Subgroups — #27354654

Order 13568.

734 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285290	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283426	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20273626	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20273536	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20273470	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20273167	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#16810345	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133225	—	2	1	no	—
11	C₂×#13133224	—	2	1	no	—
12	#16811173	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16811026	C₄	1	1	yes	characteristic
14	#16810999	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#16810971	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#16810969	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#16810857	C₄	1	4	yes	—
18	C₄×#11719922	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810701	—	2	1	no	—
20	#16810701	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810700	—	2	1	no	—
22	#16810700	C₂²	1	2	yes	—
23	D₄×#88322	—	2	1	no	—
24	D₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810688	—	2	1	no	—
26	#16810688	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810591	—	2	1	no	—
29	#16810590	—	2	1	no	—
30	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#16810373	C₂²	1	4	yes	—
33	#16810352	C₂²	1	4	yes	—
34	#16810345	C₂²	1	2	yes	—
35	#16810345	C₂²	1	2	yes	—
36	C₅₃×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂×#11719945	—	2	1	no	—
41	C₂×#11719922	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	#13133225	—	4	4	no	—
43	#13133224	—	4	4	no	—
44	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
45	C₂×#11719917	—	2	1	no	—
46	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
47	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
48	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
52	#13133217	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	#13133214	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	#13133205	—	2	1	no	—
55	#13133191	—	2	1	no	—
56	#13133191	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
58	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
59	#13133150	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₄⋊#88322	—	2	1	no	—
61	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
62	#13133138	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	#13133137	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
65	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
66	#13133129	—	2	2	no	—
67	#13133129	—	2	2	no	—
68	C₄×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₄×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₄×#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₄×#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₄×#88322	C₂³	1	2	yes	—
73	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#41×C₅₃	—	2	1	no	—
76	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
77	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
78	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	#127×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#124×C₅₃	—	2	1	no	—
81	#121×C₅₃	—	2	1	no	—
82	#121×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₄×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
87	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
88	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
89	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
90	#41×C₅₃	—	4	2	no	—
91	#41×C₅₃	—	4	2	no	—
92	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
93	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
95	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
102	#11719945	—	4	2	no	—
103	#11719945	—	4	2	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
106	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
109	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
110	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
120	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	#11719922	—	2	8	no	—
122	#11719921	—	2	2	no	—
123	#11719921	—	2	2	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	#11719917	—	4	4	no	—
127	#11719917	—	4	2	no	—
128	C₂×#88322	—	2	2	no	—
129	C₂×#88322	—	2	2	no	—
130	C₂×#88322	—	2	4	no	—
131	C₂×#88322	—	2	2	no	—
132	C₂×#88322	—	4	4	no	—
133	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	#11719912	—	4	4	no	—
140	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
144	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
145	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
146	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
147	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
148	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
158	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
159	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
163	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
164	D₂₁₂	—	2	4	no	—
165	D₂₁₂	—	4	2	no	—
166	D₂₁₂	—	4	2	no	—
167	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
168	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
169	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
170	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
171	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
172	#88322	—	2	2	no	—
173	#88322	—	2	1	no	—
174	#88322	—	2	1	no	—
175	#88322	—	2	1	no	—
176	#88322	—	2	1	no	—
177	#88322	—	4	2	no	—
178	#88322	#131	1	4	yes	complemented
179	#17962	—	53	1	no	maximal, Sylow
180	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₅₃	#442	1	2	yes	—
186	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
188	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
189	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
190	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
191	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
192	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
193	C₄×C₅₃	#442	1	2	yes	—
194	C₄×C₅₃	#444	1	2	yes	—
195	C₄×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
196	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
198	Dic₅₃	—	4	2	no	—
199	#3169	—	53	1	no	—
200	#2931	—	53	1	no	—
201	#2931	—	53	1	no	—
202	#1594	—	53	4	no	—
203	#1580	—	53	4	no	—
204	#1566	—	53	1	no	—
205	#1492	—	53	1	no	—
206	#1492	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
207	C₂×#322	—	53	1	no	—
208	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
209	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
210	C₂×C₅₃	#2931	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₅₃	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₅₃	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
213	D₅₃	—	8	2	no	—
214	C₂×#131	—	106	1	no	—
215	C₂×#131	—	106	1	no	—
216	#532	—	53	1	no	—
217	#532	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	#500	—	53	1	no	—
219	#493	—	53	1	no	—
220	#486	—	53	1	no	—
221	#486	—	53	1	no	—
222	#466	—	53	4	no	—
223	C₄×D₈	—	53	4	no	—
224	#436	—	53	2	no	—
225	#436	—	53	2	no	—
226	#436	—	106	1	no	—
227	#436	—	106	1	no	—
228	C₈×D₄	—	53	2	no	—
229	C₈×D₄	—	53	2	no	—
230	C₈×D₄	—	106	1	no	—
231	C₈×D₄	—	106	1	no	—
232	#423	—	53	1	no	—
233	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	#408	—	106	1	no	—
235	#408	—	106	1	no	—
236	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
237	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
238	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	#334	—	53	4	no	—
240	D₄⋊C₈	—	53	4	no	—
241	D₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
242	#322	—	53	2	no	—
243	#322	—	53	2	no	—
244	C₅₃	#17962	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
245	C₂×#41	—	2	1	no	—
246	C₂×#41	—	106	1	no	—
247	C₂×D₈	—	53	4	no	—
248	#131	—	212	4	no	—
249	#131	—	212	4	no	—
250	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
251	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
252	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
253	C₂×M₁₆	—	106	1	no	—
254	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
256	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
257	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
258	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
259	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
260	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
261	C₄⋊Q₈	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	#127	—	53	1	no	—
263	#127	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	#124	—	2	1	no	—
265	#124	—	106	1	no	—
266	#121	—	2	1	no	—
267	#121	—	53	2	no	—
268	#121	—	106	1	no	—
269	#121	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
270	C₄×D₄	—	2	1	no	—
271	C₄×D₄	—	53	2	no	—
272	C₄×D₄	—	106	1	no	—
273	C₄×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
274	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	#107	—	53	4	no	—
276	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
277	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
278	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
279	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
280	#102	—	53	4	no	—
281	#102	—	53	4	no	—
282	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
283	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
284	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
285	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
286	C₄×C₈	—	2	1	no	—
287	C₄×C₈	—	53	1	no	—
288	C₄×C₈	—	53	1	no	—
289	C₄×C₈	—	53	1	no	—
290	C₄×C₈	—	53	1	no	—
291	C₄×C₈	—	53	2	no	—
292	C₄×C₈	—	53	1	no	—
293	C₄×C₈	—	53	1	no	—
294	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
295	#41	—	4	2	no	—
296	#41	—	4	2	no	—
297	#41	—	212	2	no	—
298	#41	—	212	2	no	—
299	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
300	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
301	C₂×D₄	—	2	2	no	—
302	C₂×D₄	—	2	1	no	—
303	C₂×D₄	—	2	1	no	—
304	C₂×D₄	—	53	2	no	—
305	C₂×D₄	—	106	2	no	—
306	C₂×D₄	—	106	1	no	—
307	C₂×D₄	—	106	1	no	—
308	C₂×D₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
309	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
311	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
313	C₂²×C₄	#11719947	1	1	yes	characteristic
314	D₈	—	106	8	no	—
315	M₁₆	—	4	2	no	—
316	M₁₆	—	212	4	no	—
317	M₁₆	—	212	4	no	—
318	M₁₆	—	212	2	no	—
319	C₂×C₈	—	2	2	no	—
320	C₂×C₈	—	2	2	no	—
321	C₂×C₈	—	4	2	no	—
322	C₂×C₈	—	53	2	no	—
323	C₂×C₈	—	53	2	no	—
324	C₂×C₈	—	53	1	no	—
325	C₂×C₈	—	53	1	no	—
326	C₂×C₈	—	53	1	no	—
327	C₂×C₈	—	53	1	no	—
328	C₂×C₈	—	106	4	no	—
329	C₂×C₈	—	106	2	no	—
330	C₂×C₈	—	106	2	no	—
331	C₂×C₈	—	106	2	no	—
332	C₂×C₈	—	212	4	no	—
333	C₂×C₈	—	212	4	no	—
334	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
335	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
336	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
337	C₄⋊C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
338	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
342	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
343	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	C₄²	#11719947	1	1	yes	characteristic
345	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
346	C₂³	—	2	2	no	—
347	C₂³	—	106	2	no	—
348	C₂³	#13133177	1	1	yes	characteristic
349	Q₈	—	4	2	no	—
350	Q₈	—	212	2	no	—
351	D₄	—	2	4	no	—
352	D₄	—	4	4	no	—
353	D₄	—	4	2	no	—
354	D₄	—	4	2	no	—
355	D₄	—	106	4	no	—
356	D₄	—	212	4	no	—
357	D₄	—	212	2	no	—
358	D₄	—	212	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	106	2	no	—
365	C₂×C₄	—	212	2	no	—
366	C₂×C₄	—	212	2	no	—
367	C₂×C₄	#13133177	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#13133177	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#13133177	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#13133241	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#13133244	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
375	C₈	—	4	2	no	—
376	C₈	—	4	2	no	—
377	C₈	—	53	4	no	—
378	C₈	—	106	2	no	—
379	C₈	—	106	1	no	—
380	C₈	—	106	1	no	—
381	C₈	—	106	1	no	—
382	C₈	—	106	1	no	—
383	C₈	—	212	2	no	—
384	C₂²	—	2	1	no	—
385	C₂²	—	2	1	no	—
386	C₂²	—	4	2	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	2	no	—
389	C₂²	—	212	2	no	—
390	C₂²	—	212	2	no	—
391	C₂²	—	212	2	no	—
392	C₂²	#16810732	1	2	yes	—
393	C₂²	C₂×#13133177	1	1	yes	characteristic
394	C₄	—	2	1	no	—
395	C₄	—	2	1	no	—
396	C₄	—	4	2	no	—
397	C₄	—	212	2	no	—
398	C₄	#16810732	1	2	yes	—
399	C₄	#16810742	1	2	yes	—
400	C₄	#131×D₅₃	1	2	yes	—
401	C₄	C₂×#13133241	1	1	yes	characteristic
402	C₄	C₂×#13133244	1	1	yes	characteristic
403	C₂	—	2	2	no	—
404	C₂	—	8	2	no	—
405	C₂	—	424	2	no	—
406	C₂	#20283423	1	1	yes	characteristic
407	C₂	C₂×#16810732	1	1	yes	characteristic
408	C₂	C₂×#16810742	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1492	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	#20285290	C₂
cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1492	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#17962
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ #1492

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283427	C₂	semidirect
3. #20283426	C₂	semidirect
4. #20273626	C₂	semidirect
5. #20273536	C₂	semidirect
6. #20273470	C₂	semidirect
7. #20273167	C₂	semidirect
8. C₂×#16810345	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1492	C₂	semidirect
178. #88322	#131	semidirect
206. #1492	D₅₃	semidirect
244. C₅₃	#17962	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285290	2
#20283427	2
#20283426	2
#20273626	2
#20273536	2
#20273470	2
#20273167	2
C₂×#16810345	2
C₅₃×#1492	2
#17962	53