Subgroups — #27352225

Order 13568.

976 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20288010	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#432×D₅₃	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20273352	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20273350	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20273332	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₅₃×#1536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#16811180	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	#16811178	C₄	1	2	yes	—
9	#16811171	C₄	1	2	yes	—
10	#16811155	—	2	2	no	—
11	#16811154	—	2	2	no	—
12	#16811152	C₂²	1	4	yes	—
13	#16811133	—	2	2	no	—
14	#16811130	C₄	1	2	yes	—
15	#41×Dic₅₃	C₄	1	2	yes	—
16	C₄×#11719947	—	2	2	no	—
17	C₂×C₄²×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810680	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810679	—	2	2	no	—
20	#16810678	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810677	—	2	2	no	—
22	C₄⋊C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
23	C₂²⋊C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
24	#97×D₅₃	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810364	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#16810363	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₅₃×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#432	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#329	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#11719947	—	2	2	no	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	2	yes	—
33	C₂×C₈×D₅₃	—	2	4	no	—
34	#13133217	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	#13133210	—	2	4	no	—
36	#13133209	C₂³	1	2	yes	—
37	#13133208	—	2	2	no	—
38	#13133204	—	2	2	no	—
39	#13133199	—	2	4	no	—
40	#13133198	—	2	2	no	—
41	#13133197	—	2	2	no	—
42	#13133196	—	2	2	no	—
43	#13133193	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	#13133188	—	2	2	no	—
45	#13133188	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	#13133185	—	2	2	no	—
47	Q₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
49	#13133182	—	2	2	no	—
50	D₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
51	D₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
52	D₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
54	#13133177	—	2	4	no	—
55	#13133176	—	2	2	no	—
56	#13133176	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#13133175	—	2	2	no	—
58	#13133173	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
62	C₄²×D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₄²×D₅₃	D₄	1	2	yes	—
64	C₄²×D₅₃	D₄	1	2	yes	—
65	C₄²×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
67	#13133146	—	2	4	no	—
68	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
69	#13133129	—	2	4	no	—
70	#13133128	C₂³	1	4	yes	—
71	#13133127	—	2	4	no	—
72	C₂×#41×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	#127×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	#124×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	#97×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂³×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
83	#41×C₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
95	#11719947	—	4	8	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
114	#11719921	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	#11719919	—	2	4	no	—
119	#11719919	—	2	4	no	—
120	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
121	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
122	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×#88322	—	2	4	no	—
130	C₈×D₅₃	—	4	8	no	—
131	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
135	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
136	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
137	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
138	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
139	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
153	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
157	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
158	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
159	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
160	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
161	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
162	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
163	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
164	#88322	—	4	4	no	—
165	#17678	—	53	1	no	maximal, Sylow
166	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
172	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
174	C₂×D₅₃	#421	1	4	yes	—
175	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
176	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
177	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
178	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
179	C₄×C₅₃	#413	1	2	yes	—
180	Dic₅₃	—	2	2	no	—
181	Dic₅₃	—	2	2	no	—
182	Dic₅₃	—	2	2	no	—
183	Dic₅₃	—	4	4	no	—
184	#3444	—	53	1	no	—
185	C₂×#432	—	53	2	no	—
186	#1537	—	53	2	no	—
187	#1536	—	53	1	no	—
188	#1536	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
189	#1532	—	53	8	no	—
190	C₂×C₅₃	—	4	1	no	—
191	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
192	C₂×C₅₃	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	C₂×#421	1	2	yes	—
194	D₅₃	—	2	4	no	—
195	#533	—	53	2	no	—
196	#533	—	53	1	no	—
197	#532	—	53	2	no	—
198	#532	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	#529	—	53	4	no	—
200	#529	—	106	2	no	—
201	#529	—	106	2	no	—
202	#525	—	53	2	no	—
203	#525	—	106	2	no	—
204	C₄×#41	—	53	2	no	—
205	C₄×#41	—	106	2	no	—
206	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
207	#432	—	53	2	no	—
208	#432	—	53	4	no	—
209	#432	—	106	2	no	—
210	#432	—	106	2	no	—
211	#432	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
212	C₂×C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
214	C₂×#97	—	53	4	no	—
215	#330	—	53	8	no	—
216	#329	—	53	4	no	—
217	#329	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
218	C₅₃	#17678	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
219	C₂×#41	—	106	2	no	—
220	C₂×#41	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
221	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
222	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
223	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
224	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
225	C₄⋊Q₈	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	#127	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	#126	—	106	4	no	—
228	#125	—	53	2	no	—
229	#125	—	106	2	no	—
230	#124	—	106	2	no	—
231	#124	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
232	#123	—	106	4	no	—
233	#123	—	106	2	no	—
234	C₂²⋊Q₈	—	53	4	no	—
235	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
236	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
237	#121	—	2	2	no	—
238	#121	—	53	4	no	—
239	#121	—	106	2	no	—
240	#120	—	106	2	no	—
241	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
242	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
243	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
244	C₄×D₄	—	2	2	no	—
245	C₄×D₄	—	53	4	no	—
246	C₄×D₄	—	106	2	no	—
247	C₄×D₄	—	106	4	no	—
248	C₄×D₄	—	106	4	no	—
249	C₄×D₄	—	106	4	no	—
250	#117	—	53	2	no	—
251	#117	—	106	4	no	—
252	#117	—	106	2	no	—
253	#117	—	106	2	no	—
254	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
255	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
256	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
257	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
258	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
259	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
260	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
261	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
264	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
265	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
266	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
267	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
268	#97	—	53	4	no	—
269	#97	—	106	4	no	—
270	#97	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
271	C₂⁴	—	53	1	no	—
272	#41	—	4	4	no	—
273	#41	—	212	8	no	—
274	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
275	C₂×Q₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
276	C₂×D₄	—	2	2	no	—
277	C₂×D₄	—	2	2	no	—
278	C₂×D₄	—	106	4	no	—
279	C₂×D₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
283	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
292	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	106	4	no	—
296	C₂×C₈	—	212	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
308	C₄²	—	53	1	no	—
309	C₄²	—	53	1	no	—
310	C₄²	—	53	2	no	—
311	C₄²	—	53	2	no	—
312	C₄²	—	53	2	no	—
313	C₄²	—	53	2	no	—
314	C₄²	—	53	2	no	—
315	C₄²	—	106	4	no	—
316	C₄²	—	106	2	no	—
317	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
319	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	53	2	no	—
322	C₂³	—	106	4	no	—
323	C₂³	—	212	1	no	—
324	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
325	Q₈	—	4	2	no	—
326	Q₈	—	212	4	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	4	no	—
330	D₄	—	212	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	53	2	no	—
336	C₂×C₄	—	53	2	no	—
337	C₂×C₄	—	53	2	no	—
338	C₂×C₄	—	106	4	no	—
339	C₂×C₄	—	106	4	no	—
340	C₂×C₄	—	106	4	no	—
341	C₂×C₄	—	106	4	no	—
342	C₂×C₄	—	212	2	no	—
343	C₂×C₄	—	212	2	no	—
344	C₂×C₄	—	212	2	no	—
345	C₂×C₄	—	212	1	no	—
346	C₂×C₄	—	212	2	no	—
347	C₂×C₄	—	212	8	no	—
348	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₈	—	212	4	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	53	4	no	—
359	C₂²	—	106	2	no	—
360	C₂²	—	106	2	no	—
361	C₂²	—	212	4	no	—
362	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
363	C₄	—	2	1	no	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	106	2	no	—
368	C₄	—	106	2	no	—
369	C₄	—	106	2	no	—
370	C₄	—	212	4	no	—
371	C₄	#16810604	1	2	yes	—
372	C₂	—	4	1	no	—
373	C₂	—	8	2	no	—
374	C₂	—	106	4	no	—
375	C₂	C₂×#16810604	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#421×D₅₃	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1536	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#20288010	C₂
cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1536	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#17678
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1536

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #432×D₅₃	C₂	semidirect
3. #20273352	C₂	semidirect
4. #20273350	C₂	semidirect
5. #20273332	C₂	semidirect
6. C₅₃×#1536	C₂	semidirect
25. #16810364	C₂²	semidirect
26. #16810363	C₂²	semidirect
29. C₅₃×#329	C₂²	semidirect
188. #1536	D₅₃	semidirect
217. #329	C₂×D₅₃	semidirect
218. C₅₃	#17678	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20288010	2
#432×D₅₃	2
#20273352	2
#20273350	2
#20273332	2
C₅₃×#1536	2
#17678	53