Subgroups — #27369631

Order 13568.

714 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20284514	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810815	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20283755	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20274247	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274179	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20273491	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20273370	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1545	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#11719922	—	2	1	no	—
11	#16811180	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16810995	C₂²	1	2	yes	complemented
14	#16810969	C₂²	1	2	yes	complemented
15	#16810924	—	2	2	no	—
16	#16810914	C₂²	1	2	yes	complemented
17	#16810904	C₂²	1	2	yes	complemented
18	#16810820	—	2	2	no	—
19	#16810815	—	2	2	no	—
20	#16810815	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810774	—	2	2	no	—
22	#16810702	—	2	2	no	—
23	#16810700	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#16810676	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810665	—	2	1	no	—
26	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810629	—	2	1	no	—
28	C₂×#13133138	—	2	1	no	—
29	#16810585	—	2	2	no	—
30	#16810375	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#16810371	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#16810370	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₅₃×#331	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
39	C₂×#11719923	—	2	4	no	—
40	C₂×#11719922	—	2	4	no	—
41	C₂×#11719922	—	4	4	no	—
42	C₂×#11719912	—	2	4	no	—
43	C₂²×#88322	—	2	1	no	—
44	#13133217	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#13133217	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#13133209	—	2	1	no	—
47	#13133196	—	2	1	no	—
48	#13133196	—	2	1	no	—
49	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
50	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
51	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
52	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
53	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
54	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
55	#13133176	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
58	#13133151	—	2	2	no	—
59	#13133149	—	2	2	no	—
60	C₄⋊#88322	—	2	1	no	—
61	C₄⋊#88322	D₄	1	2	yes	—
62	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
63	#13133139	—	2	2	no	—
64	#13133139	—	2	2	no	—
65	#13133138	—	2	4	no	—
66	#13133138	—	2	4	no	—
67	C₂²⋊#88322	D₄	1	2	yes	—
68	#13133129	—	2	4	no	—
69	C₄×#88322	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
71	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
72	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
73	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
74	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
75	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
76	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
77	#127×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
81	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₂⁴×C₅₃	—	4	1	no	—
85	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
90	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
91	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
92	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
94	C₂×D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
95	C₂×D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
96	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
103	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
109	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
110	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄²×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
115	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
117	#11719923	—	8	4	no	—
118	#11719922	—	4	8	no	—
119	#11719921	—	2	2	no	—
120	#11719921	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
122	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
123	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
126	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	#11719919	—	4	1	no	—
128	#11719919	—	4	1	no	—
129	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
130	C₂×#88322	—	2	2	no	—
131	C₂×#88322	—	4	2	no	—
132	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	#11719912	—	8	4	no	—
134	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂³×C₅₃	—	8	2	no	—
136	C₂³×C₅₃	—	8	2	no	—
137	C₂³×C₅₃	—	8	2	no	—
138	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂²×D₅₃	—	8	1	no	—
142	C₂²×D₅₃	—	8	1	no	—
143	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
145	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
146	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
147	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
148	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
149	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
156	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
157	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
160	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
163	C₂×Dic₅₃	—	8	1	no	—
164	D₂₁₂	—	2	2	no	—
165	D₂₁₂	—	2	2	no	—
166	D₂₁₂	—	4	2	no	—
167	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
168	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
169	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
170	Dic₁₀₆	—	8	1	no	—
171	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
172	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
173	#88322	—	2	4	no	—
174	#88322	—	4	2	no	—
175	#19420	—	53	1	no	maximal, Sylow
176	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
179	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
181	C₂²×C₅₃	—	16	4	no	—
182	C₂²×C₅₃	#468	1	2	yes	—
183	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
184	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
186	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
187	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
188	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
189	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
190	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
191	C₄×C₅₃	#468	1	2	yes	—
192	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
193	C₄×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
194	C₄×C₅₃	#576	1	2	yes	—
195	Dic₅₃	—	4	2	no	—
196	Dic₅₃	—	8	1	no	—
197	Dic₅₃	—	8	1	no	—
198	#3208	—	53	1	no	—
199	#3077	—	53	1	no	—
200	C₂×#459	—	53	1	no	—
201	#2975	—	53	1	no	—
202	#1697	—	53	4	no	—
203	#1685	—	53	4	no	—
204	#1571	—	53	1	no	—
205	#1545	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
206	#1542	—	53	1	no	—
207	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
208	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
209	C₂×C₅₃	#3041	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₅₃	C₂×#468	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₅₃	#3068	1	1	yes	characteristic
212	D₅₃	—	8	2	no	—
213	C₂²×D₈	—	106	1	no	—
214	#533	—	53	1	no	—
215	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
217	#492	—	53	2	no	—
218	#486	—	53	2	no	—
219	#478	—	106	2	no	—
220	#476	—	53	2	no	—
221	#474	—	53	2	no	—
222	#460	—	106	2	no	—
223	#459	—	53	4	no	—
224	#459	—	106	2	no	—
225	#450	—	106	2	no	—
226	#436	—	53	4	no	—
227	#436	—	106	2	no	—
228	#431	—	53	1	no	—
229	#431	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	#428	—	106	1	no	—
231	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
233	#418	—	106	1	no	—
234	C₂×#102	—	106	1	no	—
235	#407	—	106	2	no	—
236	#335	—	53	4	no	—
237	#333	—	53	2	no	—
238	#332	—	53	2	no	—
239	#331	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
240	C₅₃	#19420	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
241	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
244	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
245	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
246	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
247	C₂×D₈	—	106	4	no	—
248	C₂×D₈	—	212	4	no	—
249	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
250	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
251	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
252	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
253	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
254	#127	—	2	1	no	—
255	#127	—	2	1	no	—
256	#127	—	2	1	no	—
257	#127	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
258	#125	—	106	1	no	—
259	C₂²⋊Q₈	—	106	1	no	—
260	C₂²⋊Q₈	—	106	1	no	—
261	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
262	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
263	C₄×D₄	—	53	2	no	—
264	C₄×D₄	—	53	2	no	—
265	C₄×D₄	—	106	1	no	—
266	C₄×D₄	—	106	1	no	—
267	#117	—	106	1	no	—
268	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
269	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
270	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	#107	—	106	2	no	—
272	#106	—	106	2	no	—
273	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
274	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
275	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
276	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
277	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
278	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
279	#102	—	106	4	no	—
280	#102	—	106	2	no	—
281	#102	—	106	2	no	—
282	#102	—	106	4	no	—
283	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
284	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
285	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
286	C₄×C₈	—	2	1	no	—
287	C₄×C₈	—	53	2	no	—
288	C₂⁴	—	4	1	no	—
289	C₂⁴	—	106	1	no	—
290	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
291	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
292	C₂×D₄	—	2	2	no	—
293	C₂×D₄	—	2	2	no	—
294	C₂×D₄	—	2	2	no	—
295	C₂×D₄	—	4	1	no	—
296	C₂×D₄	—	4	1	no	—
297	C₂×D₄	—	4	1	no	—
298	C₂×D₄	—	4	2	no	—
299	C₂×D₄	—	4	2	no	—
300	C₂×D₄	—	8	2	no	—
301	C₂×D₄	—	8	2	no	—
302	C₂×D₄	—	53	2	no	—
303	C₂×D₄	—	106	1	no	—
304	C₂×D₄	—	106	2	no	—
305	C₂×D₄	—	106	2	no	—
306	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
307	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
309	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
310	C₂²×C₄	#11719945	1	1	yes	characteristic
311	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
313	SD₁₆	—	424	4	no	—
314	D₈	—	212	8	no	—
315	M₁₆	—	4	2	no	—
316	M₁₆	—	424	4	no	—
317	C₂×C₈	—	2	2	no	—
318	C₂×C₈	—	2	2	no	—
319	C₂×C₈	—	53	4	no	—
320	C₂×C₈	—	106	2	no	—
321	C₂×C₈	—	212	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
324	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
325	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
326	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
327	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
328	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
329	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
333	C₄²	—	212	1	no	—
334	C₄²	#11719945	1	1	yes	characteristic
335	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
337	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
338	C₂³	—	4	2	no	—
339	C₂³	—	8	2	no	—
340	C₂³	—	8	2	no	—
341	C₂³	—	8	2	no	—
342	C₂³	—	106	2	no	—
343	C₂³	—	424	1	no	—
344	C₂³	—	424	1	no	—
345	C₂³	—	212	2	no	—
346	C₂³	#13133190	1	1	yes	characteristic
347	Q₈	—	424	1	no	—
348	Q₈	—	212	2	no	—
349	D₄	—	4	2	no	—
350	D₄	—	4	2	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	8	2	no	—
353	D₄	—	8	2	no	—
354	D₄	—	8	2	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	D₄	—	106	2	no	—
357	D₄	—	106	2	no	—
358	D₄	—	212	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	1	no	—
361	C₂×C₄	—	106	2	no	—
362	C₂×C₄	—	424	2	no	—
363	C₂×C₄	—	424	1	no	—
364	C₂×C₄	—	212	1	no	—
365	C₂×C₄	—	212	1	no	—
366	C₂×C₄	—	212	4	no	—
367	C₂×C₄	#13133190	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#13133190	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#13133190	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#13133241	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#13133246	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
375	C₈	—	4	2	no	—
376	C₈	—	4	2	no	—
377	C₈	—	106	4	no	—
378	C₈	—	212	2	no	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	8	2	no	—
382	C₂²	—	8	2	no	—
383	C₂²	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	16	4	no	—
385	C₂²	—	424	4	no	—
386	C₂²	—	212	2	no	—
387	C₂²	—	212	2	no	—
388	C₂²	—	212	2	no	—
389	C₂²	#16810868	1	2	yes	—
390	C₂²	C₂×#13133190	1	1	yes	characteristic
391	C₄	—	2	1	no	—
392	C₄	—	2	1	no	—
393	C₄	—	2	1	no	—
394	C₄	—	424	1	no	—
395	C₄	—	424	1	no	—
396	C₄	—	212	2	no	—
397	C₄	#16810868	1	2	yes	—
398	C₄	C₂×#13133241	1	1	yes	characteristic
399	C₄	C₂×#13133246	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#16811427	1	2	yes	—
401	C₂	—	2	2	no	—
402	C₂	—	16	2	no	—
403	C₂	—	424	2	no	—
404	C₂	#20284217	1	1	yes	characteristic
405	C₂	C₂×#16810868	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#20284442	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133190
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1545	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	C₂×#16810815	C₂
hypercenter	#1545	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19420
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1545

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285656	C₂	semidirect
2. #20284514	C₂	semidirect
4. #20283755	C₂	semidirect
5. #20274247	C₂	semidirect
6. #20274179	C₂	semidirect
7. #20273491	C₂	semidirect
8. #20273370	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1545	C₂	semidirect
13. #16810995	C₂²	semidirect
14. #16810969	C₂²	semidirect
16. #16810914	C₂²	semidirect
17. #16810904	C₂²	semidirect
23. #16810700	C₂²	semidirect
30. #16810375	C₂²	semidirect
31. #16810371	C₂²	semidirect
32. #16810370	C₂²	semidirect
36. C₅₃×#331	C₂²	semidirect
205. #1545	D₅₃	semidirect
239. #331	C₂×D₅₃	semidirect
240. C₅₃	#19420	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285656	2
#20284514	2
C₂×#16810815	2
#20283755	2
#20274247	2
#20274179	2
#20273491	2
#20273370	2
C₅₃×#1545	2
#19420	53