Subgroups — #27351961

Order 13568.

874 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20288525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20273278	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20273265	C₂	1	4	yes	maximal
5	#20273226	C₂	1	4	yes	maximal
6	#20273213	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₅₃×#2356	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	Q₈×Dic₁₀₆	C₄	1	4	yes	complemented
9	#16811352	C₄	1	4	yes	complemented
10	#16811349	—	2	4	no	—
11	#16811254	—	2	1	no	—
12	#16811254	—	2	2	no	—
13	#16811180	C₂²	1	2	yes	—
14	#16811180	C₂²	1	4	yes	—
15	#16811101	—	2	1	no	—
16	#16810754	—	2	4	no	—
17	#16810680	C₂²	1	4	yes	—
18	#16810676	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810359	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810359	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810359	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#391	—	2	1	no	—
24	C₅₃×#387	—	2	2	no	—
25	C₅₃×#383	C₂²	1	2	yes	—
26	C₅₃×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
28	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#376	C₂²	1	2	yes	—
30	#13133217	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	#13133217	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	#13133217	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	#13133217	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	#13133216	—	2	8	no	—
35	#13133216	—	2	4	no	—
36	#13133209	—	2	2	no	—
37	#13133209	—	2	4	no	—
38	#13133208	—	2	8	no	—
39	#13133208	—	2	4	no	—
40	#13133196	—	2	4	no	—
41	#13133196	—	2	2	no	—
42	#13133196	C₂³	1	4	yes	—
43	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
44	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
45	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
46	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
47	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	#13133176	—	2	4	no	—
50	#13133176	—	2	2	no	—
51	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
52	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
53	C₂²⋊#88322	C₂³	1	4	yes	—
54	#13133128	—	2	4	no	—
55	C₄×#88322	—	2	2	no	—
56	C₂²×Q₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₄×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₄×Q₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
68	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
69	#95×C₅₃	—	2	1	no	—
70	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
71	#95×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#95×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
73	#95×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
90	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
91	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
93	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
94	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	#11719919	—	2	8	no	—
107	#11719919	—	2	4	no	—
108	#11719919	—	2	4	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×#88322	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
113	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
138	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
139	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
140	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
141	#88322	—	4	4	no	—
142	#17632	—	53	1	no	maximal, Sylow
143	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
148	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
149	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
150	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
151	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
154	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
155	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
156	C₄×C₅₃	#419	1	4	yes	—
157	Dic₅₃	—	4	4	no	—
158	Dic₅₃	—	4	4	no	—
159	#3502	—	53	1	no	—
160	#2983	—	53	1	no	—
161	#2356	D₅₃	1	1	yes	characteristic
162	#1518	—	53	2	no	—
163	#1515	—	53	4	no	—
164	#1506	—	53	4	no	—
165	#1503	—	53	2	no	—
166	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
167	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
168	C₂×C₅₃	#2884	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₅₃	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	#2901	1	1	yes	characteristic
171	Q₈²	—	53	4	no	—
172	#557	—	53	4	no	—
173	#557	—	106	4	no	—
174	#544	—	106	1	no	—
175	#544	—	106	2	no	—
176	#533	—	53	2	no	—
177	#533	—	53	4	no	—
178	#519	—	106	1	no	—
179	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	#446	—	106	4	no	—
181	#432	—	53	4	no	—
182	#431	—	53	2	no	—
183	#391	—	2	1	no	—
184	#387	—	2	2	no	—
185	#383	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
186	#382	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	#376	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
190	#328	—	53	4	no	—
191	#328	—	53	4	no	—
192	#328	—	53	8	no	—
193	C₅₃	#17632	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
194	C₂²×Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
196	C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
197	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
198	C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
199	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
200	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
201	#125	—	106	8	no	—
202	#125	—	106	4	no	—
203	#125	—	106	2	no	—
204	#125	—	106	4	no	—
205	C₂²⋊Q₈	—	53	4	no	—
206	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
207	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
208	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
209	C₄×Q₈	—	53	8	no	—
210	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
211	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
212	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
213	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
214	C₄×Q₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
215	C₄×Q₈	D₂₁₂	1	4	yes	—
216	#117	—	106	4	no	—
217	#117	—	106	2	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
222	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
224	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
227	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
228	C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
229	#97	—	106	4	no	—
230	C₄×C₈	—	106	2	no	—
231	#95	—	2	2	no	—
232	#95	—	2	2	no	—
233	#95	—	2	1	no	—
234	#95	—	2	2	no	—
235	#95	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	#95	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
237	#95	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
243	C₂×Q₈	#11719921	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	—	106	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
265	C₄⋊C₄	#11719921	1	8	yes	—
266	C₄⋊C₄	#11719921	1	4	yes	—
267	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
268	C₄²	—	4	4	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	106	8	no	—
271	C₄²	—	106	4	no	—
272	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
273	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
274	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
275	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
276	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	2	8	no	—
278	Q₈	—	424	4	no	—
279	Q₈	—	424	2	no	—
280	Q₈	—	212	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	1	no	—
286	C₂×C₄	—	4	1	no	—
287	C₂×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	1	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	106	4	no	—
296	C₂×C₄	—	106	4	no	—
297	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#13133247	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#13133247	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
305	C₈	—	212	4	no	—
306	C₂²	—	2	1	no	—
307	C₂²	—	2	1	no	—
308	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂×#13133247	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×#13133247	1	1	yes	characteristic
311	C₄	—	2	1	no	—
312	C₄	—	2	1	no	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	2	4	no	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	4	2	no	—
317	C₄	—	8	1	no	—
318	C₄	—	8	2	no	—
319	C₄	—	212	4	no	—
320	C₄	—	212	4	no	—
321	C₄	#16810631	1	4	yes	—
322	C₂	—	2	1	no	—
323	C₂	—	2	1	no	—
324	C₂	#20283178	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂×#16810631	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#20283263	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#11719921
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2356	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2356	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#17632
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ #2356

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
8. Q₈×Dic₁₀₆	C₄	semidirect
9. #16811352	C₄	semidirect
193. C₅₃	#17632	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20288525	2
#20283800	2
#20273278	2
#20273265	2
#20273226	2
#20273213	2
C₅₃×#2356	2
#17632	53