Subgroups — #27354217

Order 13568.

626 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20284746	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283796	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283793	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20273590	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20273555	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20273530	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20273512	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20273496	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20273133	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20273012	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#1491	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#16811173	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16810941	C₄	1	2	yes	—
14	#16810908	C₄	1	2	yes	—
15	#16810823	C₄	1	2	yes	—
16	#16810762	C₄	1	2	yes	—
17	Q₈×#88322	—	2	2	no	—
18	Q₈×#88322	C₂²	1	2	yes	—
19	Q₈×#88322	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×#11719924	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×#11719924	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810700	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810696	—	2	2	no	—
24	#16810688	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810676	—	2	2	no	—
26	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810588	—	2	2	no	—
30	#16810375	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810373	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810352	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810352	C₂²	1	2	yes	—
34	#16810345	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#16810345	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#16810344	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₈×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₅₃×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
42	C₅₃×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#11719945	—	2	1	no	—
44	C₂×#11719924	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#11719924	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
47	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
48	#13133217	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	#13133214	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	#13133205	—	2	1	no	—
51	#13133191	—	2	1	no	—
52	#13133191	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
54	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
55	#13133148	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	#13133148	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
58	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
59	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₄⋊#88322	D₄	1	2	yes	—
61	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
62	#13133141	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#13133141	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#13133137	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#13133137	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
67	C₂²⋊#88322	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²⋊#88322	D₄	1	2	yes	—
69	#13133129	—	2	2	no	—
70	#13133129	—	2	2	no	—
71	C₄×#88322	—	2	1	no	—
72	C₄×#88322	—	2	2	no	—
73	C₄×#88322	—	2	2	no	—
74	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
82	C₄×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
90	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
91	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
92	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
103	#11719945	—	8	2	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
106	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
109	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
110	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
111	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
122	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	#11719924	—	2	4	no	—
124	#11719924	—	2	4	no	—
125	#11719921	—	2	2	no	—
126	#11719921	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
128	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×#88322	—	2	2	no	—
130	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	#11719912	—	8	2	no	—
135	C₈×D₅₃	—	8	2	no	—
136	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
138	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
139	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
140	Q₈×C₅₃	#131	1	4	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
154	C₂²⋊D₅₃	—	8	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
156	D₂₁₂	—	2	2	no	—
157	D₂₁₂	—	2	2	no	—
158	D₂₁₂	—	8	1	no	—
159	D₂₁₂	—	8	1	no	—
160	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
161	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
162	Dic₁₀₆	—	8	1	no	—
163	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
165	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
166	#88322	—	2	2	no	—
167	#88322	—	2	2	no	—
168	#88322	—	2	2	no	—
169	#88322	—	2	2	no	—
170	#88322	—	4	2	no	—
171	#17923	—	53	1	no	maximal, Sylow
172	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
177	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
178	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
179	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
180	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
181	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
182	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
183	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
184	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
185	C₄×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
186	C₄×C₅₃	#577	1	2	yes	—
187	Dic₅₃	—	4	2	no	—
188	#3103	—	53	1	no	—
189	#2982	—	53	1	no	—
190	#2981	—	53	1	no	—
191	#1588	—	53	2	no	—
192	#1583	—	53	2	no	—
193	SD₁₆⋊C₈	—	53	2	no	—
194	C₈×SD₁₆	—	53	2	no	—
195	#1572	—	53	1	no	—
196	#1491	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
197	#1484	—	53	1	no	—
198	#1453	—	53	1	no	—
199	C₂×C₅₃	—	4	1	no	—
200	C₂×C₅₃	#2929	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₅₃	#2949	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₅₃	#2956	1	1	yes	characteristic
203	D₅₃	—	8	2	no	—
204	#532	—	53	1	no	—
205	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	#481	—	53	2	no	—
207	#475	—	53	2	no	—
208	#460	—	53	2	no	—
209	#448	—	53	2	no	—
210	C₈×Q₈	—	53	2	no	—
211	C₈×Q₈	—	53	2	no	—
212	C₈×Q₈	—	106	2	no	—
213	C₄×SD₁₆	—	53	2	no	—
214	C₄×SD₁₆	—	53	2	no	—
215	#436	—	53	2	no	—
216	#435	—	106	2	no	—
217	C₈×D₄	—	53	2	no	—
218	#432	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	#431	—	53	1	no	—
220	#431	—	53	1	no	—
221	#431	—	53	1	no	—
222	#431	—	106	2	no	—
223	#408	—	106	2	no	—
224	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	#335	—	53	2	no	—
226	#334	—	53	2	no	—
227	Q₈⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
228	Q₈⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
229	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
230	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
231	#322	—	53	1	no	—
232	#322	—	53	1	no	—
233	#322	—	53	1	no	—
234	C₈²	—	53	1	no	—
235	C₅₃	#17923	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
236	C₂×#41	—	106	1	no	—
237	C₂²×Q₈	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂×SD₁₆	—	53	2	no	—
239	C₂×SD₁₆	—	53	2	no	—
240	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
241	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
242	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
243	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
244	#127	—	53	1	no	—
245	#124	—	106	1	no	—
246	#121	—	53	2	no	—
247	#121	—	106	1	no	—
248	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
249	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
250	C₄×Q₈	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
251	C₄×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
252	C₄×D₄	—	53	2	no	—
253	C₄×D₄	—	106	1	no	—
254	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
255	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	#106	—	53	2	no	—
259	#106	—	53	2	no	—
260	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
261	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
262	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
263	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
264	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
265	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
266	#103	—	53	2	no	—
267	#103	—	53	2	no	—
268	#102	—	53	2	no	—
269	#102	—	53	2	no	—
270	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
271	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
272	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
273	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
274	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
275	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
276	#97	—	2	1	no	—
277	#97	—	2	1	no	—
278	C₄×C₈	—	53	1	no	—
279	C₄×C₈	—	53	1	no	—
280	C₄×C₈	—	53	1	no	—
281	C₄×C₈	—	53	1	no	—
282	C₄×C₈	—	106	2	no	—
283	C₄×C₈	—	106	2	no	—
284	C₄×C₈	—	106	1	no	—
285	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
286	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	#41	—	424	2	no	—
288	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
289	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
290	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
291	C₂×Q₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
292	C₂×D₄	—	53	2	no	—
293	C₂×D₄	—	106	2	no	—
294	C₂×D₄	—	106	1	no	—
295	C₂×D₄	—	106	1	no	—
296	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
299	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
300	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₂²×C₄	#11719947	1	1	yes	characteristic
302	SD₁₆	—	106	4	no	—
303	SD₁₆	—	106	4	no	—
304	M₁₆	—	4	2	no	—
305	M₁₆	—	424	2	no	—
306	C₂×C₈	—	2	1	no	—
307	C₂×C₈	—	2	2	no	—
308	C₂×C₈	—	2	1	no	—
309	C₂×C₈	—	53	2	no	—
310	C₂×C₈	—	53	2	no	—
311	C₂×C₈	—	53	2	no	—
312	C₂×C₈	—	53	2	no	—
313	C₂×C₈	—	106	2	no	—
314	C₂×C₈	—	424	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
320	C₄⋊C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
321	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	#11719947	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	—	106	2	no	—
330	C₂³	#13133177	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	2	4	no	—
332	Q₈	—	2	2	no	—
333	Q₈	—	424	1	no	—
334	Q₈	#13133225	1	4	yes	—
335	D₄	—	106	2	no	—
336	D₄	—	106	2	no	—
337	D₄	—	424	1	no	—
338	D₄	—	424	1	no	—
339	D₄	—	424	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	8	1	no	—
347	C₂×C₄	—	106	2	no	—
348	C₂×C₄	—	212	2	no	—
349	C₂×C₄	—	212	2	no	—
350	C₂×C₄	#13133177	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#13133177	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#13133177	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
356	C₈	—	2	2	no	—
357	C₈	—	4	1	no	—
358	C₈	—	4	2	no	—
359	C₈	—	106	2	no	—
360	C₈	—	106	2	no	—
361	C₈	—	106	2	no	—
362	C₈	—	106	2	no	—
363	C₈	—	212	2	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	2	1	no	—
367	C₂²	—	212	2	no	—
368	C₂²	—	212	2	no	—
369	C₂²	—	212	2	no	—
370	C₂²	C₂×#13133177	1	1	yes	characteristic
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	1	no	—
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	212	2	no	—
378	C₄	C₂×#13133225	1	2	yes	—
379	C₄	#16811432	1	2	yes	—
380	C₂	—	4	1	no	—
381	C₂	—	424	2	no	—
382	C₂	#20283405	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#20283570	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#20283621	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1491	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	#16811173	C₂²
cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1491	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#17923
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ #1491

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283796	C₂	semidirect
4. #20273590	C₂	semidirect
5. #20273555	C₂	semidirect
6. #20273530	C₂	semidirect
7. #20273512	C₂	semidirect
8. #20273496	C₂	semidirect
10. #20273012	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1491	C₂	semidirect
196. #1491	D₅₃	semidirect
235. C₅₃	#17923	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20284746	2
#20283796	2
#20283793	2
#20273590	2
#20273555	2
#20273530	2
#20273512	2
#20273496	2
#20273133	2
#20273012	2
C₅₃×#1491	2
#17923	53