Subgroups — #27368104

Order 13568.

766 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20284175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810702	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20274273	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274225	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274191	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20273471	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20273392	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133242	—	2	2	no	—
10	C₂²×#11719912	—	2	1	no	—
11	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16810835	—	2	4	no	—
13	#16810825	C₂²	1	4	yes	—
14	#16810815	C₂²	1	4	yes	—
15	#16810702	—	2	1	no	—
16	#16810702	—	2	1	no	—
17	#16810702	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810702	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810647	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810624	—	2	2	no	—
22	C₂×#13133129	—	2	1	no	—
23	#16810374	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#16810374	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#16810369	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#16810367	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₅₃×#532	C₂²	1	2	yes	—
28	C₅₃×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₅₃×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₅₃×#486	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₅₃×#466	—	2	1	no	—
32	C₅₃×#466	—	2	1	no	—
33	C₄×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
34	C₄×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
35	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
38	#13133242	—	4	8	no	—
39	C₂×#11719924	—	2	4	no	—
40	C₂×#11719922	—	2	4	no	—
41	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
42	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719912	—	4	4	no	—
45	C₂²×#88322	—	2	1	no	—
46	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
47	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
48	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
49	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
52	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
53	C₄⋊#88322	—	2	1	no	—
54	C₄⋊#88322	C₂³	1	4	yes	—
55	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
56	#13133141	—	2	4	no	—
57	#13133138	—	2	4	no	—
58	#13133129	—	2	2	no	—
59	#13133129	—	2	2	no	—
60	C₂×#41×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
62	C₂×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	#127×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
67	#124×C₅₃	—	2	2	no	—
68	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
69	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#107×C₅₃	—	2	1	no	—
74	#107×C₅₃	—	2	1	no	—
75	#102×C₅₃	—	2	2	no	—
76	#102×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
82	#41×C₅₃	—	4	4	no	—
83	#41×C₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
96	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
100	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
101	D₈×C₅₃	—	4	2	no	—
102	D₈×C₅₃	—	4	2	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
113	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
116	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	#11719924	—	4	8	no	—
118	#11719922	—	4	8	no	—
119	#11719921	—	2	2	no	—
120	#11719921	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
122	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	#11719917	—	4	4	no	—
124	C₂×#88322	—	2	2	no	—
125	C₂×#88322	—	2	4	no	—
126	C₂×#88322	—	4	2	no	—
127	#11719912	—	4	4	no	—
128	#11719912	—	4	4	no	—
129	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
135	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
136	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
137	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
138	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
140	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
142	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	D₂₁₂	—	2	4	no	—
158	D₂₁₂	—	4	2	no	—
159	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
160	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
161	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
162	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
163	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
164	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
165	C₈×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	complemented
166	#88322	—	4	2	no	—
167	#88322	—	4	4	no	—
168	#19280	—	53	1	no	maximal, Sylow
169	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
172	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
173	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
174	C₂²×C₅₃	#469	1	2	yes	—
175	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
176	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
177	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
178	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
179	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
180	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
181	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
182	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
183	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
184	C₄×C₅₃	#469	1	2	yes	—
185	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
186	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
187	C₄×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
188	Dic₅₃	—	4	2	no	—
189	#3169	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
190	#3036	—	53	2	no	—
191	C₂×#436	—	53	1	no	—
192	#1701	—	53	4	no	—
193	#1693	—	53	2	no	—
194	#1687	—	53	2	no	—
195	#1566	—	53	1	no	—
196	#1547	—	53	2	no	—
197	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
198	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
199	C₂×C₅₃	#3036	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₅₃	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₅₃	#3067	1	1	yes	characteristic
202	D₅₃	—	8	2	no	—
203	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	106	2	no	—
204	C₂²×M₁₆	—	106	1	no	—
205	#532	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
206	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
207	#500	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
208	#493	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
209	#486	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
210	#466	—	2	1	no	—
211	#466	—	2	1	no	—
212	#463	—	106	4	no	—
213	#461	—	53	4	no	—
214	#459	—	53	4	no	—
215	C₄×D₈	—	2	1	no	—
216	C₄×D₈	—	2	1	no	—
217	#436	—	53	2	no	—
218	#436	—	53	2	no	—
219	#436	—	106	1	no	—
220	#436	—	106	1	no	—
221	#423	—	53	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
223	#417	—	106	2	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
225	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	#334	—	53	2	no	—
227	#334	—	53	2	no	—
228	#332	—	53	4	no	—
229	#331	—	53	4	no	—
230	C₅₃	#19280	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
231	C₂×#41	—	2	2	no	—
232	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
233	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
234	AGL(1,ℤ/8)	—	212	8	no	—
235	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
236	C₂×D₈	—	2	1	no	—
237	C₂×D₈	—	2	1	no	—
238	C₂×D₈	—	106	4	no	—
239	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
240	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
241	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
242	C₂×M₁₆	—	212	4	no	—
243	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
244	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
247	#127	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
248	#124	—	2	2	no	—
249	#121	—	2	2	no	—
250	#121	—	2	2	no	—
251	C₄×D₄	—	2	2	no	—
252	C₄×D₄	—	2	2	no	—
253	C₄×D₄	—	53	2	no	—
254	C₄×D₄	—	53	2	no	—
255	C₄×D₄	—	106	1	no	—
256	C₄×D₄	—	106	1	no	—
257	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
258	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
259	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	#107	—	2	1	no	—
261	#107	—	2	1	no	—
262	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
263	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
264	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
265	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
266	#103	—	106	4	no	—
267	#102	—	2	2	no	—
268	#102	—	2	2	no	—
269	#102	—	106	4	no	—
270	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
271	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
272	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	C₂⁴	—	106	1	no	—
277	#41	—	4	4	no	—
278	#41	—	4	4	no	—
279	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
280	C₂×D₄	—	2	2	no	—
281	C₂×D₄	—	2	2	no	—
282	C₂×D₄	—	2	2	no	—
283	C₂×D₄	—	4	2	no	—
284	C₂×D₄	—	53	2	no	—
285	C₂×D₄	—	106	1	no	—
286	C₂×D₄	—	106	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
289	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
293	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	#11719947	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
296	SD₁₆	—	212	8	no	—
297	D₈	—	4	2	no	—
298	D₈	—	4	2	no	—
299	D₈	—	212	8	no	—
300	M₁₆	—	212	4	no	—
301	M₁₆	—	212	4	no	—
302	M₁₆	—	212	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	1	no	—
305	C₂×C₈	—	106	4	no	—
306	C₂×C₈	—	106	2	no	—
307	C₂×C₈	—	212	2	no	—
308	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
320	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	#11719947	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	—	4	2	no	—
325	C₂³	—	106	2	no	—
326	C₂³	—	212	2	no	—
327	C₂³	—	212	2	no	—
328	C₂³	—	212	2	no	—
329	C₂³	#13133188	1	1	yes	characteristic
330	Q₈	—	4	2	no	—
331	Q₈	—	4	2	no	—
332	D₄	—	4	2	no	—
333	D₄	—	4	2	no	—
334	D₄	—	4	2	no	—
335	D₄	—	4	2	no	—
336	D₄	—	8	2	no	—
337	D₄	—	8	4	no	—
338	D₄	—	106	4	no	—
339	D₄	—	212	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	1	no	—
341	C₂×C₄	—	2	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	4	no	—
345	C₂×C₄	—	106	2	no	—
346	C₂×C₄	—	212	4	no	—
347	C₂×C₄	—	212	2	no	—
348	C₂×C₄	—	212	2	no	—
349	C₂×C₄	—	212	2	no	—
350	C₂×C₄	#13133188	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#13133188	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#13133188	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#13133241	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
357	C₈	—	2	1	no	—
358	C₈	—	2	1	no	—
359	C₈	—	2	1	no	—
360	C₈	—	212	4	no	—
361	C₈	—	212	2	no	—
362	C₈	#13133242	1	2	yes	complemented
363	C₂²	—	2	1	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	8	2	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	424	4	no	—
369	C₂²	—	212	2	no	—
370	C₂²	—	212	2	no	—
371	C₂²	—	212	2	no	—
372	C₂²	#16810873	1	2	yes	—
373	C₂²	C₂×#13133188	1	1	yes	characteristic
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	2	1	no	—
377	C₄	—	8	2	no	—
378	C₄	—	212	2	no	—
379	C₄	#16810873	1	2	yes	—
380	C₄	C₂×#13133241	1	2	yes	—
381	C₄	C₂×#13133242	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#16811421	1	1	yes	characteristic
383	C₂	—	2	2	no	—
384	C₂	—	16	2	no	—
385	C₂	—	424	2	no	—
386	C₂	#20284175	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂×#16810873	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#20284431	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133188
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3169	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	#3169	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19280
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #3169

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20284175	C₂	semidirect
2. C₂×#16810702	C₂	semidirect
3. #20274273	C₂	semidirect
4. #20274225	C₂	semidirect
5. #20274191	C₂	semidirect
6. #20273471	C₂	semidirect
7. #20273392	C₂	semidirect
8. C₅₃×#3169	C₂	semidirect
23. #16810374	C₂²	semidirect
24. #16810374	C₂²	semidirect
25. #16810369	C₂²	semidirect
26. #16810367	C₂²	semidirect
28. C₅₃×#500	C₂²	semidirect
29. C₅₃×#493	C₂²	semidirect
30. C₅₃×#486	C₂²	semidirect
165. C₈×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	semidirect
189. #3169	D₅₃	semidirect
207. #500	C₂×D₅₃	semidirect
208. #493	C₂×D₅₃	semidirect
209. #486	C₂×D₅₃	semidirect
230. C₅₃	#19280	semidirect
362. C₈	#13133242	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20284175	2
C₂×#16810702	2
#20274273	2
#20274225	2
#20274191	2
#20273471	2
#20273392	2
C₅₃×#3169	2
#19280	53