Subgroups — #27354224

Order 13568.

626 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283796	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20283791	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20273594	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20273559	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	SD₁₆⋊#88322	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	SD₁₆×#88322	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20273495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20273162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20273132	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20273010	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#3103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	Q₈×#88322	—	2	2	no	—
13	Q₈×#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	Q₈×#88322	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810701	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810695	—	2	2	no	—
17	D₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810680	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810676	—	2	2	no	—
20	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810590	—	2	2	no	—
23	C₄×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810376	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810374	C₂²	1	2	yes	—
26	Q₈⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
27	Q₈⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
28	D₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
29	D₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810345	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810345	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#16810344	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₈×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₅₃×#481	C₄	1	2	yes	—
37	C₅₃×#475	C₄	1	2	yes	—
38	C₅₃×#460	C₄	1	2	yes	—
39	C₅₃×#448	C₄	1	2	yes	—
40	C₄×SD₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×SD₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
42	C₅₃×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719917	—	2	1	no	—
45	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
46	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
47	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
48	C₄⋊#88322	D₄	1	2	yes	—
49	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
50	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
52	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
53	C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
54	C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
55	C₂²⋊#88322	D₄	1	2	yes	—
56	#13133128	—	2	1	no	—
57	#13133128	—	2	1	no	—
58	C₄×#88322	—	2	1	no	—
59	C₄×#88322	—	2	2	no	—
60	C₄×#88322	—	2	2	no	—
61	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#41×C₅₃	—	2	1	no	—
66	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×SD₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×SD₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	#127×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	#124×C₅₃	—	2	1	no	—
72	#121×C₅₃	—	2	1	no	—
73	#121×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
75	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
76	C₄×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₄×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	C₄×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
79	C₄×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#106×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#106×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#103×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#103×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#102×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#102×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#41×C₅₃	—	8	2	no	—
95	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
98	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
102	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
109	SD₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
110	SD₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
116	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
126	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	#11719917	—	4	2	no	—
128	#11719917	—	8	2	no	—
129	C₂×#88322	—	2	1	no	—
130	C₂×#88322	—	2	2	no	—
131	C₂×#88322	—	2	2	no	—
132	C₂×#88322	—	2	1	no	—
133	C₂×#88322	—	8	2	no	—
134	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
138	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
139	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
140	Q₈×C₅₃	—	8	1	no	—
141	Q₈×C₅₃	#131	1	4	yes	—
142	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	D₄×C₅₃	—	8	1	no	—
145	D₄×C₅₃	—	8	1	no	—
146	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
157	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
163	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
165	#88322	—	2	2	no	—
166	#88322	—	2	2	no	—
167	#88322	—	2	2	no	—
168	#88322	—	4	1	no	—
169	#88322	—	4	2	no	—
170	#88322	—	4	2	no	—
171	#17923	—	53	1	no	maximal, Sylow
172	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
180	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
181	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
182	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
183	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
184	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
185	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
186	C₄×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
187	C₄×C₅₃	#577	1	2	yes	—
188	#3103	D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	#2982	—	53	1	no	—
190	#2981	—	53	1	no	—
191	#1588	—	53	2	no	—
192	#1583	—	53	2	no	—
193	SD₁₆⋊C₈	—	53	2	no	—
194	C₈×SD₁₆	—	53	2	no	—
195	#1572	—	53	1	no	—
196	#1491	—	53	1	no	—
197	#1484	—	53	1	no	—
198	#1453	—	53	1	no	—
199	C₂×C₅₃	—	4	1	no	—
200	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
201	C₂×C₅₃	#2929	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₅₃	#2949	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₅₃	#2956	1	1	yes	characteristic
204	#532	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	#481	Dic₅₃	1	2	yes	—
207	#475	Dic₅₃	1	2	yes	—
208	#460	Dic₅₃	1	2	yes	—
209	#448	Dic₅₃	1	2	yes	—
210	C₈×Q₈	—	53	2	no	—
211	C₈×Q₈	—	53	2	no	—
212	C₈×Q₈	—	106	2	no	—
213	C₄×SD₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
214	C₄×SD₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
215	#436	—	53	2	no	—
216	#435	—	106	2	no	—
217	C₈×D₄	—	53	2	no	—
218	#432	—	53	1	no	—
219	#431	—	53	1	no	—
220	#431	—	53	1	no	—
221	#431	—	106	2	no	—
222	#431	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	#408	—	106	2	no	—
224	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
225	#335	—	53	2	no	—
226	#334	—	53	2	no	—
227	Q₈⋊C₈	—	53	2	no	—
228	Q₈⋊C₈	—	53	2	no	—
229	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
230	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
231	#322	—	53	1	no	—
232	#322	—	53	1	no	—
233	#322	—	53	1	no	—
234	C₈²	—	53	1	no	—
235	C₅₃	#17923	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
236	C₂×#41	—	2	1	no	—
237	C₂²×Q₈	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂×SD₁₆	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
239	C₂×SD₁₆	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
240	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
241	C₂×M₁₆	—	106	1	no	—
242	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
243	C₄⋊Q₈	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
244	#127	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
245	#124	—	2	1	no	—
246	#121	—	2	1	no	—
247	#121	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
248	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
249	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
250	C₄×Q₈	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
251	C₄×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
252	C₄×D₄	—	2	1	no	—
253	C₄×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
254	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
255	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	#106	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
259	#106	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
260	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
261	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
262	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
263	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
264	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
265	C₄⋊C₈	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
266	#103	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
267	#103	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
268	#102	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
269	#102	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
270	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
271	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
272	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
273	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
274	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
275	C₂²⋊C₈	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
276	#97	—	106	1	no	—
277	#97	—	106	1	no	—
278	C₄×C₈	—	53	1	no	—
279	C₄×C₈	—	53	1	no	—
280	C₄×C₈	—	53	1	no	—
281	C₄×C₈	—	53	1	no	—
282	C₄×C₈	—	106	2	no	—
283	C₄×C₈	—	106	2	no	—
284	C₄×C₈	—	106	1	no	—
285	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
286	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	#41	—	8	2	no	—
288	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
289	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
290	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
291	C₂×Q₈	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
292	C₂×D₄	—	2	2	no	—
293	C₂×D₄	—	2	1	no	—
294	C₂×D₄	—	2	1	no	—
295	C₂×D₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
300	C₂²×C₄	#11719947	1	1	yes	characteristic
301	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
302	SD₁₆	—	2	4	no	—
303	SD₁₆	—	2	4	no	—
304	M₁₆	—	424	2	no	—
305	M₁₆	—	212	2	no	—
306	C₂×C₈	—	53	2	no	—
307	C₂×C₈	—	53	2	no	—
308	C₂×C₈	—	106	1	no	—
309	C₂×C₈	—	106	2	no	—
310	C₂×C₈	—	106	2	no	—
311	C₂×C₈	—	106	1	no	—
312	C₂×C₈	—	424	2	no	—
313	C₂×C₈	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
314	C₂×C₈	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
315	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₄⋊C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
320	C₄⋊C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	#11719947	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	—	2	2	no	—
330	C₂³	D₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	2	4	no	—
332	Q₈	—	2	2	no	—
333	Q₈	—	8	1	no	—
334	Q₈	#13133224	1	4	yes	—
335	D₄	—	2	2	no	—
336	D₄	—	2	2	no	—
337	D₄	—	8	1	no	—
338	D₄	—	8	1	no	—
339	D₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	8	1	no	—
350	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
356	C₈	—	2	2	no	—
357	C₈	—	2	2	no	—
358	C₈	—	106	2	no	—
359	C₈	—	106	2	no	—
360	C₈	—	106	2	no	—
361	C₈	—	212	1	no	—
362	C₈	—	212	2	no	—
363	C₈	—	212	2	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	2	1	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	C₂×D₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	1	no	—
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	C₂×#13133224	1	2	yes	—
379	C₄	#16811429	1	2	yes	—
380	C₂	—	4	1	no	—
381	C₂	—	8	2	no	—
382	C₂	#20283410	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#20283575	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#20283625	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3103	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₅₃×#532	C₂²
cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#3103	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#17923
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ #3103

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20283796	C₂	semidirect
3. #20273594	C₂	semidirect
4. #20273559	C₂	semidirect
5. SD₁₆⋊#88322	C₂	semidirect
6. SD₁₆×#88322	C₂	semidirect
7. #20273495	C₂	semidirect
8. #20273162	C₂	semidirect
10. #20273010	C₂	semidirect
235. C₅₃	#17923	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283796	2
#20283791	2
#20273594	2
#20273559	2
SD₁₆⋊#88322	2
SD₁₆×#88322	2
#20273495	2
#20273162	2
#20273132	2
#20273010	2
C₅₃×#3103	2
#17923	53