Subgroups — #27367910

Order 13568.

738 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285294	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20284807	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₈×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20274125	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274115	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274071	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20273411	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
10	#16811173	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16811028	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	#16810970	C₂²	1	2	yes	complemented
15	#16810942	—	2	2	no	—
16	#16810914	C₂²	1	4	yes	—
17	#16810859	—	2	1	no	—
18	#16810859	—	2	1	no	—
19	#16810819	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810759	—	2	2	no	—
21	#16810736	—	2	4	no	—
22	C₄×D₄₂₄	—	2	1	no	—
23	C₄×D₄₂₄	—	2	1	no	—
24	C₈×D₂₁₂	—	2	1	no	—
25	C₈×D₂₁₂	—	2	1	no	—
26	C₈×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
27	C₈×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#13133129	—	2	1	no	—
30	#16810371	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#16810366	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₅₃×#432	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#335	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₅₃×#334	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
37	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
39	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
40	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
41	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
42	C₂²×#88322	—	2	1	no	—
43	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
45	C₂×C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
46	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
47	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
48	#13133205	—	2	2	no	—
49	#13133191	—	2	2	no	—
50	#13133191	—	2	2	no	—
51	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
52	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
53	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
54	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
55	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
56	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
59	#13133151	—	2	1	no	—
60	#13133151	—	2	1	no	—
61	#13133149	—	2	4	no	—
62	C₄⋊#88322	—	2	1	no	—
63	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
64	#13133139	—	2	2	no	—
65	#13133139	—	2	2	no	—
66	#13133139	—	2	4	no	—
67	#13133139	—	2	4	no	—
68	#13133129	—	2	2	no	—
69	#13133129	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
86	#11719945	—	8	4	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
109	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	#11719921	—	2	2	no	—
111	#11719921	—	2	2	no	—
112	#11719921	—	4	2	no	—
113	#11719921	—	4	2	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×#88322	—	2	2	no	—
119	C₂×#88322	—	4	2	no	—
120	D₄₂₄	—	4	2	no	—
121	D₄₂₄	—	4	8	no	—
122	D₄₂₄	—	4	2	no	—
123	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
124	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
141	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
145	D₂₁₂	—	2	4	no	—
146	D₂₁₂	—	2	2	no	—
147	D₂₁₂	—	4	4	no	—
148	D₂₁₂	—	4	2	no	—
149	D₂₁₂	—	4	2	no	—
150	D₂₁₂	—	8	2	no	—
151	D₂₁₂	#135	1	4	yes	—
152	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
153	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
154	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
155	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
156	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
157	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
158	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
159	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
160	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
161	C₈×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
162	#88322	—	4	2	no	—
163	#19258	—	53	1	no	maximal, Sylow
164	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₅₃	#472	1	2	yes	—
167	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
168	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
169	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
170	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
171	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
172	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
173	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
174	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
175	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
176	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
177	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
178	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
179	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
180	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
182	Dic₅₃	—	4	2	no	—
183	Dic₅₃	—	8	2	no	—
184	#3169	—	53	1	no	—
185	#3109	—	53	2	no	—
186	C₂×C₈×D₄	—	53	1	no	—
187	#1677	—	53	4	no	—
188	#1675	—	53	2	no	—
189	#1667	—	53	2	no	—
190	#1568	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
191	#1551	—	53	2	no	—
192	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
193	C₂×C₅₃	#3036	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#3050	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	C₂×#472	1	1	yes	characteristic
196	D₅₃	—	4	4	no	—
197	D₅₃	—	16	2	no	—
198	C₂³×C₈	—	106	1	no	—
199	#532	—	53	2	no	—
200	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
201	#500	—	53	1	no	—
202	#493	—	53	1	no	—
203	#486	—	53	2	no	—
204	#481	—	106	2	no	—
205	#476	—	53	4	no	—
206	#466	—	106	1	no	—
207	#466	—	106	1	no	—
208	#459	—	53	4	no	—
209	#447	—	106	2	no	—
210	#442	—	106	4	no	—
211	C₄×D₈	—	106	1	no	—
212	C₄×D₈	—	106	1	no	—
213	C₈×D₄	—	53	2	no	—
214	C₈×D₄	—	53	2	no	—
215	C₈×D₄	—	106	1	no	—
216	C₈×D₄	—	106	1	no	—
217	#432	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
218	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
220	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#335	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
222	#334	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
223	#333	—	53	4	no	—
224	#331	—	53	4	no	—
225	C₅₃	#19258	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
226	C₂×#41	—	106	2	no	—
227	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
228	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
229	C₂×D₈	—	106	4	no	—
230	C₂×D₈	—	106	1	no	—
231	C₂×D₈	—	106	1	no	—
232	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
233	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
234	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
235	C₂²×C₈	—	212	4	no	—
236	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
238	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
239	#127	—	53	2	no	—
240	#124	—	106	2	no	—
241	#121	—	106	2	no	—
242	#121	—	106	2	no	—
243	C₄×D₄	—	53	2	no	—
244	C₄×D₄	—	53	2	no	—
245	C₄×D₄	—	106	1	no	—
246	C₄×D₄	—	106	2	no	—
247	C₄×D₄	—	106	2	no	—
248	C₄×D₄	—	106	1	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
250	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
251	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	#107	—	106	1	no	—
253	#107	—	106	1	no	—
254	#106	—	106	4	no	—
255	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
256	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
257	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
258	#102	—	106	4	no	—
259	#102	—	106	4	no	—
260	#102	—	106	2	no	—
261	#102	—	106	2	no	—
262	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
263	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
264	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
265	#97	—	2	2	no	—
266	C₄×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
267	C₄×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
268	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂⁴	—	106	1	no	—
271	#41	—	424	4	no	—
272	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
273	C₂×D₄	—	53	2	no	—
274	C₂×D₄	—	106	4	no	—
275	C₂×D₄	—	106	1	no	—
276	C₂×D₄	—	106	2	no	—
277	C₂×D₄	—	106	2	no	—
278	C₂×D₄	—	106	2	no	—
279	C₂×D₄	—	212	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
281	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
286	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	#11719949	1	1	yes	characteristic
289	D₈	—	212	2	no	—
290	D₈	—	212	8	no	—
291	D₈	—	212	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	4	1	no	—
295	C₂×C₈	—	106	2	no	—
296	C₂×C₈	—	212	4	no	—
297	C₂×C₈	—	212	2	no	—
298	C₂×C₈	—	212	4	no	—
299	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
303	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
305	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
311	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	#11719949	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	—	106	4	no	—
316	C₂³	—	106	2	no	—
317	C₂³	—	212	2	no	—
318	C₂³	—	212	2	no	—
319	C₂³	—	212	2	no	—
320	C₂³	#13133192	1	1	yes	characteristic
321	Q₈	—	424	2	no	—
322	D₄	—	53	4	no	—
323	D₄	—	106	4	no	—
324	D₄	—	106	2	no	—
325	D₄	—	424	2	no	—
326	D₄	—	424	4	no	—
327	D₄	—	212	4	no	—
328	D₄	—	212	2	no	—
329	D₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	106	2	no	—
335	C₂×C₄	—	424	4	no	—
336	C₂×C₄	—	212	4	no	—
337	C₂×C₄	—	212	2	no	—
338	C₂×C₄	—	212	2	no	—
339	C₂×C₄	—	212	2	no	—
340	C₂×C₄	—	212	2	no	—
341	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
347	C₈	—	2	1	no	—
348	C₈	—	2	1	no	—
349	C₈	—	2	1	no	—
350	C₈	—	4	4	no	—
351	C₈	—	212	2	no	—
352	C₈	#13133245	1	2	yes	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	106	4	no	—
356	C₂²	—	424	2	no	—
357	C₂²	—	424	2	no	—
358	C₂²	—	424	2	no	—
359	C₂²	—	212	8	no	—
360	C₂²	—	212	2	no	—
361	C₂²	—	212	2	no	—
362	C₂²	#16810894	1	2	yes	—
363	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
364	C₄	—	2	1	no	—
365	C₄	—	2	1	no	—
366	C₄	—	2	1	no	—
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	424	2	no	—
369	C₄	—	212	2	no	—
370	C₄	#135×D₅₃	1	2	yes	—
371	C₄	C₂×#13133245	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#16811423	1	1	yes	characteristic
373	C₂	—	2	2	no	—
374	C₂	—	848	2	no	—
375	C₂	—	212	4	no	—
376	C₂	#20284181	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20284297	1	1	yes	characteristic
378	C₂	C₂×#16810894	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133192
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1568	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	#1568	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19258
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1568

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285294	C₂	semidirect
2. #20284807	C₂	semidirect
3. C₂×C₈×D₂₁₂	C₂	semidirect
4. #20274125	C₂	semidirect
5. #20274115	C₂	semidirect
6. #20274071	C₂	semidirect
7. #20273411	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1568	C₂	semidirect
12. #16811028	C₂²	semidirect
13. #16811000	C₂²	semidirect
14. #16810970	C₂²	semidirect
30. #16810371	C₂²	semidirect
31. #16810366	C₂²	semidirect
34. C₅₃×#335	C₂²	semidirect
35. C₅₃×#334	C₂²	semidirect
190. #1568	D₅₃	semidirect
221. #335	C₂×D₅₃	semidirect
222. #334	C₂×D₅₃	semidirect
225. C₅₃	#19258	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285294	2
#20284807	2
C₂×C₈×D₂₁₂	2
#20274125	2
#20274115	2
#20274071	2
#20273411	2
C₅₃×#1568	2
#19258	53