	#2376	1	4	yes	—
175	C₂×C₅₃	#2813	1	4	yes	—
176	C₂×C₅₃	#2814	1	4	yes	—
177	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
178	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
179	C₂×#123	—	2	8	no	—
180	C₂×#123	Dic₅₃	1	8	yes	complemented
181	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
182	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
183	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
184	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
185	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
186	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	#380	—	106	8	no	—
188	C₂×#95	—	53	4	no	—
189	C₂×#95	—	53	4	no	—
190	C₂×#95	—	53	8	no	—
191	C₅₃	#14658	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
192	C₂⁵	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	C₂⁵	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×D₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
197	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
199	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
200	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
201	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
202	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
204	#123	—	2	32	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
219	#95	—	106	8	no	—
220	#95	—	212	4	no	—
221	#95	—	212	8	no	—
222	C₂⁴	—	2	4	no	—
223	C₂⁴	—	2	4	no	—
224	C₂⁴	—	2	4	no	—
225	C₂⁴	—	2	2	no	—
226	C₂⁴	—	2	4	no	—
227	C₂⁴	—	2	4	no	—
228	C₂⁴	—	2	4	no	—
229	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
230	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
231	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
232	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂×D₄	—	2	8	no	—
234	C₂×D₄	—	4	8	no	—
235	C₂×D₄	—	4	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
245	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
252	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₅₃	1	16	yes	complemented
253	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
258	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₄⋊C₄	—	212	16	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	212	16	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	212	16	no	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	4	4	no	—
274	C₂³	—	4	8	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
286	C₂³	#13133262	1	4	yes	—
287	C₂³	#13133263	1	4	yes	—
288	C₂³	#13133264	1	4	yes	—
289	D₄	—	4	16	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	16	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	212	8	no	—
303	C₂×C₄	—	212	8	no	—
304	C₂×C₄	—	212	8	no	—
305	C₂×C₄	—	212	8	no	—
306	C₂×C₄	—	212	8	no	—
307	C₂×C₄	—	212	8	no	—
308	C₂×C₄	—	212	8	no	—
309	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	8	yes	—
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	2	8	no	—
312	C₂²	—	4	8	no	—
313	C₂²	—	4	8	no	—
314	C₂²	—	4	8	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	4	8	no	—
318	C₂²	—	8	4	no	—
319	C₂²	—	8	4	no	—
320	C₂²	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#16811098	1	2	yes	—
322	C₂²	#16811106	1	4	yes	—
323	C₂²	#16811182	1	4	yes	—
324	C₂²	#16811187	1	2	yes	—
325	C₂²	#16811194	1	2	yes	—
326	C₂²	#16811201	1	4	yes	—
327	C₂²	#16811363	1	4	yes	—
328	C₂²	#16811370	1	8	yes	—
329	C₂²	#16811376	1	4	yes	—
330	C₄	—	2	8	no	—
331	C₄	—	4	2	no	—
332	C₄	—	4	4	no	—
333	C₄	—	424	8	no	—
334	C₂	—	4	4	no	—
335	C₂	—	8	2	no	—
336	C₂	#20277293	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#20277307	1	2	yes	—
338	C₂	#20277863	1	4	yes	—
339	C₂	#20282717	1	4	yes	—
340	C₂	#20282728	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₅₃
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂²×#123×C₅₃	C₂
socle, cosocle	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²
hypercenter	C₂²×#123	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#14658
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×#123

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810483	C₂	semidirect
2. #20272968	C₂	semidirect
3. #20272964	C₂	semidirect
4. #20272960	C₂	semidirect
17. C₂×#123×C₅₃	C₄	semidirect
74. C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	semidirect
180. C₂×#123	Dic₅₃	semidirect
191. C₅₃	#14658	semidirect
252. C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810483	2
#20272968	2
#20272964	2
#20272960	2
#20272956	2
C₂²×#123×C₅₃	2
#14658	53