Subgroups — #27369387

Order 13568.

740 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 416 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285635	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20284189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20283795	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20274160	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274076	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20273384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20273365	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1571	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133250	—	2	1	no	—
11	C₂²×#11719913	—	2	1	no	—
12	#16811173	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16811000	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810970	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810846	—	2	2	no	—
18	#16810834	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#16810824	—	2	2	no	—
20	#16810824	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810824	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#16810819	—	2	2	no	—
23	#16810759	—	2	2	no	—
24	C₈×Dic₁₀₆	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#16810747	—	2	2	no	—
26	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810673	—	2	2	no	—
28	#16810625	—	2	1	no	—
29	C₂×#13133139	—	2	1	no	—
30	#16810370	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#16810366	C₂²	1	4	yes	—
32	#16810366	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₅₃×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₅₃×#335	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂×#11719945	—	2	1	no	—
38	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
40	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
41	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
42	#13133250	—	4	4	no	—
43	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
45	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
46	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
47	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
48	#13133217	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#13133214	—	2	1	no	—
50	#13133214	—	2	1	no	—
51	#13133214	—	2	1	no	—
52	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
53	#13133214	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#13133205	—	2	1	no	—
55	#13133191	—	2	1	no	—
56	#13133191	—	2	1	no	—
57	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
58	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
59	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	2	yes	—
60	C₄×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
62	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
66	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
67	#13133146	—	2	4	no	—
68	#13133142	—	2	2	no	—
69	#13133139	—	2	4	no	—
70	#13133139	—	2	4	no	—
71	#13133139	—	2	2	no	—
72	C₂²⋊#88322	—	2	1	no	—
73	C₄×#88322	—	2	1	no	—
74	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
76	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
79	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₄⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
81	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
82	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
84	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	1	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
92	#11719945	—	4	2	no	—
93	#11719945	—	4	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	8	2	no	—
106	C₂×D₂₁₂	—	8	2	no	—
107	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
109	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
110	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
111	C₂×Dic₁₀₆	D₈	1	4	yes	complemented
112	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
114	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
117	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
121	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	#11719921	—	4	1	no	—
123	#11719921	—	4	1	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
126	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
127	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	#11719919	—	2	2	no	—
129	#11719919	—	2	2	no	—
130	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×#88322	—	2	2	no	—
133	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
134	D₄₂₄	—	8	4	no	—
135	#11719913	—	4	8	no	—
136	#11719913	—	4	4	no	—
137	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
139	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
141	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
142	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
153	C₂²⋊D₅₃	—	8	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	8	1	no	—
159	D₂₁₂	—	4	2	no	—
160	D₂₁₂	—	4	1	no	—
161	D₂₁₂	—	4	2	no	—
162	D₂₁₂	—	4	1	no	—
163	D₂₁₂	—	4	4	no	—
164	D₂₁₂	—	4	2	no	—
165	D₂₁₂	—	8	1	no	—
166	D₂₁₂	—	8	2	no	—
167	D₂₁₂	—	8	2	no	—
168	D₂₁₂	—	8	2	no	—
169	D₂₁₂	—	8	2	no	—
170	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
171	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
172	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
173	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
174	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
175	Dic₁₀₆	C₂×D₈	1	4	yes	—
176	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
177	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
178	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
179	#88322	—	4	2	no	—
180	#19398	—	53	1	no	maximal, Sylow
181	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₅₃	#466	1	2	yes	—
184	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
185	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
186	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
187	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
188	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
189	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
190	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
191	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
192	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
193	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
194	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
195	C₄×C₅₃	#466	1	2	yes	—
196	C₄×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₅₃	#577	1	2	yes	—
199	Dic₅₃	—	2	4	no	—
200	Dic₅₃	—	4	2	no	—
201	Dic₅₃	—	8	1	no	—
202	#3205	—	53	1	no	—
203	#3037	—	53	1	no	—
204	C₂×#460	—	53	1	no	—
205	#2982	—	53	1	no	—
206	#1682	—	53	4	no	—
207	#1668	—	53	4	no	—
208	#1571	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
209	#1545	—	53	1	no	—
210	#1540	—	53	1	no	—
211	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
212	C₂×C₅₃	#3043	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₅₃	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₅₃	#3068	1	1	yes	characteristic
215	D₅₃	—	16	1	no	—
216	D₅₃	—	16	2	no	—
217	C₂×#137	—	106	1	no	—
218	C₂²×SD₁₆	—	106	1	no	—
219	#532	—	53	1	no	—
220	C₂×#127	—	53	1	no	—
221	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
222	#493	—	53	2	no	—
223	#486	—	53	2	no	—
224	#464	—	106	2	no	—
225	#462	—	53	2	no	—
226	#460	—	53	4	no	—
227	#460	—	53	2	no	—
228	#460	—	106	2	no	—
229	#459	—	106	2	no	—
230	#447	—	106	2	no	—
231	C₈×Q₈	—	53	4	no	—
232	C₈×Q₈	—	106	2	no	—
233	#431	—	53	1	no	—
234	#431	—	106	2	no	—
235	#431	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#417	—	106	1	no	—
239	C₂×#102	—	106	1	no	—
240	#335	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
241	#332	—	53	2	no	—
242	#331	—	53	2	no	—
243	#331	—	53	4	no	—
244	C₅₃	#19398	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
245	C₂×#41	—	106	1	no	—
246	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
247	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
248	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
249	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
250	#137	—	212	4	no	—
251	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
252	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
253	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
254	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
255	C₂×D₈	—	106	4	no	—
256	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
257	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
258	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
259	#127	—	53	2	no	—
260	#127	—	53	1	no	—
261	#127	—	106	1	no	—
262	#127	—	106	1	no	—
263	#127	—	106	1	no	—
264	#124	—	106	1	no	—
265	#121	—	106	1	no	—
266	#121	—	106	1	no	—
267	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
268	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
269	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
270	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
271	C₄×D₄	—	106	1	no	—
272	C₄×D₄	—	106	1	no	—
273	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
274	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
275	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
276	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
278	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
279	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
280	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
281	C₄⋊C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
282	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
283	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
284	#103	—	106	2	no	—
285	#102	—	106	4	no	—
286	#102	—	106	2	no	—
287	#102	—	106	4	no	—
288	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
289	C₂²⋊C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
290	C₄×C₈	—	106	4	no	—
291	C₄×C₈	—	106	1	no	—
292	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
293	C₂⁴	—	212	1	no	—
294	#41	—	212	2	no	—
295	#41	—	212	2	no	—
296	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
297	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
298	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
299	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
300	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
301	C₂×D₄	—	106	1	no	—
302	C₂×D₄	—	106	2	no	—
303	C₂×D₄	—	106	2	no	—
304	C₂×D₄	—	106	1	no	—
305	C₂×D₄	—	106	1	no	—
306	C₂×D₄	—	106	2	no	—
307	C₂×D₄	—	424	2	no	—
308	C₂×D₄	—	424	2	no	—
309	C₂×D₄	—	212	1	no	—
310	C₂×D₄	—	212	1	no	—
311	C₂×D₄	—	212	1	no	—
312	C₂×D₄	—	212	1	no	—
313	C₂×D₄	—	212	2	no	—
314	C₂×D₄	—	212	2	no	—
315	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
316	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
317	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
318	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
319	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	C₂²×C₄	#11719949	1	1	yes	characteristic
321	Q₁₆	—	212	4	no	—
322	SD₁₆	—	212	8	no	—
323	SD₁₆	—	212	4	no	—
324	D₈	—	424	4	no	—
325	M₁₆	—	4	2	no	—
326	C₂×C₈	—	2	2	no	—
327	C₂×C₈	—	2	2	no	—
328	C₂×C₈	—	4	2	no	—
329	C₂×C₈	—	106	2	no	—
330	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
331	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
332	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
333	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
334	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
335	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
336	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
339	C₄²	—	106	2	no	—
340	C₄²	—	106	2	no	—
341	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
342	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
343	C₄²	#11719949	1	1	yes	characteristic
344	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	—	424	2	no	—
346	C₂³	—	424	2	no	—
347	C₂³	—	424	2	no	—
348	C₂³	—	212	1	no	—
349	C₂³	—	212	2	no	—
350	C₂³	#13133192	1	1	yes	characteristic
351	Q₈	—	53	4	no	—
352	Q₈	—	106	4	no	—
353	Q₈	—	106	2	no	—
354	Q₈	—	212	1	no	—
355	Q₈	—	212	1	no	—
356	D₄	—	424	1	no	—
357	D₄	—	424	2	no	—
358	D₄	—	424	2	no	—
359	D₄	—	424	2	no	—
360	D₄	—	424	2	no	—
361	D₄	—	424	2	no	—
362	D₄	—	212	2	no	—
363	D₄	—	212	1	no	—
364	D₄	—	212	2	no	—
365	D₄	—	212	1	no	—
366	D₄	—	212	2	no	—
367	D₄	—	212	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	1	no	—
370	C₂×C₄	—	106	4	no	—
371	C₂×C₄	—	106	2	no	—
372	C₂×C₄	—	106	2	no	—
373	C₂×C₄	—	424	2	no	—
374	C₂×C₄	—	424	1	no	—
375	C₂×C₄	—	212	1	no	—
376	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#13133240	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
384	C₈	—	2	4	no	—
385	C₈	—	4	2	no	—
386	C₈	—	4	2	no	—
387	C₈	—	212	2	no	—
388	C₂²	—	2	1	no	—
389	C₂²	—	2	1	no	—
390	C₂²	—	848	4	no	—
391	C₂²	—	424	2	no	—
392	C₂²	—	424	1	no	—
393	C₂²	—	424	2	no	—
394	C₂²	—	424	1	no	—
395	C₂²	—	424	1	no	—
396	C₂²	—	424	2	no	—
397	C₂²	#16810860	1	2	yes	—
398	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	2	1	no	—
401	C₄	—	2	1	no	—
402	C₄	—	106	4	no	—
403	C₄	—	424	1	no	—
404	C₄	—	212	2	no	—
405	C₄	#16810860	1	2	yes	—
406	C₄	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
407	C₄	C₂×#13133240	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#16811435	1	2	yes	—
409	C₂	—	2	2	no	—
410	C₂	—	848	2	no	—
411	C₂	—	848	1	no	—
412	C₂	#20284237	1	1	yes	characteristic
413	C₂	C₂×#16810860	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#20284444	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133192
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1571	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	#20285635	C₂
hypercenter	#1571	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19398
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1571

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20284189	C₂	semidirect
3. C₂×#16810824	C₂	semidirect
4. #20283795	C₂	semidirect
5. #20274160	C₂	semidirect
6. #20274076	C₂	semidirect
7. #20273384	C₂	semidirect
8. #20273365	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1571	C₂	semidirect
18. #16810834	C₂²	semidirect
21. #16810824	C₂²	semidirect
24. C₈×Dic₁₀₆	C₂²	semidirect
30. #16810370	C₂²	semidirect
32. #16810366	C₂²	semidirect
36. C₅₃×#335	C₂²	semidirect
111. C₂×Dic₁₀₆	D₈	semidirect
208. #1571	D₅₃	semidirect
240. #335	C₂×D₅₃	semidirect
244. C₅₃	#19398	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285635	2
#20284189	2
C₂×#16810824	2
#20283795	2
#20274160	2
#20274076	2
#20273384	2
#20273365	2
C₅₃×#1571	2
#19398	53