Subgroups — #27367883

Order 13568.

798 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285294	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20284181	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₈×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20274153	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274105	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274071	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20273393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1567	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133245	—	2	2	no	—
10	C₂²×C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
11	#16811173	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16811028	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	#16810970	C₂²	1	2	yes	complemented
16	#16810859	—	2	1	no	—
17	#16810859	—	2	1	no	—
18	#16810839	—	2	4	no	—
19	#16810829	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810819	C₂²	1	4	yes	—
21	C₄×D₄₂₄	—	2	1	no	—
22	C₄×D₄₂₄	—	2	1	no	—
23	C₈×D₂₁₂	—	2	1	no	—
24	C₈×D₂₁₂	—	2	1	no	—
25	C₈×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
26	C₈×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810625	—	2	2	no	—
29	C₂×#13133129	—	2	1	no	—
30	#16810370	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#16810366	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₅₃×#423	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#335	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₅₃×#335	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
37	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
39	#13133245	—	4	8	no	—
40	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
41	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
42	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
43	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
44	C₂²×#88322	—	2	1	no	—
45	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
46	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
47	C₂×C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
48	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
49	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
50	#13133205	—	2	2	no	—
51	#13133191	—	2	2	no	—
52	#13133191	—	2	2	no	—
53	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
54	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
55	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
56	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
57	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
58	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
61	#13133151	—	2	1	no	—
62	#13133151	—	2	1	no	—
63	C₄⋊#88322	—	2	1	no	—
64	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
65	#13133142	—	2	4	no	—
66	#13133139	—	2	2	no	—
67	#13133139	—	2	2	no	—
68	#13133139	—	2	4	no	—
69	#13133129	—	2	2	no	—
70	#13133129	—	2	2	no	—
71	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
77	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
87	#11719945	—	4	4	no	—
88	#11719945	—	4	4	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	D₈	1	4	yes	complemented
95	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
100	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
102	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
113	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	#11719921	—	2	2	no	—
115	#11719921	—	2	2	no	—
116	#11719921	—	4	2	no	—
117	#11719921	—	4	2	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×#88322	—	2	2	no	—
123	C₂×#88322	—	4	2	no	—
124	D₄₂₄	—	4	2	no	—
125	D₄₂₄	—	4	8	no	—
126	D₄₂₄	—	4	2	no	—
127	#11719913	—	4	8	no	—
128	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
129	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	D₂₁₂	—	2	2	no	—
152	D₂₁₂	—	2	4	no	—
153	D₂₁₂	—	4	2	no	—
154	D₂₁₂	—	4	2	no	—
155	D₂₁₂	—	4	2	no	—
156	D₂₁₂	—	4	2	no	—
157	D₂₁₂	—	8	2	no	—
158	D₂₁₂	C₂×D₈	1	4	yes	—
159	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
160	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
161	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
162	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
163	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
164	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
165	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
166	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
167	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
168	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
169	C₈×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	complemented
170	#88322	—	4	2	no	—
171	#19255	—	53	1	no	maximal, Sylow
172	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₅₃	#466	1	2	yes	—
175	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
176	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
177	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
178	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
179	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
181	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
182	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
183	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
184	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
185	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
186	C₄×C₅₃	#466	1	2	yes	—
187	C₄×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
188	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
189	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
190	C₄×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
191	Dic₅₃	—	4	2	no	—
192	Dic₅₃	—	8	2	no	—
193	#3169	—	53	1	no	—
194	#3036	—	53	2	no	—
195	C₂×C₈×D₄	—	53	1	no	—
196	#1681	—	53	4	no	—
197	#1673	—	53	2	no	—
198	#1667	—	53	2	no	—
199	#1567	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
200	#1547	—	53	2	no	—
201	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
202	C₂×C₅₃	#3036	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₅₃	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₅₃	#3067	1	1	yes	characteristic
205	D₅₃	—	4	4	no	—
206	D₅₃	—	16	2	no	—
207	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	106	2	no	—
208	C₂³×C₈	—	106	1	no	—
209	#532	—	53	2	no	—
210	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
211	#500	—	53	1	no	—
212	#493	—	53	1	no	—
213	#486	—	53	2	no	—
214	#466	—	106	1	no	—
215	#466	—	106	1	no	—
216	#463	—	106	4	no	—
217	#461	—	53	4	no	—
218	#459	—	53	4	no	—
219	C₄×D₈	—	106	1	no	—
220	C₄×D₈	—	106	1	no	—
221	C₈×D₄	—	53	2	no	—
222	C₈×D₄	—	53	2	no	—
223	C₈×D₄	—	106	1	no	—
224	C₈×D₄	—	106	1	no	—
225	#423	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
226	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
227	#417	—	106	2	no	—
228	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
229	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	#335	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
231	#335	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
232	#332	—	53	4	no	—
233	#331	—	53	4	no	—
234	C₅₃	#19255	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
235	C₂×#41	—	106	2	no	—
236	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
237	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
238	AGL(1,ℤ/8)	—	212	8	no	—
239	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
240	C₂×D₈	—	106	4	no	—
241	C₂×D₈	—	106	1	no	—
242	C₂×D₈	—	106	1	no	—
243	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
245	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
246	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
247	C₂²×C₈	—	212	4	no	—
248	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
250	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
251	#127	—	53	2	no	—
252	#124	—	106	2	no	—
253	#121	—	106	2	no	—
254	#121	—	106	2	no	—
255	C₄×D₄	—	53	2	no	—
256	C₄×D₄	—	53	2	no	—
257	C₄×D₄	—	106	1	no	—
258	C₄×D₄	—	106	2	no	—
259	C₄×D₄	—	106	1	no	—
260	C₄×D₄	—	106	2	no	—
261	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
262	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
263	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	#107	—	106	1	no	—
265	#107	—	106	1	no	—
266	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
268	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
269	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
270	#103	—	106	4	no	—
271	#102	—	106	4	no	—
272	#102	—	106	2	no	—
273	#102	—	106	2	no	—
274	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
275	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
276	C₄×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
277	C₄×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
278	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	C₂⁴	—	106	1	no	—
281	#41	—	212	4	no	—
282	#41	—	212	4	no	—
283	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
284	C₂×D₄	—	53	4	no	—
285	C₂×D₄	—	53	2	no	—
286	C₂×D₄	—	106	1	no	—
287	C₂×D₄	—	106	2	no	—
288	C₂×D₄	—	106	2	no	—
289	C₂×D₄	—	106	2	no	—
290	C₂×D₄	—	106	2	no	—
291	C₂×D₄	—	212	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
293	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
295	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
296	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
298	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
299	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
300	C₂²×C₄	#11719949	1	1	yes	characteristic
301	SD₁₆	—	212	8	no	—
302	D₈	—	212	2	no	—
303	D₈	—	212	8	no	—
304	D₈	—	212	2	no	—
305	M₁₆	—	4	4	no	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	4	no	—
308	C₂×C₈	—	4	1	no	—
309	C₂×C₈	—	106	2	no	—
310	C₂×C₈	—	212	4	no	—
311	C₂×C₈	—	212	2	no	—
312	C₂×C₈	—	212	4	no	—
313	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
317	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
319	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
325	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	#11719949	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	—	106	4	no	—
330	C₂³	—	106	2	no	—
331	C₂³	—	212	2	no	—
332	C₂³	—	212	2	no	—
333	C₂³	—	212	2	no	—
334	C₂³	#13133192	1	1	yes	characteristic
335	Q₈	—	212	2	no	—
336	Q₈	—	212	2	no	—
337	D₄	—	53	4	no	—
338	D₄	—	106	4	no	—
339	D₄	—	106	2	no	—
340	D₄	—	424	2	no	—
341	D₄	—	424	4	no	—
342	D₄	—	212	2	no	—
343	D₄	—	212	2	no	—
344	D₄	—	212	2	no	—
345	D₄	—	212	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	106	2	no	—
350	C₂×C₄	—	424	4	no	—
351	C₂×C₄	—	212	4	no	—
352	C₂×C₄	—	212	2	no	—
353	C₂×C₄	—	212	2	no	—
354	C₂×C₄	—	212	2	no	—
355	C₂×C₄	—	212	2	no	—
356	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#13133240	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
364	C₈	—	2	1	no	—
365	C₈	—	2	1	no	—
366	C₈	—	2	1	no	—
367	C₈	—	4	4	no	—
368	C₈	—	212	2	no	—
369	C₈	#13133245	1	2	yes	complemented
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	106	4	no	—
373	C₂²	—	424	2	no	—
374	C₂²	—	424	2	no	—
375	C₂²	—	424	2	no	—
376	C₂²	—	212	8	no	—
377	C₂²	—	212	2	no	—
378	C₂²	—	212	2	no	—
379	C₂²	#16810860	1	2	yes	—
380	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
381	C₄	—	2	1	no	—
382	C₄	—	2	1	no	—
383	C₄	—	2	1	no	—
384	C₄	—	424	2	no	—
385	C₄	—	212	2	no	—
386	C₄	#16810860	1	2	yes	—
387	C₄	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
388	C₄	C₂×#13133240	1	1	yes	characteristic
389	C₄	C₂×#13133245	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#16811423	1	1	yes	characteristic
391	C₂	—	2	2	no	—
392	C₂	—	848	2	no	—
393	C₂	—	212	4	no	—
394	C₂	#20284181	1	1	yes	characteristic
395	C₂	C₂×#16810860	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#20284436	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133192
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1567	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	#1567	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19255
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1567

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285294	C₂	semidirect
2. #20284181	C₂	semidirect
3. C₂×C₈×D₂₁₂	C₂	semidirect
4. #20274153	C₂	semidirect
5. #20274105	C₂	semidirect
6. #20274071	C₂	semidirect
7. #20273393	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1567	C₂	semidirect
13. #16811028	C₂²	semidirect
14. #16811000	C₂²	semidirect
15. #16810970	C₂²	semidirect
30. #16810370	C₂²	semidirect
31. #16810366	C₂²	semidirect
34. C₅₃×#335	C₂²	semidirect
35. C₅₃×#335	C₂²	semidirect
94. C₂×D₂₁₂	D₈	semidirect
169. C₈×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	semidirect
199. #1567	D₅₃	semidirect
230. #335	C₂×D₅₃	semidirect
231. #335	C₂×D₅₃	semidirect
234. C₅₃	#19255	semidirect
369. C₈	#13133245	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285294	2
#20284181	2
C₂×C₈×D₂₁₂	2
#20274153	2
#20274105	2
#20274071	2
#20273393	2
C₅₃×#1567	2
#19255	53