Subgroups — #27367293

Order 13568.

710 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 414 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20285658	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810997	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20283645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20274190	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274066	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20273461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20273384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₅₃×#1546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#11719924	—	2	1	no	—
11	C₂²×#11719924	—	2	1	no	—
12	#16811180	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811019	—	2	1	no	—
15	#16810997	—	2	1	no	—
16	#16810997	—	2	1	no	—
17	#16810997	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810997	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810996	—	2	1	no	—
20	#16810975	—	2	1	no	—
21	#16810970	—	2	1	no	—
22	#16810953	—	2	2	no	—
23	#16810905	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#16810824	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810776	—	2	2	no	—
26	#16810750	—	2	1	no	—
27	#16810750	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#16810747	—	2	1	no	—
29	#16810747	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810651	—	2	1	no	—
32	#16810581	—	2	1	no	—
33	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16810375	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#16810373	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#16810366	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#332	C₂²	1	4	yes	complemented
41	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
42	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
43	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
44	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
45	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
46	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
47	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
48	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719924	—	4	4	no	—
50	C₂×#11719924	—	4	4	no	—
51	C₂²×#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
53	#13133217	D₄	1	1	yes	characteristic
54	#13133217	D₄	1	1	yes	characteristic
55	#13133214	—	2	1	no	—
56	#13133214	—	2	1	no	—
57	#13133214	—	2	1	no	—
58	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
59	#13133209	—	2	1	no	—
60	#13133196	—	2	1	no	—
61	#13133196	D₄	1	2	yes	—
62	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
63	C₄×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
64	#13133176	—	2	1	no	—
65	#13133148	—	2	4	no	—
66	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
67	#13133146	—	2	2	no	—
68	#13133146	—	2	2	no	—
69	#13133140	—	2	4	no	—
70	#13133139	—	2	4	no	—
71	C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
72	#13133127	—	2	2	no	—
73	C₄×#88322	—	2	1	no	—
74	C₄×#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₄×#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
82	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
89	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
90	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
92	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
93	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
94	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
96	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
97	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
102	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
106	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
107	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
108	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
109	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
110	C₂×D₂₁₂	—	8	2	no	—
111	C₂×D₂₁₂	—	8	2	no	—
112	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
113	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
115	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
120	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
121	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
124	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
126	#11719924	—	4	4	no	—
127	#11719924	—	4	4	no	—
128	#11719924	—	4	4	no	—
129	#11719924	—	4	4	no	—
130	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
131	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
132	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
133	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	#11719919	—	2	2	no	—
135	#11719919	—	2	2	no	—
136	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×#88322	—	2	2	no	—
138	C₂×#88322	—	2	2	no	—
139	C₂×#88322	SD₁₆	1	4	yes	complemented
140	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	#11719913	—	8	4	no	—
145	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
148	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
149	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
150	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
151	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
152	Q₈×C₅₃	—	8	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
157	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
161	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
162	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
165	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
167	D₂₁₂	—	4	2	no	—
168	D₂₁₂	—	4	2	no	—
169	D₂₁₂	—	4	4	no	—
170	D₂₁₂	—	8	2	no	—
171	D₂₁₂	—	8	2	no	—
172	D₂₁₂	—	8	2	no	—
173	D₂₁₂	—	8	2	no	—
174	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
175	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
176	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
177	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
178	#88322	—	2	1	no	—
179	#88322	—	2	1	no	—
180	#88322	—	4	2	no	—
181	#88322	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
182	#88322	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
183	#19202	—	53	1	no	maximal, Sylow
184	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
185	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₅₃	#460	1	2	yes	—
187	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
188	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
189	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
190	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
191	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
192	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
193	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
194	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
195	C₄×C₅₃	#460	1	2	yes	—
196	C₄×C₅₃	#471	1	2	yes	—
197	C₄×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₅₃	#577	1	2	yes	—
200	Dic₅₃	—	4	2	no	—
201	Dic₅₃	—	4	2	no	—
202	#3229	—	53	1	no	—
203	#3208	—	53	1	no	—
204	C₂×#492	—	53	1	no	—
205	#2960	—	53	1	no	—
206	#1686	—	53	4	no	—
207	#1666	—	53	4	no	—
208	#1564	—	53	1	no	—
209	#1546	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
210	#1545	—	53	1	no	—
211	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
212	C₂×C₅₃	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₅₃	#3057	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₅₃	C₂×#471	1	1	yes	characteristic
215	D₅₃	—	16	2	no	—
216	C₂²×SD₁₆	—	106	1	no	—
217	C₂²×SD₁₆	—	106	1	no	—
218	#533	—	53	1	no	—
219	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×#127	—	53	1	no	—
221	#498	—	106	1	no	—
222	#492	—	53	2	no	—
223	#492	—	53	2	no	—
224	#492	—	106	1	no	—
225	#492	—	106	1	no	—
226	#492	—	106	1	no	—
227	#487	—	106	1	no	—
228	#486	—	106	1	no	—
229	#483	—	106	2	no	—
230	#475	—	53	4	no	—
231	#460	—	53	4	no	—
232	#450	—	106	2	no	—
233	#446	—	53	2	no	—
234	#446	—	106	1	no	—
235	C₈×Q₈	—	53	2	no	—
236	C₈×Q₈	—	106	1	no	—
237	#431	—	53	1	no	—
238	#431	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	#424	—	106	1	no	—
240	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	#405	—	106	1	no	—
242	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
243	#335	—	53	2	no	—
244	#334	—	53	2	no	—
245	#332	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
246	#331	—	53	4	no	—
247	C₅₃	#19202	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
248	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
249	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
250	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
251	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
252	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
253	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
254	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
255	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
256	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
257	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
258	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
259	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
260	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
261	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
262	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
263	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
264	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
265	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
266	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
267	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
268	#127	—	53	2	no	—
269	#127	—	106	1	no	—
270	#127	—	106	1	no	—
271	#127	—	106	1	no	—
272	#125	—	106	1	no	—
273	C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
274	C₂²⋊Q₈	—	106	1	no	—
275	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
276	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
277	#117	—	106	1	no	—
278	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	#106	—	106	4	no	—
282	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
283	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
284	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
285	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
286	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
287	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
288	#103	—	106	4	no	—
289	#102	—	106	4	no	—
290	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
291	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
292	#97	—	106	2	no	—
293	C₄×C₈	—	2	1	no	—
294	C₄×C₈	—	53	1	no	—
295	C₄×C₈	—	53	1	no	—
296	C₄×C₈	—	53	1	no	—
297	C₄×C₈	—	53	1	no	—
298	C₄×C₈	—	106	2	no	—
299	C₄×C₈	—	106	1	no	—
300	C₂⁴	—	212	1	no	—
301	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
302	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
303	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
304	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
305	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
306	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
307	C₂×D₄	—	106	2	no	—
308	C₂×D₄	—	106	2	no	—
309	C₂×D₄	—	106	2	no	—
310	C₂×D₄	—	424	2	no	—
311	C₂×D₄	—	424	2	no	—
312	C₂×D₄	—	212	1	no	—
313	C₂×D₄	—	212	1	no	—
314	C₂×D₄	—	212	1	no	—
315	C₂×D₄	—	212	2	no	—
316	C₂×D₄	—	212	2	no	—
317	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
318	C₂²×C₄	#11719945	1	1	yes	characteristic
319	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	SD₁₆	—	424	4	no	—
322	SD₁₆	—	212	4	no	—
323	SD₁₆	—	212	4	no	—
324	SD₁₆	—	212	4	no	—
325	SD₁₆	—	212	4	no	—
326	M₁₆	—	4	2	no	—
327	C₂×C₈	—	2	2	no	—
328	C₂×C₈	—	2	2	no	—
329	C₂×C₈	—	53	4	no	—
330	C₂×C₈	—	53	1	no	—
331	C₂×C₈	—	53	1	no	—
332	C₂×C₈	—	53	1	no	—
333	C₂×C₈	—	53	1	no	—
334	C₂×C₈	—	106	2	no	—
335	C₂×C₈	—	106	2	no	—
336	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
337	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
338	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
339	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
340	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
341	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
342	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
343	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
344	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
345	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
346	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
347	C₄²	—	106	2	no	—
348	C₄²	#11719945	1	1	yes	characteristic
349	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
350	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
352	C₂³	—	424	2	no	—
353	C₂³	—	424	2	no	—
354	C₂³	—	424	2	no	—
355	C₂³	—	212	2	no	—
356	C₂³	#13133190	1	1	yes	characteristic
357	Q₈	—	4	2	no	—
358	Q₈	—	4	2	no	—
359	Q₈	—	8	2	no	—
360	Q₈	—	106	4	no	—
361	Q₈	—	212	2	no	—
362	D₄	—	424	2	no	—
363	D₄	—	424	2	no	—
364	D₄	—	424	2	no	—
365	D₄	—	424	2	no	—
366	D₄	—	212	2	no	—
367	D₄	—	212	2	no	—
368	D₄	—	212	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	8	2	no	—
373	C₂×C₄	—	106	2	no	—
374	C₂×C₄	—	106	2	no	—
375	C₂×C₄	#13133190	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	#13133190	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#13133190	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	SD₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#13133241	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
383	C₈	—	4	2	no	—
384	C₈	—	4	2	no	—
385	C₈	—	53	2	no	—
386	C₈	—	53	2	no	—
387	C₈	—	106	1	no	—
388	C₈	—	106	1	no	—
389	C₈	—	212	2	no	—
390	C₂²	—	2	1	no	—
391	C₂²	—	2	1	no	—
392	C₂²	—	848	4	no	—
393	C₂²	—	424	2	no	—
394	C₂²	—	424	2	no	—
395	C₂²	—	424	2	no	—
396	C₂²	#16810822	1	2	yes	—
397	C₂²	C₂×#13133190	1	1	yes	characteristic
398	C₄	—	2	1	no	—
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	8	2	no	—
401	C₄	—	212	2	no	—
402	C₄	—	212	2	no	—
403	C₄	#16810822	1	2	yes	—
404	C₄	#16810889	1	2	yes	—
405	C₄	C₂×SD₁₆×D₅₃	1	1	yes	characteristic
406	C₄	C₂×#13133241	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#16811432	1	2	yes	—
408	C₂	—	2	2	no	—
409	C₂	—	848	2	no	—
410	C₂	C₂×#16810822	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#20284357	1	1	yes	characteristic
412	C₂	C₂×#16810889	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133190
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1546	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	C₂×#13133214	C₂²
hypercenter	#1546	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19202
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1546

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285859	C₂	semidirect
4. #20283645	C₂	semidirect
5. #20274190	C₂	semidirect
6. #20274066	C₂	semidirect
7. #20273461	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1546	C₂	semidirect
23. #16810905	C₂²	semidirect
27. #16810750	C₂²	semidirect
29. #16810747	C₂²	semidirect
34. #16810375	C₂²	semidirect
35. #16810373	C₂²	semidirect
40. C₅₃×#332	C₂²	semidirect
139. C₂×#88322	SD₁₆	semidirect
209. #1546	D₅₃	semidirect
245. #332	C₂×D₅₃	semidirect
247. C₅₃	#19202	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285859	2
#20285658	2
C₂×#16810997	2
#20283645	2
#20274190	2
#20274066	2
#20273461	2
#20273384	2
C₅₃×#1546	2
#19202	53