Subgroups — #27355605

Order 13568.

786 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283450	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20273628	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20273578	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20273538	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20273139	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20273004	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₅₃×#1566	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×D₄₂₄	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×M₁₆×D₅₃	—	2	2	no	—
11	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×D₄₂₄	C₄	1	2	yes	—
13	C₄×D₄₂₄	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₄×D₄₂₄	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810700	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#16810693	—	2	4	no	—
20	#16810688	C₂²	1	4	yes	complemented
21	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#13133151	C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#13133139	C₄	1	2	yes	—
24	#16810586	—	2	2	no	—
25	C₄×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810350	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#16810350	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#16810345	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#16810344	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₅₃×#423	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#334	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₅₃×#334	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
36	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
37	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#11719917	D₄	1	2	yes	—
41	C₂×#11719912	—	2	4	no	—
42	M₁₆×D₅₃	—	4	8	no	—
43	C₂×C₈×D₅₃	—	2	4	no	—
44	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
45	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
46	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
49	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
52	#13133151	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	#13133151	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	#13133151	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₄⋊#88322	—	2	1	no	—
56	#13133139	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#13133139	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	#13133139	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#13133139	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
61	#13133129	—	2	4	no	—
62	#13133129	—	2	4	no	—
63	#13133128	D₄	1	2	yes	—
64	C₄×#88322	C₂³	1	2	yes	—
65	C₄×#88322	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
72	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
84	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
92	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
103	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	#11719921	—	2	2	no	—
105	#11719921	—	2	2	no	—
106	#11719921	—	2	2	no	—
107	#11719921	—	2	2	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	#11719917	—	2	4	no	—
112	C₂×#88322	—	2	2	no	—
113	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	D₄₂₄	—	2	4	no	—
115	D₄₂₄	—	2	2	no	—
116	D₄₂₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
117	#11719912	—	4	8	no	—
118	C₈×D₅₃	—	4	8	no	—
119	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
135	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
138	D₂₁₂	—	2	2	no	—
139	D₂₁₂	—	2	2	no	—
140	D₂₁₂	—	2	2	no	—
141	D₂₁₂	—	4	4	no	—
142	D₂₁₂	C₂×M₁₆	1	4	yes	complemented
143	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
144	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
145	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
146	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
147	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
148	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
149	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
150	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
151	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
152	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
153	C₈×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	complemented
154	#88322	—	2	4	no	—
155	#88322	—	4	2	no	—
156	#18044	—	53	1	no	maximal, Sylow
157	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₅₃	#442	1	2	yes	—
160	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
162	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
164	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
165	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
168	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
170	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
171	C₄×C₅₃	#442	1	2	yes	—
172	C₄×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
174	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
175	Dic₅₃	—	4	2	no	—
176	Dic₅₃	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄×D₈	—	53	1	no	—
178	D₄×M₁₆	—	53	2	no	—
179	#1594	—	53	2	no	—
180	#1586	—	53	4	no	—
181	#1580	—	53	2	no	—
182	#1566	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
183	#1486	—	53	2	no	—
184	#1451	—	53	1	no	—
185	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
186	C₂×C₅₃	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#2957	1	1	yes	characteristic
189	D₅₃	—	4	4	no	—
190	D₅₃	—	8	2	no	—
191	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
192	C₂²×M₁₆	—	106	2	no	—
193	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
194	C₄×D₈	—	53	1	no	—
195	C₄×D₈	—	53	2	no	—
196	C₄×D₈	—	53	1	no	—
197	C₄×D₈	—	53	1	no	—
198	C₄×D₈	—	53	2	no	—
199	C₄×D₈	—	53	1	no	—
200	#436	—	53	4	no	—
201	#435	—	106	4	no	—
202	C₈×D₄	—	53	4	no	—
203	#431	—	53	1	no	—
204	C₂×#107	—	53	1	no	—
205	#423	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
206	C₂×#102	—	53	2	no	—
207	#407	—	106	2	no	—
208	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
209	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#334	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
211	#334	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
212	D₄⋊C₈	—	53	4	no	—
213	D₄⋊C₈	—	53	4	no	—
214	#322	—	53	2	no	—
215	#322	—	53	2	no	—
216	C₅₃	#18044	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
217	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
218	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
219	C₂×D₈	—	53	1	no	—
220	C₂×D₈	—	53	2	no	—
221	C₂×D₈	—	53	1	no	—
222	C₂×D₈	—	106	4	no	—
223	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
224	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
225	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
226	C₂×M₁₆	—	212	8	no	—
227	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
228	C₂²×C₈	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₈	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₄×D₄	—	53	2	no	—
231	C₄×D₄	—	53	2	no	—
232	C₄×D₄	—	53	2	no	—
233	C₄×D₄	—	53	2	no	—
234	C₄×D₄	—	106	2	no	—
235	C₄×D₄	—	106	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
238	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	#107	—	53	2	no	—
240	#107	—	53	1	no	—
241	#107	—	53	1	no	—
242	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
244	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
245	#102	—	53	2	no	—
246	#102	—	53	2	no	—
247	#102	—	53	2	no	—
248	#102	—	53	2	no	—
249	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
250	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
251	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
252	#97	—	53	2	no	—
253	C₄×C₈	—	53	2	no	—
254	C₄×C₈	—	53	2	no	—
255	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	C₂⁴	—	106	2	no	—
260	C₂×D₄	—	53	2	no	—
261	C₂×D₄	—	53	2	no	—
262	C₂×D₄	—	106	4	no	—
263	C₂×D₄	—	106	2	no	—
264	C₂×D₄	—	212	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
272	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	#11719949	1	1	yes	characteristic
275	D₈	—	53	4	no	—
276	D₈	—	106	4	no	—
277	D₈	—	106	2	no	—
278	M₁₆	—	4	4	no	—
279	M₁₆	—	106	4	no	—
280	M₁₆	—	212	8	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	1	no	—
284	C₂×C₈	—	53	4	no	—
285	C₂×C₈	—	106	2	no	—
286	C₂×C₈	—	212	8	no	—
287	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
298	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	#11719949	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	—	106	2	no	—
303	C₂³	—	106	2	no	—
304	C₂³	—	424	2	no	—
305	C₂³	—	212	4	no	—
306	C₂³	—	212	4	no	—
307	C₂³	#13133179	1	1	yes	characteristic
308	D₄	—	53	4	no	—
309	D₄	—	106	2	no	—
310	D₄	—	106	2	no	—
311	D₄	—	106	2	no	—
312	D₄	—	212	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	4	1	no	—
316	C₂×C₄	—	106	2	no	—
317	C₂×C₄	—	106	2	no	—
318	C₂×C₄	—	212	4	no	—
319	C₂×C₄	—	212	2	no	—
320	C₂×C₄	—	212	2	no	—
321	C₂×C₄	—	212	2	no	—
322	C₂×C₄	—	212	2	no	—
323	C₂×C₄	—	212	4	no	—
324	C₂×C₄	—	212	4	no	—
325	C₂×C₄	#13133179	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#13133179	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#13133179	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#13133244	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
332	C₈	—	2	1	no	—
333	C₈	—	2	1	no	—
334	C₈	—	2	1	no	—
335	C₈	—	4	4	no	—
336	C₈	—	106	4	no	—
337	C₈	—	212	2	no	—
338	C₈	M₁₆×D₅₃	1	2	yes	complemented
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	2	1	no	—
341	C₂²	—	106	4	no	—
342	C₂²	—	424	8	no	—
343	C₂²	—	212	2	no	—
344	C₂²	—	212	2	no	—
345	C₂²	—	212	2	no	—
346	C₂²	—	212	2	no	—
347	C₂²	—	212	2	no	—
348	C₂²	#16810734	1	2	yes	—
349	C₂²	C₂×#13133179	1	1	yes	characteristic
350	C₄	—	2	1	no	—
351	C₄	—	2	1	no	—
352	C₄	—	2	1	no	—
353	C₄	—	212	2	no	—
354	C₄	—	212	2	no	—
355	C₄	#16810734	1	2	yes	—
356	C₄	C₂×M₁₆×D₅₃	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#16811389	1	1	yes	characteristic
358	C₄	C₂×#13133244	1	2	yes	—
359	C₂	—	2	2	no	—
360	C₂	—	424	2	no	—
361	C₂	—	212	4	no	—
362	C₂	#20283450	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂×#16810734	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20283631	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1566	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₄₂₄	C₄
cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1566	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#18044
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ #1566

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283450	C₂	semidirect
3. #20273628	C₂	semidirect
4. #20273578	C₂	semidirect
5. #20273538	C₂	semidirect
6. #20273139	C₂	semidirect
7. #20273004	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1566	C₂	semidirect
18. #16810700	C₂²	semidirect
20. #16810688	C₂²	semidirect
26. #16810350	C₂²	semidirect
27. #16810350	C₂²	semidirect
28. #16810345	C₂²	semidirect
29. #16810344	C₂²	semidirect
32. C₅₃×#334	C₂²	semidirect
33. C₅₃×#334	C₂²	semidirect
116. D₄₂₄	M₁₆	semidirect
142. D₂₁₂	C₂×M₁₆	semidirect
153. C₈×C₅₃	C₂×M₁₆	semidirect
182. #1566	D₅₃	semidirect
210. #334	C₂×D₅₃	semidirect
211. #334	C₂×D₅₃	semidirect
216. C₅₃	#18044	semidirect
338. C₈	M₁₆×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×D₄₂₄	2
#20283450	2
#20273628	2
#20273578	2
#20273538	2
#20273139	2
#20273004	2
C₅₃×#1566	2
#18044	53