Subgroups — #27353051

Order 13568.

1244 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20288488	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283844	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20273450	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20273449	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20273382	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20273381	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20273376	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1543	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133263	C₄	1	2	yes	—
10	#16811294	—	2	2	no	—
11	D₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
12	#16811257	—	2	4	no	—
13	#16811191	C₄	1	4	yes	—
14	#16811187	C₄	1	2	yes	—
15	#16811174	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#127×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₈×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
20	#16810702	—	2	2	no	—
21	#16810698	—	2	4	no	—
22	#16810675	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#16810647	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#16810645	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#16810372	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#16810367	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#16810366	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#16810366	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₅₃×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#431	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₅₃×#333	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₅₃×#333	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₅₃×#331	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#13133263	—	4	8	no	—
35	C₂×#11719949	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
37	C₂×#11719945	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
40	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×D₄×D₅₃	—	2	4	no	—
42	C₂×D₄×D₅₃	—	2	4	no	—
43	C₂×D₄×D₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
45	C₂×#11719912	—	2	4	no	—
46	#13133214	—	2	2	no	—
47	#13133214	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
49	#13133213	—	2	4	no	—
50	#13133213	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	#13133206	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	#13133192	—	2	4	no	—
53	#13133191	—	2	4	no	—
54	#13133190	—	2	8	no	—
55	#13133187	—	2	8	no	—
56	#13133185	—	2	4	no	—
57	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	2	yes	—
58	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
59	#13133179	—	2	4	no	—
60	C₄×C₂²⋊D₅₃	D₄	1	4	yes	—
61	#13133176	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	#13133174	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₄²×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
65	C₄⋊#88322	C₂³	1	4	yes	—
66	#13133146	—	2	4	no	—
67	#13133129	—	2	4	no	—
68	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂×#41×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#127×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#124×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
82	#41×C₅₃	—	4	4	no	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
92	C₂×C₂²⋊D₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
93	#11719949	—	4	8	no	—
94	D₄×D₅₃	—	4	8	no	—
95	D₄×D₅₃	—	4	16	no	—
96	D₄×D₅₃	—	8	4	no	—
97	D₄×D₅₃	—	8	4	no	—
98	#11719945	—	2	4	no	—
99	#11719945	—	4	8	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
106	C₂×D₂₁₂	—	8	2	no	—
107	C₂×D₂₁₂	—	8	2	no	—
108	C₂×D₂₁₂	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂²⋊Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	#11719921	—	2	8	no	—
123	#11719921	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₄⋊Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
125	#11719919	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	#11719917	—	8	2	no	—
129	C₂×#88322	—	2	4	no	—
130	#11719912	—	8	4	no	—
131	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
136	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
137	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
138	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
139	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
140	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
142	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
155	C₂²⋊D₅₃	—	8	8	no	—
156	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	D₂₁₂	—	2	2	no	—
159	D₂₁₂	—	4	4	no	—
160	D₂₁₂	—	4	8	no	—
161	D₂₁₂	—	4	4	no	—
162	D₂₁₂	—	4	4	no	—
163	D₂₁₂	—	4	4	no	—
164	D₂₁₂	—	8	4	no	—
165	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
166	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
167	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
168	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
169	Dic₁₀₆	#100	1	4	yes	—
170	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
171	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
172	#88322	—	4	4	no	—
173	#17782	—	53	1	no	maximal, Sylow
174	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
181	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
182	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
183	C₂×D₅₃	—	16	8	no	—
184	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
185	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
186	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
187	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
188	C₄×C₅₃	C₂×#100	1	2	yes	—
189	C₄×C₅₃	#576	1	2	yes	—
190	C₄×C₅₃	#577	1	2	yes	—
191	Dic₅₃	—	2	4	no	—
192	Dic₅₃	C₂×#100	1	4	yes	—
193	#3498	—	53	1	no	—
194	#2991	—	53	2	no	—
195	#1560	—	53	2	no	—
196	#1560	—	53	1	no	—
197	#1545	—	53	2	no	—
198	#1545	—	53	4	no	—
199	#1543	—	53	2	no	—
200	#1543	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
201	C₂×C₅₃	—	4	1	no	—
202	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
203	C₂×C₅₃	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₅₃	#2897	1	2	yes	—
205	D₅₃	—	4	2	no	—
206	D₅₃	—	8	4	no	—
207	C₂×H(5,𝔽₂)	—	53	2	no	—
208	#550	—	106	2	no	—
209	D₄²	—	106	2	no	—
210	D₄²	—	106	4	no	—
211	#535	—	53	2	no	—
212	#535	—	53	4	no	—
213	#532	—	53	2	no	—
214	#532	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂×#127	—	53	2	no	—
216	C₂×#127	—	53	1	no	—
217	C₄×#41	—	53	1	no	—
218	C₈×Q₈	—	106	2	no	—
219	#436	—	106	2	no	—
220	#436	—	106	4	no	—
221	#431	—	53	4	no	—
222	#431	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
223	#423	—	53	2	no	—
224	#423	—	53	4	no	—
225	#333	—	53	2	no	—
226	#333	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
227	#333	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
228	#331	—	53	2	no	—
229	#331	—	53	4	no	—
230	#331	—	53	4	no	—
231	#331	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
232	C₅₃	#17782	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
233	H(5,𝔽₂)	—	212	8	no	—
234	C₂×#41	—	53	1	no	—
235	C₂×#41	—	53	4	no	—
236	C₂×#41	—	106	2	no	—
237	C₂×#41	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
238	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
239	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
240	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
241	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
242	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
243	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
244	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
245	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
246	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	#127	—	53	4	no	—
248	#127	—	53	2	no	—
249	#127	—	53	2	no	—
250	#127	—	106	4	no	—
251	#127	—	106	2	no	—
252	#127	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
253	#124	—	53	4	no	—
254	#124	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
255	#121	—	2	2	no	—
256	#121	—	106	8	no	—
257	#121	—	106	4	no	—
258	#121	—	106	4	no	—
259	#120	—	106	8	no	—
260	#120	—	106	4	no	—
261	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
262	C₄×D₄	—	2	2	no	—
263	C₄×D₄	—	53	4	no	—
264	C₄×D₄	—	53	2	no	—
265	C₄×D₄	—	106	4	no	—
266	#117	—	53	1	no	—
267	#117	—	53	2	no	—
268	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
269	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
271	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
272	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
273	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
274	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
275	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
276	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
277	C₄×C₈	—	2	2	no	—
278	C₄×C₈	—	106	4	no	—
279	C₂⁴	—	106	4	no	—
280	C₂⁴	—	106	2	no	—
281	#41	—	4	4	no	—
282	#41	—	106	4	no	—
283	#41	—	212	8	no	—
284	#41	—	212	8	no	—
285	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
286	C₂×Q₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
287	C₂×D₄	—	2	2	no	—
288	C₂×D₄	—	2	2	no	—
289	C₂×D₄	—	53	2	no	—
290	C₂×D₄	—	53	1	no	—
291	C₂×D₄	—	53	4	no	—
292	C₂×D₄	—	106	4	no	—
293	C₂×D₄	—	106	8	no	—
294	C₂×D₄	—	106	4	no	—
295	C₂×D₄	—	106	4	no	—
296	C₂×D₄	—	106	2	no	—
297	C₂×D₄	—	106	4	no	—
298	C₂×D₄	—	424	2	no	—
299	C₂×D₄	—	424	2	no	—
300	C₂×D₄	—	424	4	no	—
301	C₂×D₄	—	424	4	no	—
302	C₂×D₄	—	212	4	no	—
303	C₂×D₄	—	212	8	no	—
304	C₂×D₄	—	212	8	no	—
305	C₂×D₄	—	212	16	no	—
306	C₂×D₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
307	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
309	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
310	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
311	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
313	M₁₆	—	424	4	no	—
314	M₁₆	—	424	2	no	—
315	C₂×C₈	—	2	2	no	—
316	C₂×C₈	—	2	2	no	—
317	C₂×C₈	—	106	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
325	C₄²	—	53	2	no	—
326	C₄²	—	53	4	no	—
327	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
329	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
330	C₂³	—	2	2	no	—
331	C₂³	—	53	2	no	—
332	C₂³	—	106	4	no	—
333	C₂³	—	424	4	no	—
334	C₂³	—	424	8	no	—
335	C₂³	—	212	4	no	—
336	C₂³	—	212	8	no	—
337	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
338	Q₈	—	4	2	no	—
339	Q₈	—	53	4	no	—
340	D₄	—	4	2	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	D₄	—	4	2	no	—
343	D₄	—	4	2	no	—
344	D₄	—	106	4	no	—
345	D₄	—	106	2	no	—
346	D₄	—	424	4	no	—
347	D₄	—	424	8	no	—
348	D₄	—	212	4	no	—
349	D₄	—	212	8	no	—
350	D₄	—	212	8	no	—
351	D₄	—	212	4	no	—
352	D₄	—	212	4	no	—
353	D₄	—	212	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	53	2	no	—
360	C₂×C₄	—	53	4	no	—
361	C₂×C₄	—	106	4	no	—
362	C₂×C₄	—	106	4	no	—
363	C₂×C₄	—	106	4	no	—
364	C₂×C₄	—	212	8	no	—
365	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
369	C₈	—	4	2	no	—
370	C₈	—	4	2	no	—
371	C₈	—	212	4	no	—
372	C₂²	—	2	1	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	848	4	no	—
377	C₂²	—	848	8	no	—
378	C₂²	—	106	2	no	—
379	C₂²	—	106	4	no	—
380	C₂²	—	212	4	no	—
381	C₂²	—	212	8	no	—
382	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
383	C₄	—	2	1	no	—
384	C₄	—	2	2	no	—
385	C₄	—	4	2	no	—
386	C₄	—	53	4	no	—
387	C₄	—	106	4	no	—
388	C₄	#100×D₅₃	1	2	yes	—
389	C₄	#16811425	1	2	yes	—
390	C₄	#16811430	1	2	yes	—
391	C₂	—	4	1	no	—
392	C₂	—	8	2	no	—
393	C₂	—	424	4	no	—
394	C₂	—	212	2	no	—
395	C₂	C₂×#100×D₅₃	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#20283237	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1543	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#20288488	C₂
cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1543	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#17782
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1543

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283844	C₂	semidirect
3. #20273450	C₂	semidirect
4. #20273449	C₂	semidirect
5. #20273382	C₂	semidirect
6. #20273381	C₂	semidirect
7. #20273376	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1543	C₂	semidirect
22. #16810675	C₂²	semidirect
23. #16810647	C₂²	semidirect
24. #16810645	C₂²	semidirect
25. #16810372	C₂²	semidirect
26. #16810367	C₂²	semidirect
27. #16810366	C₂²	semidirect
28. #16810366	C₂²	semidirect
30. C₅₃×#431	C₂²	semidirect
31. C₅₃×#333	C₂²	semidirect
32. C₅₃×#333	C₂²	semidirect
33. C₅₃×#331	C₂²	semidirect
200. #1543	D₅₃	semidirect
222. #431	C₂×D₅₃	semidirect
226. #333	C₂×D₅₃	semidirect
227. #333	C₂×D₅₃	semidirect
231. #331	C₂×D₅₃	semidirect
232. C₅₃	#17782	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20288488	2
#20283844	2
#20273450	2
#20273449	2
#20273382	2
#20273381	2
#20273376	2
C₅₃×#1543	2
#17782	53