Subgroups — #27369331

Order 13568.

728 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285833	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20284175	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810829	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20283738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20274151	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274103	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20273489	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20273386	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133242	—	2	1	no	—
11	C₂²×#11719913	—	2	1	no	—
12	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811026	C₂²	1	2	yes	complemented
15	#16810969	C₂²	1	2	yes	complemented
16	#16810934	—	2	2	no	—
17	#16810903	—	2	2	no	—
18	#16810835	—	2	2	no	—
19	#16810829	—	2	2	no	—
20	#16810829	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810825	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810815	C₂²	1	2	yes	—
23	C₈×D₂₁₂	—	2	2	no	—
24	#16810688	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810624	—	2	1	no	—
28	C₂×#13133142	—	2	1	no	—
29	C₂²⋊C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
30	#16810375	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#16810368	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₅₃×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#332	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₅₃×#331	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
38	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
40	#13133242	—	4	4	no	—
41	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
42	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
43	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
45	C₂×#11719917	—	2	1	no	—
46	C₂×C₈×D₅₃	—	2	4	no	—
47	#13133217	—	2	1	no	—
48	#13133217	—	2	1	no	—
49	#13133217	—	2	1	no	—
50	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
51	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
52	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
53	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
54	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
59	#13133150	—	2	4	no	—
60	C₄⋊#88322	—	2	1	no	—
61	C₄⋊#88322	D₄	1	2	yes	—
62	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
63	#13133142	—	2	4	no	—
64	#13133141	—	2	2	no	—
65	#13133138	—	2	2	no	—
66	#13133138	—	2	4	no	—
67	C₂²⋊#88322	D₄	1	2	yes	—
68	#13133129	—	2	4	no	—
69	C₄×#88322	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#41×C₅₃	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
72	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#127×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#124×C₅₃	—	2	1	no	—
75	#121×C₅₃	—	2	1	no	—
76	#121×C₅₃	—	2	1	no	—
77	C₄×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
78	C₄×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
82	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
85	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
86	#41×C₅₃	—	4	2	no	—
87	#41×C₅₃	—	4	2	no	—
88	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
89	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
90	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
91	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
92	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
98	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
101	C₂×D₂₁₂	D₈	1	4	yes	—
102	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
106	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
109	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
110	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
115	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
116	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
117	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
120	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	#11719924	—	4	4	no	—
122	#11719922	—	4	4	no	—
123	#11719921	—	2	2	no	—
124	#11719921	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
126	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
129	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
130	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	#11719917	—	4	2	no	—
132	C₂×#88322	—	2	2	no	—
133	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	#11719913	—	4	8	no	—
135	C₈×D₅₃	—	8	4	no	—
136	C₂³×C₅₃	—	4	1	no	—
137	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂²×D₅₃	—	8	1	no	—
141	C₂²×D₅₃	—	8	1	no	—
142	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
143	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
144	D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
145	D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
146	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
147	D₄×C₅₃	—	8	1	no	—
148	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
157	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
158	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
161	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×Dic₅₃	—	8	1	no	—
164	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
165	D₂₁₂	—	2	2	no	—
166	D₂₁₂	—	2	4	no	—
167	D₂₁₂	C₂×D₈	1	4	yes	—
168	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
169	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
170	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
171	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
172	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
173	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
174	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
175	#88322	—	2	4	no	—
176	#88322	—	4	2	no	—
177	#19392	—	53	1	no	maximal, Sylow
178	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₅₃	—	8	1	no	—
181	C₂²×C₅₃	—	8	1	no	—
182	C₂²×C₅₃	—	8	1	no	—
183	C₂²×C₅₃	#466	1	2	yes	—
184	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
185	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
186	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
187	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
188	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
189	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
190	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
191	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
192	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
193	C₄×C₅₃	#466	1	2	yes	—
194	C₄×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
195	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₅₃	#577	1	2	yes	—
197	Dic₅₃	—	4	2	no	—
198	Dic₅₃	—	8	2	no	—
199	#3226	—	53	1	no	—
200	#3036	—	53	1	no	—
201	C₂×#461	—	53	1	no	—
202	#2972	—	53	1	no	—
203	#1681	—	53	4	no	—
204	#1673	—	53	4	no	—
205	#1571	—	53	1	no	—
206	#1546	—	53	1	no	—
207	#1540	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
208	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
209	C₂×C₅₃	—	16	1	no	—
210	C₂×C₅₃	#3042	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₅₃	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₅₃	#3069	1	1	yes	characteristic
213	D₅₃	—	4	4	no	—
214	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	106	1	no	—
215	C₂²×SD₁₆	—	106	1	no	—
216	#532	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
218	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
219	#500	—	53	2	no	—
220	#486	—	53	2	no	—
221	#480	—	106	2	no	—
222	#474	—	106	2	no	—
223	#463	—	106	2	no	—
224	#461	—	53	2	no	—
225	#461	—	53	4	no	—
226	#461	—	106	2	no	—
227	#459	—	53	2	no	—
228	C₈×D₄	—	53	4	no	—
229	C₈×D₄	—	106	2	no	—
230	#431	—	53	1	no	—
231	#431	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	#423	—	53	1	no	—
233	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	#417	—	106	1	no	—
235	C₂×#103	—	106	1	no	—
236	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
237	#335	—	53	4	no	—
238	#332	—	53	4	no	—
239	#332	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
240	#331	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
241	C₅₃	#19392	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
242	C₂×#41	—	2	1	no	—
243	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
244	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
245	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
246	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
247	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
248	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
249	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
250	C₂×D₈	—	106	2	no	—
251	C₂×M₁₆	—	106	1	no	—
252	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
254	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
255	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
256	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
257	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
258	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	#127	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	#124	—	2	1	no	—
261	#121	—	2	1	no	—
262	#121	—	2	1	no	—
263	C₄×D₄	—	2	1	no	—
264	C₄×D₄	—	2	1	no	—
265	C₄×D₄	—	53	2	no	—
266	C₄×D₄	—	53	2	no	—
267	C₄×D₄	—	106	1	no	—
268	C₄×D₄	—	106	1	no	—
269	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
270	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
271	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
272	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
273	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	#107	—	106	4	no	—
275	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
276	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
277	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
278	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
279	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
281	#103	—	106	4	no	—
282	#103	—	106	2	no	—
283	#102	—	106	2	no	—
284	#102	—	106	4	no	—
285	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
286	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
287	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
288	C₄×C₈	—	2	1	no	—
289	C₄×C₈	—	53	2	no	—
290	C₂⁴	—	106	1	no	—
291	#41	—	4	2	no	—
292	#41	—	4	2	no	—
293	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
294	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
295	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
296	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
297	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
298	C₂×D₄	—	2	1	no	—
299	C₂×D₄	—	2	1	no	—
300	C₂×D₄	—	2	1	no	—
301	C₂×D₄	—	4	1	no	—
302	C₂×D₄	—	53	4	no	—
303	C₂×D₄	—	53	2	no	—
304	C₂×D₄	—	106	1	no	—
305	C₂×D₄	—	106	2	no	—
306	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
307	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
308	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
309	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
310	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
311	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
312	C₂²×C₄	#11719945	1	1	yes	characteristic
313	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
314	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
315	SD₁₆	—	212	8	no	—
316	SD₁₆	—	212	4	no	—
317	D₈	—	212	4	no	—
318	M₁₆	—	212	2	no	—
319	C₂×C₈	—	2	2	no	—
320	C₂×C₈	—	2	2	no	—
321	C₂×C₈	—	4	2	no	—
322	C₂×C₈	—	53	4	no	—
323	C₂×C₈	—	106	2	no	—
324	C₂×C₈	—	424	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
326	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
327	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
328	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
329	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
330	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
332	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
337	C₄²	#11719945	1	1	yes	characteristic
338	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
339	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
340	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	—	4	1	no	—
342	C₂³	—	106	4	no	—
343	C₂³	—	106	2	no	—
344	C₂³	—	424	1	no	—
345	C₂³	—	424	1	no	—
346	C₂³	#13133190	1	1	yes	characteristic
347	Q₈	—	4	1	no	—
348	Q₈	—	4	1	no	—
349	Q₈	—	424	2	no	—
350	Q₈	—	212	2	no	—
351	Q₈	—	212	2	no	—
352	D₄	—	4	1	no	—
353	D₄	—	4	1	no	—
354	D₄	—	4	2	no	—
355	D₄	—	8	1	no	—
356	D₄	—	8	2	no	—
357	D₄	—	53	4	no	—
358	D₄	—	106	4	no	—
359	D₄	—	106	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	106	2	no	—
365	C₂×C₄	—	424	2	no	—
366	C₂×C₄	—	424	2	no	—
367	C₂×C₄	—	424	1	no	—
368	C₂×C₄	—	212	2	no	—
369	C₂×C₄	—	212	4	no	—
370	C₂×C₄	#13133190	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#13133190	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#13133190	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#13133238	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
378	C₈	—	4	2	no	—
379	C₈	—	4	2	no	—
380	C₈	—	106	4	no	—
381	C₈	—	212	2	no	—
382	C₂²	—	2	1	no	—
383	C₂²	—	2	1	no	—
384	C₂²	—	8	1	no	—
385	C₂²	—	8	1	no	—
386	C₂²	—	8	1	no	—
387	C₂²	—	106	4	no	—
388	C₂²	—	424	4	no	—
389	C₂²	—	212	2	no	—
390	C₂²	—	212	2	no	—
391	C₂²	#16810858	1	2	yes	—
392	C₂²	C₂×#13133190	1	1	yes	characteristic
393	C₄	—	2	1	no	—
394	C₄	—	2	1	no	—
395	C₄	—	2	1	no	—
396	C₄	—	8	1	no	—
397	C₄	—	424	2	no	—
398	C₄	—	212	2	no	—
399	C₄	#16810858	1	2	yes	—
400	C₄	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
401	C₄	C₂×#13133238	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#16811430	1	2	yes	—
403	C₂	—	2	2	no	—
404	C₂	—	16	1	no	—
405	C₂	—	212	4	no	—
406	C₂	#20284230	1	1	yes	characteristic
407	C₂	C₂×#16810858	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#20284455	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133190
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1540	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	#20284175	C₂
hypercenter	#1540	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19392
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1540

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285833	C₂	semidirect
3. C₂×#16810829	C₂	semidirect
4. #20283738	C₂	semidirect
5. #20274151	C₂	semidirect
6. #20274103	C₂	semidirect
7. #20273489	C₂	semidirect
8. #20273386	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1540	C₂	semidirect
14. #16811026	C₂²	semidirect
15. #16810969	C₂²	semidirect
30. #16810375	C₂²	semidirect
31. #16810368	C₂²	semidirect
35. C₅₃×#332	C₂²	semidirect
36. C₅₃×#331	C₂²	semidirect
207. #1540	D₅₃	semidirect
239. #332	C₂×D₅₃	semidirect
240. #331	C₂×D₅₃	semidirect
241. C₅₃	#19392	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285833	2
#20284175	2
C₂×#16810829	2
#20283738	2
#20274151	2
#20274103	2
#20273489	2
#20273386	2
C₅₃×#1540	2
#19392	53