Subgroups — #27366607

Order 13568.

770 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20284716	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810702	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20274205	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274195	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274181	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20273362	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1564	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133239	—	2	1	no	—
10	C₂×#13133239	—	2	1	no	—
11	C₂²×#11719912	—	2	1	no	—
12	#16811173	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811007	—	2	1	no	—
15	#16811007	—	2	1	no	—
16	#16811003	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	#16810996	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#16810937	—	2	2	no	—
20	#16810904	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810819	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810759	—	2	2	no	—
23	C₄×D₄₂₄	—	2	4	no	—
24	#16810702	—	2	1	no	—
25	#16810702	—	2	1	no	—
26	#16810702	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810702	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#13133129	—	2	1	no	—
30	#16810368	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#16810366	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₅₃×#431	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#335	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₅₃×#334	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
37	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
39	#13133239	—	4	4	no	—
40	#13133239	—	4	4	no	—
41	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
43	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
45	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
46	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
47	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
48	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719912	—	4	4	no	—
51	C₂²×#88322	—	2	1	no	—
52	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
53	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
54	#13133205	—	2	2	no	—
55	#13133191	—	2	2	no	—
56	#13133191	—	2	2	no	—
57	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
58	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
59	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
60	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
61	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
62	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
65	#13133151	—	2	4	no	—
66	C₄⋊#88322	—	2	1	no	—
67	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
68	#13133139	—	2	4	no	—
69	#13133139	—	2	4	no	—
70	#13133129	—	2	2	no	—
71	#13133129	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
88	#11719945	—	4	4	no	—
89	#11719945	—	4	4	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
95	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
100	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	D₈	1	4	yes	complemented
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
112	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	#11719921	—	2	2	no	—
114	#11719921	—	2	2	no	—
115	#11719921	—	4	2	no	—
116	#11719921	—	4	2	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×#88322	—	2	2	no	—
122	C₂×#88322	—	4	2	no	—
123	Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
124	Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
125	D₄₂₄	—	4	2	no	—
126	D₄₂₄	—	4	8	no	—
127	D₄₂₄	—	4	2	no	—
128	#11719913	—	4	4	no	—
129	#11719913	—	4	4	no	—
130	#11719912	—	4	4	no	—
131	#11719912	—	4	4	no	—
132	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
148	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	D₂₁₂	—	2	4	no	—
153	D₂₁₂	—	4	2	no	—
154	D₂₁₂	—	4	2	no	—
155	D₂₁₂	—	4	2	no	—
156	D₂₁₂	—	4	4	no	—
157	D₂₁₂	—	8	2	no	—
158	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
159	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
160	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
161	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
162	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
163	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
164	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
165	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
166	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
167	C₈×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
168	C₈×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
169	#88322	—	4	2	no	—
170	#19133	—	53	1	no	maximal, Sylow
171	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₅₃	#459	1	2	yes	—
174	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
175	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
176	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
177	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
178	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
179	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
181	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
182	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
183	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
184	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
185	C₄×C₅₃	#459	1	2	yes	—
186	C₄×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
187	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
188	C₄×C₅₃	#575	1	2	yes	—
189	Dic₅₃	—	4	2	no	—
190	Dic₅₃	—	8	2	no	—
191	#3147	—	53	1	no	—
192	#3100	—	53	2	no	—
193	C₂×#436	—	53	1	no	—
194	#1689	—	53	2	no	—
195	#1687	—	53	2	no	—
196	#1685	—	53	4	no	—
197	#1564	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
198	#1540	—	53	2	no	—
199	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
200	C₂×C₅₃	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₅₃	#3054	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₅₃	#3067	1	1	yes	characteristic
203	D₅₃	—	8	2	no	—
204	D₅₃	—	16	2	no	—
205	C₂×#135	—	106	1	no	—
206	C₂×#135	—	106	1	no	—
207	C₂²×M₁₆	—	106	1	no	—
208	#532	—	53	2	no	—
209	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
210	#495	—	106	1	no	—
211	#495	—	106	1	no	—
212	#494	—	53	1	no	—
213	#493	—	53	1	no	—
214	#492	—	53	2	no	—
215	#480	—	106	2	no	—
216	#474	—	53	4	no	—
217	#459	—	53	4	no	—
218	#447	—	106	2	no	—
219	C₄×D₈	—	106	4	no	—
220	#436	—	53	2	no	—
221	#436	—	53	2	no	—
222	#436	—	106	1	no	—
223	#436	—	106	1	no	—
224	#431	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
227	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	#335	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
229	#334	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
230	#332	—	53	4	no	—
231	#331	—	53	4	no	—
232	C₅₃	#19133	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
233	C₂×#41	—	106	2	no	—
234	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
235	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
236	#135	—	212	4	no	—
237	#135	—	212	4	no	—
238	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
239	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
240	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
241	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
242	C₂×D₈	—	106	4	no	—
243	C₂×D₈	—	106	1	no	—
244	C₂×D₈	—	106	1	no	—
245	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
246	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
247	C₂×M₁₆	—	212	4	no	—
248	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
249	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
251	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
252	#127	—	53	2	no	—
253	#124	—	106	2	no	—
254	#121	—	106	2	no	—
255	#121	—	106	2	no	—
256	C₄×D₄	—	53	2	no	—
257	C₄×D₄	—	53	2	no	—
258	C₄×D₄	—	106	1	no	—
259	C₄×D₄	—	106	2	no	—
260	C₄×D₄	—	106	1	no	—
261	C₄×D₄	—	106	2	no	—
262	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
263	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
264	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	#107	—	106	4	no	—
266	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
267	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
268	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
269	#102	—	106	4	no	—
270	#102	—	106	4	no	—
271	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
272	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
273	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
274	C₄×C₈	—	2	2	no	—
275	C₄×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
276	C₄×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
277	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂⁴	—	106	1	no	—
280	#41	—	212	4	no	—
281	#41	—	212	4	no	—
282	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
283	C₂×D₄	—	53	2	no	—
284	C₂×D₄	—	106	1	no	—
285	C₂×D₄	—	106	2	no	—
286	C₂×D₄	—	106	2	no	—
287	C₂×D₄	—	106	2	no	—
288	C₂×D₄	—	212	2	no	—
289	C₂×D₄	—	212	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
291	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
293	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
295	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
296	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
297	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	C₂²×C₄	#11719949	1	1	yes	characteristic
299	Q₁₆	—	212	2	no	—
300	Q₁₆	—	212	2	no	—
301	SD₁₆	—	212	4	no	—
302	SD₁₆	—	212	4	no	—
303	D₈	—	212	2	no	—
304	D₈	—	212	8	no	—
305	D₈	—	212	2	no	—
306	M₁₆	—	212	4	no	—
307	M₁₆	—	212	4	no	—
308	C₂×C₈	—	2	2	no	—
309	C₂×C₈	—	2	4	no	—
310	C₂×C₈	—	106	2	no	—
311	C₂×C₈	—	212	2	no	—
312	C₂×C₈	D₄₂₄	1	4	yes	complemented
313	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
317	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
319	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
325	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	#11719949	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	—	106	2	no	—
330	C₂³	—	212	2	no	—
331	C₂³	—	212	2	no	—
332	C₂³	—	212	2	no	—
333	C₂³	—	212	2	no	—
334	C₂³	#13133192	1	1	yes	characteristic
335	Q₈	—	212	2	no	—
336	Q₈	—	212	2	no	—
337	D₄	—	106	4	no	—
338	D₄	—	424	2	no	—
339	D₄	—	424	4	no	—
340	D₄	—	212	2	no	—
341	D₄	—	212	2	no	—
342	D₄	—	212	2	no	—
343	D₄	—	212	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	106	2	no	—
347	C₂×C₄	—	424	4	no	—
348	C₂×C₄	—	212	2	no	—
349	C₂×C₄	—	212	2	no	—
350	C₂×C₄	—	212	4	no	—
351	C₂×C₄	—	212	2	no	—
352	C₂×C₄	—	212	2	no	—
353	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#13133245	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
361	C₈	—	2	1	no	—
362	C₈	—	2	1	no	—
363	C₈	—	4	4	no	—
364	C₈	—	212	2	no	—
365	C₈	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
366	C₈	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
367	C₂²	—	2	1	no	—
368	C₂²	—	2	1	no	—
369	C₂²	—	424	4	no	—
370	C₂²	—	424	2	no	—
371	C₂²	—	424	2	no	—
372	C₂²	—	424	2	no	—
373	C₂²	—	212	2	no	—
374	C₂²	—	212	2	no	—
375	C₂²	—	212	2	no	—
376	C₂²	#16810819	1	2	yes	—
377	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	2	1	no	—
381	C₄	—	424	2	no	—
382	C₄	—	212	2	no	—
383	C₄	#16810819	1	2	yes	—
384	C₄	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
385	C₄	C₂×#13133245	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#16811420	1	2	yes	—
387	C₂	—	2	2	no	—
388	C₂	—	848	2	no	—
389	C₂	—	424	2	no	—
390	C₂	C₂×#16810819	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#20284325	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20284436	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#13133192
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1564	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	#1564	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19133
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ #1564

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285143	C₂	semidirect
2. #20284716	C₂	semidirect
3. C₂×#16810702	C₂	semidirect
4. #20274205	C₂	semidirect
5. #20274195	C₂	semidirect
6. #20274181	C₂	semidirect
7. #20273362	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1564	C₂	semidirect
16. #16811003	C₂²	semidirect
17. #16811000	C₂²	semidirect
18. #16810996	C₂²	semidirect
30. #16810368	C₂²	semidirect
31. #16810366	C₂²	semidirect
34. C₅₃×#335	C₂²	semidirect
35. C₅₃×#334	C₂²	semidirect
104. C₂×C₈×C₅₃	D₈	semidirect
197. #1564	D₅₃	semidirect
228. #335	C₂×D₅₃	semidirect
229. #334	C₂×D₅₃	semidirect
232. C₅₃	#19133	semidirect
312. C₂×C₈	D₄₂₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285143	2
#20284716	2
C₂×#16810702	2
#20274205	2
#20274195	2
#20274181	2
#20273362	2
C₅₃×#1564	2
#19133	53