Subgroups — #27369311

Order 13568.

674 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285861	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20284514	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810829	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20283738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20274139	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274091	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20273388	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20273373	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1570	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#11719913	—	2	1	no	—
11	#16811180	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811021	C₂²	1	2	yes	complemented
15	#16810974	C₂²	1	2	yes	complemented
16	#16810954	—	2	2	no	—
17	#16810924	—	2	2	no	—
18	#16810914	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810909	—	2	2	no	—
20	#16810904	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810829	—	2	2	no	—
22	#16810829	C₂²	1	4	yes	—
23	C₈×D₂₁₂	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810688	—	2	2	no	—
25	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810665	—	2	1	no	—
27	#16810629	—	2	1	no	—
28	C₂×#13133142	—	2	1	no	—
29	C₂²⋊C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
30	#16810371	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#16810370	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#16810368	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₅₃×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₅₃×#334	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
38	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
40	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
41	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
42	C₂×C₈×D₅₃	—	2	4	no	—
43	#13133217	—	2	1	no	—
44	#13133217	—	2	1	no	—
45	#13133217	—	2	1	no	—
46	#13133217	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
48	#13133217	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#13133209	—	2	1	no	—
50	#13133196	—	2	1	no	—
51	#13133196	—	2	1	no	—
52	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
53	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
54	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
55	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
56	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
57	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
58	#13133176	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
63	#13133151	—	2	2	no	—
64	#13133149	—	2	4	no	—
65	#13133149	—	2	2	no	—
66	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
67	#13133142	—	2	4	no	—
68	#13133142	—	2	4	no	—
69	#13133139	—	2	2	no	—
70	#13133139	—	2	2	no	—
71	C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
72	#13133129	—	2	4	no	—
73	C₄×#88322	—	2	1	no	—
74	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
75	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
78	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
79	C₄⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
80	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
81	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
83	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	SD₁₆	1	4	yes	—
93	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
103	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
111	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
113	#11719921	—	2	2	no	—
114	#11719921	—	2	2	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
122	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
123	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	#11719919	—	4	1	no	—
126	#11719919	—	4	1	no	—
127	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
128	C₂×#88322	—	2	2	no	—
129	#11719913	—	4	8	no	—
130	C₈×D₅₃	—	8	4	no	—
131	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	8	1	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	8	1	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
146	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	8	1	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
152	D₂₁₂	—	2	2	no	—
153	D₂₁₂	—	2	4	no	—
154	D₂₁₂	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
155	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
156	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
157	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
158	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
159	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
160	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
161	Dic₁₀₆	—	8	1	no	—
162	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
163	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
164	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
165	#88322	—	4	2	no	—
166	#19390	—	53	1	no	maximal, Sylow
167	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₅₃	#465	1	2	yes	—
170	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
171	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
172	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
174	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
175	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
176	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
177	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
178	C₄×C₅₃	#465	1	2	yes	—
179	C₄×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	#577	1	2	yes	—
182	Dic₅₃	—	4	2	no	—
183	Dic₅₃	—	8	1	no	—
184	Dic₅₃	—	8	2	no	—
185	Dic₅₃	—	8	1	no	—
186	#3229	—	53	1	no	—
187	#3077	—	53	1	no	—
188	C₂×#461	—	53	1	no	—
189	#2972	—	53	1	no	—
190	#1679	—	53	4	no	—
191	#1671	—	53	4	no	—
192	#1570	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
193	#1546	—	53	1	no	—
194	#1542	—	53	1	no	—
195	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
196	C₂×C₅₃	#3042	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	#3069	1	1	yes	characteristic
199	D₅₃	—	4	4	no	—
200	C₂²×SD₁₆	—	106	1	no	—
201	#533	—	53	1	no	—
202	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
203	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
204	#498	—	53	2	no	—
205	#487	—	53	2	no	—
206	#483	—	106	2	no	—
207	#478	—	106	2	no	—
208	#476	—	53	2	no	—
209	#475	—	106	2	no	—
210	#474	—	53	2	no	—
211	#461	—	53	4	no	—
212	#461	—	106	2	no	—
213	C₈×D₄	—	53	4	no	—
214	C₈×D₄	—	106	2	no	—
215	#431	—	53	1	no	—
216	#431	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	#428	—	106	1	no	—
218	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	#418	—	106	1	no	—
221	C₂×#103	—	106	1	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
223	#334	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
224	#333	—	53	2	no	—
225	#332	—	53	2	no	—
226	#332	—	53	4	no	—
227	C₅₃	#19390	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
228	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
229	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
230	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
231	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
232	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
233	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
236	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
237	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
238	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
239	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
240	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
241	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
242	#125	—	106	1	no	—
243	C₂²⋊Q₈	—	106	1	no	—
244	C₂²⋊Q₈	—	106	1	no	—
245	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
246	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
247	C₄×D₄	—	53	2	no	—
248	C₄×D₄	—	53	2	no	—
249	C₄×D₄	—	106	1	no	—
250	C₄×D₄	—	106	1	no	—
251	#117	—	106	1	no	—
252	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
253	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
254	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
255	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
256	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	#107	—	106	2	no	—
258	#106	—	106	2	no	—
259	#106	—	106	4	no	—
260	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
261	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
262	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
263	C₄⋊C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
264	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
265	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
266	#103	—	106	4	no	—
267	#103	—	106	4	no	—
268	#102	—	106	2	no	—
269	#102	—	106	2	no	—
270	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
271	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
272	C₂²⋊C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
273	C₄×C₈	—	106	1	no	—
274	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
275	C₂⁴	—	106	1	no	—
276	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
277	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
278	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
279	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
280	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
281	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
282	C₂×D₄	—	53	4	no	—
283	C₂×D₄	—	53	2	no	—
284	C₂×D₄	—	106	1	no	—
285	C₂×D₄	—	106	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
287	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
291	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	#11719949	1	1	yes	characteristic
294	SD₁₆	—	212	8	no	—
295	M₁₆	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	106	2	no	—
300	C₂×C₈	—	424	4	no	—
301	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
302	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
304	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
305	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
306	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
308	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
310	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
311	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
312	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
313	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
317	C₄²	—	212	1	no	—
318	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	#11719949	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	—	106	4	no	—
323	C₂³	—	106	2	no	—
324	C₂³	—	424	1	no	—
325	C₂³	—	424	1	no	—
326	C₂³	#13133192	1	1	yes	characteristic
327	Q₈	—	424	1	no	—
328	Q₈	—	424	2	no	—
329	Q₈	—	212	2	no	—
330	Q₈	—	212	2	no	—
331	Q₈	—	212	2	no	—
332	D₄	—	53	4	no	—
333	D₄	—	106	4	no	—
334	D₄	—	106	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	106	2	no	—
338	C₂×C₄	—	424	2	no	—
339	C₂×C₄	—	424	2	no	—
340	C₂×C₄	—	424	1	no	—
341	C₂×C₄	—	212	1	no	—
342	C₂×C₄	—	212	1	no	—
343	C₂×C₄	—	212	2	no	—
344	C₂×C₄	—	212	4	no	—
345	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	SD₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#13133238	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
353	C₈	—	2	4	no	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₈	—	4	2	no	—
356	C₈	—	212	2	no	—
357	C₂²	—	2	1	no	—
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	106	4	no	—
360	C₂²	—	424	4	no	—
361	C₂²	—	212	2	no	—
362	C₂²	—	212	2	no	—
363	C₂²	#16810853	1	2	yes	—
364	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
365	C₄	—	2	1	no	—
366	C₄	—	2	1	no	—
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	424	1	no	—
369	C₄	—	424	1	no	—
370	C₄	—	424	2	no	—
371	C₄	—	212	2	no	—
372	C₄	#16810853	1	2	yes	—
373	C₄	C₂×SD₁₆×D₅₃	1	1	yes	characteristic
374	C₄	C₂×#13133238	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#16811435	1	2	yes	—
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	212	4	no	—
378	C₂	#20284228	1	1	yes	characteristic
379	C₂	C₂×#16810853	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#20284453	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133192
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1570	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	C₂²×D₂₁₂	D₄
hypercenter	#1570	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19390
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1570

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285861	C₂	semidirect
5. #20274139	C₂	semidirect
6. #20274091	C₂	semidirect
7. #20273388	C₂	semidirect
8. #20273373	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1570	C₂	semidirect
14. #16811021	C₂²	semidirect
15. #16810974	C₂²	semidirect
30. #16810371	C₂²	semidirect
31. #16810370	C₂²	semidirect
32. #16810368	C₂²	semidirect
36. C₅₃×#334	C₂²	semidirect
192. #1570	D₅₃	semidirect
223. #334	C₂×D₅₃	semidirect
227. C₅₃	#19390	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285861	2
#20284514	2
C₂×#16810829	2
#20283738	2
#20274139	2
#20274091	2
#20273388	2
#20273373	2
C₅₃×#1570	2
#19390	53