Subgroups — #27367541

Order 13568.

628 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 438 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20286043	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20285295	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283693	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20274240	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20274200	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274194	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274134	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20274126	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#334×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20273409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₅₃×#1695	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#16811174	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811155	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810971	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810922	—	2	2	no	—
17	#16810915	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810860	—	2	1	no	—
19	#16810860	—	2	1	no	—
20	#16810858	—	2	2	no	—
21	#16810853	—	2	2	no	—
22	#16810837	—	2	2	no	—
23	#16810824	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810818	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810753	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810747	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810705	—	2	1	no	—
28	#16810705	—	2	1	no	—
29	#16810692	—	2	1	no	—
30	D₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810686	—	2	1	no	—
32	#16810681	—	2	1	no	—
33	#16810679	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄⋊C₈×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
35	#16810581	—	2	1	no	—
36	C₄×C₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#16810374	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#16810373	C₂²	1	2	yes	—
39	#16810372	C₂²	1	2	yes	—
40	#16810366	C₂²	1	2	yes	—
41	#16810366	C₂²	1	2	yes	—
42	C₅₃×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₅₃×#476	C₂²	1	2	yes	—
44	C₅₃×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₅₃×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₅₃×#333	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂×#11719949	—	2	2	no	—
48	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
49	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
50	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
51	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
52	C₂²×#88322	—	2	1	no	—
53	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₈×D₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₈×D₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
56	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
57	#13133210	—	2	1	no	—
58	#13133208	D₄	1	1	yes	characteristic
59	#13133206	—	2	2	no	—
60	#13133204	D₄	1	1	yes	characteristic
61	#13133199	—	2	1	no	—
62	#13133197	D₄	1	1	yes	characteristic
63	#13133192	—	2	2	no	—
64	#13133192	—	2	2	no	—
65	#13133188	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₄×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#13133179	—	2	2	no	—
68	#13133179	—	2	2	no	—
69	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
70	#13133176	—	2	1	no	—
71	C₄²×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#13133150	—	2	2	no	—
73	C₄⋊#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
75	#13133146	—	2	1	no	—
76	#13133146	—	2	2	no	—
77	#13133146	—	2	1	no	—
78	#13133140	—	2	2	no	—
79	#13133139	—	2	2	no	—
80	#13133137	—	2	2	no	—
81	#13133137	—	2	2	no	—
82	#13133137	—	2	2	no	—
83	C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
84	#13133129	—	2	1	no	—
85	#13133127	—	2	1	no	—
86	#13133127	—	2	1	no	—
87	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₈×Dic₅₃	—	2	1	no	—
89	C₈×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₈×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
92	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
93	C₄×D₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#107×C₅₃	—	2	1	no	—
95	#107×C₅₃	—	2	1	no	—
96	#106×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
98	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#102×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
105	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
106	#11719949	—	8	4	no	—
107	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
108	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
109	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
110	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
111	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄×D₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
115	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
117	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
118	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
128	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
129	#11719922	—	8	2	no	—
130	#11719921	—	2	1	no	—
131	#11719921	—	4	2	no	—
132	#11719921	—	4	2	no	—
133	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
134	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
135	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	#11719919	—	2	1	no	—
137	#11719919	—	2	1	no	—
138	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
139	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₄×Dic₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂×#88322	—	2	1	no	—
143	C₂×#88322	—	2	2	no	—
144	C₂×#88322	—	4	2	no	—
145	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	D₄₂₄	—	4	2	no	—
148	D₄₂₄	—	4	2	no	—
149	#11719913	—	8	2	no	—
150	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
151	C₈×D₅₃	—	4	1	no	—
152	C₈×D₅₃	—	8	2	no	—
153	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
154	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂²×D₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
156	Q₈×C₅₃	—	8	2	no	—
157	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
160	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
161	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
165	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
167	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
168	C₂×Dic₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
169	C₂×Dic₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
170	C₂×Dic₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
171	D₂₁₂	—	4	2	no	—
172	D₂₁₂	—	4	2	no	—
173	D₂₁₂	—	4	2	no	—
174	D₂₁₂	—	4	2	no	—
175	D₂₁₂	—	8	2	no	—
176	D₂₁₂	—	8	4	no	—
177	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
178	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
179	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
180	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
181	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
182	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
183	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
184	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
185	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
186	C₈×C₅₃	#135	1	2	yes	—
187	#88322	—	2	1	no	—
188	#88322	—	2	1	no	—
189	#88322	—	4	1	no	—
190	#88322	—	4	2	no	—
191	#19227	—	53	1	no	maximal, Sylow
192	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
193	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
194	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
195	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
196	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
197	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
198	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
199	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
200	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
201	C₂×D₅₃	#472	1	2	yes	—
202	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
203	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
204	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
205	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
206	C₄×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
207	C₄×C₅₃	#577	1	2	yes	—
208	Dic₅₃	—	2	1	no	—
209	Dic₅₃	—	2	1	no	—
210	Dic₅₃	—	2	1	no	—
211	Dic₅₃	—	4	1	no	—
212	Dic₅₃	—	4	1	no	—
213	#3247	—	53	2	no	—
214	#3169	—	53	1	no	—
215	#2966	—	53	1	no	—
216	#1696	—	53	1	no	—
217	#1695	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
218	#1688	—	53	1	no	—
219	#1687	—	53	1	no	—
220	#1678	—	53	2	no	—
221	#1677	—	53	2	no	—
222	C₂×#334	—	53	1	no	—
223	#1551	—	53	2	no	—
224	C₂×C₅₃	—	8	1	no	—
225	C₂×C₅₃	#3035	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₅₃	#3060	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₅₃	C₂×#472	1	1	yes	characteristic
228	D₅₃	—	2	2	no	—
229	D₅₃	—	16	2	no	—
230	#532	—	53	2	no	—
231	#529	—	53	1	no	—
232	#500	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	#493	—	53	1	no	—
234	#486	—	53	2	no	—
235	#478	—	106	2	no	—
236	#477	—	53	2	no	—
237	#476	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
238	#466	—	106	2	no	—
239	#466	—	106	1	no	—
240	#466	—	106	1	no	—
241	#465	—	106	2	no	—
242	#463	—	106	2	no	—
243	#460	—	53	2	no	—
244	#459	—	53	2	no	—
245	#446	—	53	1	no	—
246	C₈×Q₈	—	53	1	no	—
247	C₄×D₈	—	106	1	no	—
248	C₄×D₈	—	106	1	no	—
249	#436	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	#435	—	106	1	no	—
251	C₈×D₄	—	53	1	no	—
252	C₈×D₄	—	106	1	no	—
253	#433	—	106	1	no	—
254	#432	—	53	1	no	—
255	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
256	#405	—	106	1	no	—
257	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
258	#334	—	53	2	no	—
259	#334	—	53	1	no	—
260	#334	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
261	#333	—	53	2	no	—
262	#333	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
263	#331	—	53	2	no	—
264	#331	—	53	2	no	—
265	C₅₃	#19227	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
266	C₂×#41	—	106	2	no	—
267	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
268	C₂×D₈	—	106	2	no	—
269	C₂×D₈	—	106	1	no	—
270	C₂×D₈	—	106	1	no	—
271	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
272	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
273	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
274	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
275	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
276	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
277	#127	—	53	2	no	—
278	#126	—	106	1	no	—
279	#125	—	53	1	no	—
280	#124	—	53	1	no	—
281	#124	—	106	2	no	—
282	#123	—	106	1	no	—
283	C₂²⋊Q₈	—	53	1	no	—
284	#121	—	53	1	no	—
285	#121	—	106	2	no	—
286	#121	—	106	2	no	—
287	C₄×Q₈	—	53	1	no	—
288	C₄×D₄	—	106	2	no	—
289	C₄×D₄	—	106	2	no	—
290	C₄×D₄	—	106	1	no	—
291	C₄×D₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
292	#117	—	106	1	no	—
293	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
294	#107	—	2	1	no	—
295	#107	—	2	1	no	—
296	#107	—	106	2	no	—
297	#106	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
299	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
300	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
301	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
302	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
303	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
304	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
305	#103	—	106	2	no	—
306	#102	—	2	2	no	—
307	#102	—	106	2	no	—
308	#102	—	106	2	no	—
309	#102	—	106	2	no	—
310	#102	—	106	2	no	—
311	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
312	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
313	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
314	#97	—	106	1	no	—
315	#97	—	106	1	no	—
316	C₄×C₈	—	53	1	no	—
317	C₄×C₈	—	53	1	no	—
318	C₄×C₈	—	53	1	no	—
319	C₄×C₈	—	106	1	no	—
320	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	#41	—	424	4	no	—
322	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
323	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
324	C₂×D₄	—	106	1	no	—
325	C₂×D₄	—	106	2	no	—
326	C₂×D₄	—	106	2	no	—
327	C₂×D₄	—	106	2	no	—
328	C₂×D₄	—	212	2	no	—
329	C₂×D₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
330	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
332	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
333	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
334	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
335	SD₁₆	—	424	2	no	—
336	D₈	—	424	2	no	—
337	D₈	—	212	2	no	—
338	D₈	—	212	2	no	—
339	M₁₆	—	4	2	no	—
340	C₂×C₈	—	2	1	no	—
341	C₂×C₈	—	2	2	no	—
342	C₂×C₈	—	53	1	no	—
343	C₂×C₈	—	53	1	no	—
344	C₂×C₈	—	106	2	no	—
345	C₂×C₈	—	106	1	no	—
346	C₂×C₈	—	106	2	no	—
347	C₂×C₈	—	424	2	no	—
348	C₂×C₈	—	212	1	no	—
349	C₂×C₈	—	212	2	no	—
350	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
352	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
353	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
354	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
355	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
356	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
357	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
358	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
359	C₄⋊C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
360	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
361	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
362	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
363	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
364	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
365	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
366	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
367	C₄²	—	53	1	no	—
368	C₄²	—	53	1	no	—
369	C₄²	—	53	1	no	—
370	C₄²	—	106	1	no	—
371	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
372	C₂³	—	2	1	no	—
373	C₂³	—	53	1	no	—
374	C₂³	—	212	2	no	—
375	Q₈	—	8	2	no	—
376	Q₈	—	106	2	no	—
377	D₄	—	2	2	no	—
378	D₄	—	424	2	no	—
379	D₄	—	424	4	no	—
380	D₄	—	212	2	no	—
381	D₄	—	212	2	no	—
382	D₄	—	212	2	no	—
383	D₄	—	212	2	no	—
384	D₄	—	212	2	no	—
385	C₂×C₄	—	2	1	no	—
386	C₂×C₄	—	4	1	no	—
387	C₂×C₄	—	4	1	no	—
388	C₂×C₄	—	4	2	no	—
389	C₂×C₄	—	53	1	no	—
390	C₂×C₄	—	53	1	no	—
391	C₂×C₄	—	53	1	no	—
392	C₂×C₄	—	106	2	no	—
393	C₂×C₄	—	106	1	no	—
394	C₂×C₄	—	106	1	no	—
395	C₂×C₄	—	106	2	no	—
396	C₂×C₄	—	106	1	no	—
397	C₂×C₄	—	106	1	no	—
398	C₂×C₄	—	424	4	no	—
399	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
402	C₈	—	2	1	no	—
403	C₈	—	4	1	no	—
404	C₈	—	4	2	no	—
405	C₈	—	106	1	no	—
406	C₈	—	106	1	no	—
407	C₈	—	212	1	no	—
408	C₈	—	212	2	no	—
409	C₈	#13133238	1	2	yes	—
410	C₂²	—	4	1	no	—
411	C₂²	—	4	1	no	—
412	C₂²	—	4	1	no	—
413	C₂²	—	53	2	no	—
414	C₂²	—	106	1	no	—
415	C₂²	—	106	1	no	—
416	C₂²	—	424	2	no	—
417	C₂²	—	424	2	no	—
418	C₂²	—	424	2	no	—
419	C₂²	#121×D₅₃	1	1	yes	characteristic
420	C₄	—	2	1	no	—
421	C₄	—	4	1	no	—
422	C₄	—	8	2	no	—
423	C₄	—	106	1	no	—
424	C₄	—	106	1	no	—
425	C₄	—	106	1	no	—
426	C₄	—	212	1	no	—
427	C₄	—	212	1	no	—
428	C₄	C₂×#13133238	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#16811422	1	1	yes	characteristic
430	C₄	#16811432	1	2	yes	—
431	C₂	—	8	1	no	—
432	C₂	—	848	2	no	—
433	C₂	—	106	2	no	—
434	C₂	#20284171	1	1	yes	characteristic
435	C₂	#20284379	1	1	yes	characteristic
436	C₂	#472×D₅₃	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	#121×D₅₃
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1695	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	#1695	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19227
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ #1695

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20286043	C₂	semidirect
2. #20285295	C₂	semidirect
3. #20283693	C₂	semidirect
4. #20274240	C₂	semidirect
5. #20274200	C₂	semidirect
6. #20274194	C₂	semidirect
7. #20274134	C₂	semidirect
8. #20274126	C₂	semidirect
9. #334×D₅₃	C₂	semidirect
10. #20273409	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1695	C₂	semidirect
217. #1695	D₅₃	semidirect
265. C₅₃	#19227	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20286043	2
#20285295	2
#20283693	2
#20274240	2
#20274200	2
#20274194	2
#20274134	2
#20274126	2
#334×D₅₃	2
#20273409	2
C₅₃×#1695	2
#19227	53