Subgroups — #27352665

Order 13568.

1230 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283345	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20273449	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20273441	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20273428	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20273376	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₅₃×#1558	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719949	C₄	1	2	yes	—
9	#16811174	—	2	2	no	—
10	#16811174	—	2	2	no	—
11	#16811174	C₄	1	2	yes	—
12	#16811174	C₄	1	2	yes	—
13	#16811174	C₂²	1	2	yes	—
14	#16811174	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133206	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#13133192	—	2	2	no	—
18	C₂×#13133179	—	2	2	no	—
19	C₂×C₄²×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810680	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810678	—	2	2	no	—
22	#16810675	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#16810673	—	2	2	no	—
24	#16810645	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#16810585	—	2	2	no	—
26	#16810575	—	2	2	no	—
27	#16810372	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#16810366	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#432	C₂²	1	2	yes	—
31	C₅₃×#333	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#11719949	—	2	2	no	—
33	C₂×#11719949	—	2	2	no	—
34	C₂×#11719949	—	4	8	no	—
35	C₂×#11719949	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂×#11719949	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
38	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	2	yes	—
43	C₂×#11719912	—	2	4	no	—
44	#13133214	—	2	2	no	—
45	#13133214	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
47	#13133206	—	2	4	no	—
48	#13133206	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	#13133206	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#13133192	—	2	4	no	—
51	#13133192	—	2	4	no	—
52	#13133192	—	2	4	no	—
53	#13133192	—	2	4	no	—
54	#13133179	—	2	4	no	—
55	#13133179	—	2	4	no	—
56	#13133179	—	2	4	no	—
57	#13133179	—	2	4	no	—
58	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
61	C₄²×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₄²×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₄²×D₅₃	D₄	1	2	yes	—
64	C₄²×D₅₃	D₄	1	2	yes	—
65	C₄²×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄²×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₄⋊#88322	C₂³	1	4	yes	—
68	#13133146	—	2	4	no	—
69	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
70	#13133129	—	2	4	no	—
71	#13133128	—	2	2	no	—
72	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂³×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
86	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
92	#11719949	—	4	8	no	—
93	#11719949	—	4	8	no	—
94	#11719949	—	4	8	no	—
95	#11719949	—	4	8	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
104	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
110	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	#11719921	—	2	8	no	—
125	#11719921	—	2	8	no	—
126	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×#88322	—	2	4	no	—
134	#11719912	—	4	8	no	—
135	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
140	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
144	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	#100	1	4	yes	—
155	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	D₂₁₂	—	4	4	no	—
160	D₂₁₂	—	4	8	no	—
161	D₂₁₂	—	4	4	no	—
162	D₂₁₂	—	4	8	no	—
163	D₂₁₂	—	4	8	no	—
164	D₂₁₂	—	4	8	no	—
165	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
166	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
167	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
168	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
169	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
170	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
171	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
172	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
173	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
174	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
175	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
176	#88322	—	4	4	no	—
177	#17738	—	53	1	no	maximal, Sylow
178	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₅₃	C₂×#100	1	2	yes	—
180	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
182	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
183	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
184	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
185	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
186	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
187	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
188	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
189	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
190	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
191	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
192	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
193	C₄×C₅₃	#575	1	4	yes	—
194	Dic₅₃	—	2	2	no	—
195	Dic₅₃	—	2	2	no	—
196	Dic₅₃	C₂×#100	1	2	yes	—
197	Dic₅₃	C₂×#100	1	2	yes	—
198	C₂×#532	—	53	1	no	—
199	#2920	—	53	2	no	—
200	#1560	—	53	4	no	—
201	#1558	—	53	1	no	—
202	#1558	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
203	#1555	—	53	2	no	—
204	#1543	—	53	4	no	—
205	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
206	C₂×C₅₃	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₅₃	#2896	1	2	yes	—
208	D₅₃	—	4	1	no	—
209	D₅₃	—	4	1	no	—
210	D₅₃	—	8	4	no	—
211	C₂²×#41	—	53	2	no	—
212	#532	—	53	2	no	—
213	#532	—	53	2	no	—
214	#532	—	53	2	no	—
215	#532	—	53	2	no	—
216	#532	—	106	2	no	—
217	#532	—	106	2	no	—
218	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂×#127	—	53	1	no	—
220	C₂×#124	—	53	2	no	—
221	C₂×#121	—	106	2	no	—
222	C₂×C₄×D₄	—	106	2	no	—
223	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
224	#432	—	53	2	no	—
225	#432	—	106	2	no	—
226	#432	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
227	#431	—	53	4	no	—
228	#431	—	106	2	no	—
229	#423	—	53	4	no	—
230	#407	—	106	2	no	—
231	C₄×M₁₆	—	106	2	no	—
232	#333	—	53	4	no	—
233	#333	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
234	#331	—	53	8	no	—
235	C₅₃	#17738	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
236	C₂×#41	—	53	4	no	—
237	C₂×#41	—	53	4	no	—
238	C₂×#41	—	106	2	no	—
239	C₂×#41	—	106	2	no	—
240	C₂×#41	—	212	8	no	—
241	C₂²×Q₈	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
243	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
244	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
245	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
246	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
247	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
248	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
249	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
250	C₄⋊Q₈	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
251	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
252	#127	—	53	2	no	—
253	#127	—	53	2	no	—
254	#127	—	106	2	no	—
255	#124	—	53	4	no	—
256	#124	—	53	4	no	—
257	#124	—	106	4	no	—
258	#121	—	106	4	no	—
259	#121	—	106	4	no	—
260	#121	—	106	4	no	—
261	#121	—	106	4	no	—
262	C₄×D₄	—	106	4	no	—
263	C₄×D₄	—	106	4	no	—
264	C₄×D₄	—	106	4	no	—
265	C₄×D₄	—	106	4	no	—
266	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
268	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
269	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
270	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
271	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
272	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
273	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
274	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
275	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
276	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
278	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
279	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
280	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
281	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
282	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
283	#97	—	2	2	no	—
284	#97	—	106	2	no	—
285	C₄×C₈	—	106	4	no	—
286	C₂⁴	—	53	1	no	—
287	C₂⁴	—	106	2	no	—
288	#41	—	212	8	no	—
289	#41	—	212	8	no	—
290	#41	—	212	8	no	—
291	#41	—	212	8	no	—
292	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
293	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
294	C₂×Q₈	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
295	C₂×D₄	—	53	4	no	—
296	C₂×D₄	—	106	4	no	—
297	C₂×D₄	—	106	4	no	—
298	C₂×D₄	—	106	4	no	—
299	C₂×D₄	—	106	2	no	—
300	C₂×D₄	—	106	4	no	—
301	C₂×D₄	—	212	4	no	—
302	C₂×D₄	—	212	8	no	—
303	C₂×D₄	—	212	8	no	—
304	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
306	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
307	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
308	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
309	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
310	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
311	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
312	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
313	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
314	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
315	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
316	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
317	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
318	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
319	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
320	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
322	M₁₆	—	212	8	no	—
323	C₂×C₈	—	2	4	no	—
324	C₂×C₈	—	106	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
326	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
329	C₄²	—	53	2	no	—
330	C₄²	—	53	2	no	—
331	C₄²	—	53	2	no	—
332	C₄²	—	53	1	no	—
333	C₄²	—	53	1	no	—
334	C₄²	—	53	2	no	—
335	C₄²	—	53	2	no	—
336	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
337	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
338	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	—	53	1	no	—
340	C₂³	—	53	1	no	—
341	C₂³	—	106	2	no	—
342	C₂³	—	106	4	no	—
343	C₂³	—	212	2	no	—
344	C₂³	—	212	8	no	—
345	C₂³	—	212	4	no	—
346	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	Q₈	—	4	4	no	—
348	Q₈	—	4	4	no	—
349	D₄	—	212	4	no	—
350	D₄	—	212	8	no	—
351	D₄	—	212	4	no	—
352	D₄	—	212	8	no	—
353	D₄	—	212	8	no	—
354	D₄	—	212	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	53	1	no	—
360	C₂×C₄	—	53	1	no	—
361	C₂×C₄	—	53	4	no	—
362	C₂×C₄	—	53	2	no	—
363	C₂×C₄	—	53	2	no	—
364	C₂×C₄	—	106	2	no	—
365	C₂×C₄	—	106	2	no	—
366	C₂×C₄	—	106	2	no	—
367	C₂×C₄	—	106	2	no	—
368	C₂×C₄	—	106	4	no	—
369	C₂×C₄	—	106	4	no	—
370	C₂×C₄	—	212	2	no	—
371	C₂×C₄	—	212	2	no	—
372	C₂×C₄	—	212	8	no	—
373	C₂×C₄	—	212	8	no	—
374	C₂×C₄	—	212	2	no	—
375	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
379	C₈	—	4	4	no	—
380	C₈	—	212	4	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	106	1	no	—
383	C₂²	—	106	1	no	—
384	C₂²	—	106	2	no	—
385	C₂²	—	106	2	no	—
386	C₂²	—	424	8	no	—
387	C₂²	—	212	4	no	—
388	C₂²	—	212	4	no	—
389	C₂²	—	212	8	no	—
390	C₂²	#100×D₅₃	1	2	yes	—
391	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
392	C₄	—	2	1	no	—
393	C₄	—	2	1	no	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	4	4	no	—
396	C₄	—	53	2	no	—
397	C₄	—	53	2	no	—
398	C₄	—	106	2	no	—
399	C₄	—	106	2	no	—
400	C₄	#16811422	1	4	yes	—
401	C₂	—	2	2	no	—
402	C₂	—	424	4	no	—
403	C₂	—	212	1	no	—
404	C₂	—	212	1	no	—
405	C₂	C₂×#100×D₅₃	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#20283233	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1558	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#16811174	C₂
cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1558	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#17738
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1558

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283345	C₂	semidirect
3. #20273449	C₂	semidirect
4. #20273441	C₂	semidirect
5. #20273428	C₂	semidirect
6. #20273376	C₂	semidirect
7. C₅₃×#1558	C₂	semidirect
22. #16810675	C₂²	semidirect
24. #16810645	C₂²	semidirect
27. #16810372	C₂²	semidirect
28. #16810366	C₂²	semidirect
31. C₅₃×#333	C₂²	semidirect
202. #1558	D₅₃	semidirect
233. #333	C₂×D₅₃	semidirect
235. C₅₃	#17738	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811174	2
#20283345	2
#20273449	2
#20273441	2
#20273428	2
#20273376	2
C₅₃×#1558	2
#17738	53