Subgroups — #27354247

Order 13568.

586 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20284755	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283809	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20283795	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20273588	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20273567	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20273535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₈×Dic₂₁₂	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20273495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20273163	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20273137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₅₃×#1453	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#16811180	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16810959	C₄	1	2	yes	—
15	#16810919	C₄	1	2	yes	—
16	#16810834	C₄	1	2	yes	—
17	#16810781	C₄	1	2	yes	—
18	#16810753	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810752	—	2	2	no	—
20	C₈×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₈×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₈×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810747	—	2	2	no	—
24	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810681	—	2	2	no	—
27	#16810680	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810673	—	2	2	no	—
30	#16810376	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810374	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810355	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810355	C₂²	1	2	yes	—
34	#16810355	C₂²	1	2	yes	—
35	#16810355	C₂²	1	2	yes	—
36	C₅₃×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₅₃×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₈²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	#13133217	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	#13133217	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	#13133209	—	2	1	no	—
49	#13133196	—	2	1	no	—
50	#13133196	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
52	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
53	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
54	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₄×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₄×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
57	#13133176	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
61	#13133151	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#13133151	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
64	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
65	#13133146	—	2	2	no	—
66	#13133146	—	2	2	no	—
67	#13133146	—	2	2	no	—
68	#13133146	—	2	2	no	—
69	#13133142	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#13133142	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#13133142	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#13133142	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
74	C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
75	#13133128	—	2	1	no	—
76	#13133127	—	2	2	no	—
77	C₄×#88322	—	2	1	no	—
78	C₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
79	C₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
80	C₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₄⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
85	C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
87	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
88	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
98	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
114	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	#11719919	—	2	2	no	—
123	#11719919	—	2	2	no	—
124	#11719919	—	2	2	no	—
125	#11719919	—	2	2	no	—
126	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
128	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×#88322	—	2	2	no	—
130	C₂×#88322	—	2	2	no	—
131	Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
132	Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
133	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	8	1	no	—
149	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
150	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
151	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
152	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
153	Dic₁₀₆	—	8	1	no	—
154	Dic₁₀₆	#131	1	4	yes	—
155	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
158	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
161	#88322	—	4	2	no	—
162	#88322	—	4	2	no	—
163	#17925	—	53	1	no	maximal, Sylow
164	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
170	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
171	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
172	C₄×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
173	C₄×C₅₃	#578	1	2	yes	—
174	Dic₅₃	—	2	4	no	—
175	Dic₅₃	—	4	2	no	—
176	Dic₅₃	—	4	2	no	—
177	Dic₅₃	—	4	2	no	—
178	#3104	—	53	1	no	—
179	#2985	—	53	1	no	—
180	#2982	—	53	1	no	—
181	#1587	—	53	2	no	—
182	#1584	—	53	2	no	—
183	#1579	—	53	2	no	—
184	C₈×Q₁₆	—	53	2	no	—
185	#1572	—	53	1	no	—
186	#1491	—	53	1	no	—
187	#1485	—	53	1	no	—
188	#1453	D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	—	4	1	no	—
190	C₂×C₅₃	#2929	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	#2950	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	#2956	1	1	yes	characteristic
193	#533	—	53	1	no	—
194	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
195	#484	—	53	2	no	—
196	#477	—	53	2	no	—
197	#462	—	53	2	no	—
198	#451	—	53	2	no	—
199	#446	—	53	2	no	—
200	#446	—	106	2	no	—
201	C₈×Q₈	—	53	2	no	—
202	C₈×Q₈	—	53	2	no	—
203	C₈×Q₈	—	53	2	no	—
204	C₈×Q₈	—	106	2	no	—
205	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
206	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
207	#433	—	106	2	no	—
208	#432	—	53	1	no	—
209	#431	—	53	1	no	—
210	#431	—	106	2	no	—
211	#431	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	#431	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	#335	—	53	2	no	—
215	#334	—	53	2	no	—
216	Q₈⋊C₈	—	53	2	no	—
217	Q₈⋊C₈	—	53	2	no	—
218	Q₈⋊C₈	—	53	2	no	—
219	Q₈⋊C₈	—	53	2	no	—
220	#322	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#322	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	#322	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₈²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₅₃	#17925	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
225	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
226	C₂×Q₁₆	—	53	2	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	53	2	no	—
228	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
229	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
230	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
231	#125	—	106	1	no	—
232	C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
233	C₂²⋊Q₈	—	106	1	no	—
234	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
235	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
236	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
237	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
238	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
239	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
240	#117	—	106	1	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
243	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
244	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	#107	—	53	2	no	—
246	#107	—	53	2	no	—
247	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
248	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
249	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
250	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
251	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
252	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
253	C₄⋊C₈	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
254	C₄⋊C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
255	#103	—	53	2	no	—
256	#103	—	53	2	no	—
257	#103	—	53	2	no	—
258	#103	—	53	2	no	—
259	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
260	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
261	C₂²⋊C₈	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
262	C₂²⋊C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
263	#97	—	2	1	no	—
264	#97	—	106	2	no	—
265	#97	—	106	1	no	—
266	C₄×C₈	—	106	2	no	—
267	C₄×C₈	—	106	2	no	—
268	C₄×C₈	—	106	2	no	—
269	C₄×C₈	—	106	1	no	—
270	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
277	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
278	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
279	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
280	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
281	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
282	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
283	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	#11719945	1	1	yes	characteristic
286	Q₁₆	—	106	4	no	—
287	Q₁₆	—	106	4	no	—
288	M₁₆	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	1	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	106	2	no	—
292	C₂×C₈	—	106	2	no	—
293	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
297	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
300	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
302	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
303	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
305	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
308	C₄²	—	106	2	no	—
309	C₄²	—	106	2	no	—
310	C₄²	—	106	2	no	—
311	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	#11719945	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	53	4	no	—
317	Q₈	—	106	4	no	—
318	Q₈	—	106	2	no	—
319	Q₈	—	106	2	no	—
320	Q₈	—	106	2	no	—
321	Q₈	—	424	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	1	no	—
325	C₂×C₄	—	106	4	no	—
326	C₂×C₄	—	106	2	no	—
327	C₂×C₄	—	106	2	no	—
328	C₂×C₄	—	106	2	no	—
329	C₂×C₄	—	106	2	no	—
330	C₂×C₄	—	424	1	no	—
331	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
337	C₈	—	2	2	no	—
338	C₈	—	2	2	no	—
339	C₈	—	2	2	no	—
340	C₈	—	2	2	no	—
341	C₈	—	2	2	no	—
342	C₈	—	4	1	no	—
343	C₈	—	212	2	no	—
344	C₈	—	212	2	no	—
345	C₂²	—	2	1	no	—
346	C₂²	—	2	1	no	—
347	C₂²	—	2	1	no	—
348	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	2	1	no	—
351	C₄	—	2	1	no	—
352	C₄	—	2	1	no	—
353	C₄	—	106	4	no	—
354	C₄	—	212	2	no	—
355	C₄	—	212	2	no	—
356	C₄	—	212	2	no	—
357	C₄	#131×D₅₃	1	2	yes	—
358	C₄	#16811440	1	2	yes	—
359	C₂	—	4	1	no	—
360	C₂	#20283411	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#20283584	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20283626	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1453	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂³×C₅₃	C₄×D₄
cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1453	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#17925
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ #431 ◁ #1453

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20273588	C₂	semidirect
5. #20273567	C₂	semidirect
6. #20273535	C₂	semidirect
7. C₈×Dic₂₁₂	C₂	semidirect
224. C₅₃	#17925	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20284755	2
#20283809	2
#20283795	2
#20273588	2
#20273567	2
#20273535	2
C₈×Dic₂₁₂	2
#20273495	2
#20273163	2
#20273137	2
C₅₃×#1453	2
#17925	53