Subgroups — C₂×#20274357 #27371835

Order 13568.

966 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811000	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810997	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#16810971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#16810971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274357	C₂	1	8	yes	maximal, direct product factor
7	C₂×#16810345	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₅₃×#487	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#11719924	—	2	2	no	—
10	C₂²×D₄₂₄	—	2	2	no	—
11	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16811000	—	2	2	no	—
14	#16811000	C₂²	1	4	yes	—
15	#16810997	—	2	2	no	—
16	#16810997	C₂²	1	4	yes	complemented
17	#16810971	—	2	2	no	—
18	#16810971	—	2	2	no	—
19	#16810971	—	2	2	no	—
20	#16810971	C₂²	1	4	yes	complemented
21	#16810971	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#16810971	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#13133137	—	2	2	no	—
24	C₂×#13133137	—	2	2	no	—
25	C₂×#13133137	—	2	2	no	—
26	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810345	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#487	—	2	2	no	—
32	C₅₃×#487	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#103×C₅₃	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
37	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
38	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
39	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
40	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
41	C₂×#11719924	—	2	8	no	—
42	C₂×#11719924	—	4	8	no	—
43	C₂×D₄₂₄	—	2	8	no	—
44	C₂×D₄₂₄	—	4	8	no	—
45	C₂²×#88322	D₄	1	2	yes	—
46	C₂²×#88322	D₄	1	2	yes	—
47	#13133214	—	2	1	no	—
48	#13133214	—	2	1	no	—
49	#13133214	—	2	1	no	—
50	#13133214	—	2	1	no	—
51	#13133214	—	2	1	no	—
52	#13133214	—	2	1	no	—
53	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
54	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
55	#13133137	—	2	8	no	—
56	#13133137	—	2	8	no	—
57	#13133137	—	2	8	no	—
58	C₄×#88322	D₄	1	2	yes	—
59	C₄×#88322	D₄	1	2	yes	—
60	C₄×#88322	C₂³	1	2	yes	—
61	C₄×#88322	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
63	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
65	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
66	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
67	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
68	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
69	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
70	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
71	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
72	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#103×C₅₃	—	2	8	no	—
79	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
80	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
82	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
86	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
87	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
88	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
106	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
107	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
108	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
109	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
110	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
111	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
112	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
119	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
120	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
121	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
122	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	#11719924	—	4	16	no	—
127	C₂×#88322	—	2	4	no	—
128	C₂×#88322	—	2	4	no	—
129	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	D₄₂₄	—	4	16	no	—
132	C₂³×C₅₃	#127	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
136	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
137	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
138	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
139	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
140	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
141	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
142	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
143	Q₈×C₅₃	—	8	2	no	—
144	Q₈×C₅₃	—	8	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	—
153	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
154	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
155	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
158	D₂₁₂	—	4	4	no	—
159	D₂₁₂	—	4	4	no	—
160	D₂₁₂	—	4	4	no	—
161	D₂₁₂	—	4	4	no	—
162	D₂₁₂	—	4	4	no	—
163	D₂₁₂	—	4	4	no	—
164	D₂₁₂	—	8	2	no	—
165	D₂₁₂	—	8	2	no	—
166	D₂₁₂	—	8	2	no	—
167	D₂₁₂	—	8	2	no	—
168	D₂₁₂	—	8	2	no	—
169	D₂₁₂	—	8	2	no	—
170	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
171	#88322	—	2	4	no	—
172	#88322	—	2	4	no	—
173	C₂×#1717	—	53	1	no	maximal, Sylow
174	C₂²×C₅₃	#495	1	2	yes	—
175	C₂²×C₅₃	#496	1	2	yes	—
176	C₂²×C₅₃	#496	1	2	yes	—
177	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
178	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
179	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
181	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
182	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
183	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
184	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
185	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
186	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
187	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
188	C₄×C₅₃	#495	1	2	yes	—
189	C₄×C₅₃	#496	1	2	yes	—
190	C₄×C₅₃	#496	1	2	yes	—
191	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
192	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
193	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
194	C₂×#493	—	53	1	no	—
195	C₂×#492	—	53	1	no	—
196	C₂×#487	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
197	C₂×#486	—	53	1	no	—
198	C₂×#486	—	53	1	no	—
199	C₂×#486	—	53	1	no	—
200	#1717	—	53	8	no	—
201	C₂×#322	—	53	1	no	—
202	C₂×C₅₃	#1717	1	4	yes	complemented
203	C₂×C₅₃	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₅₃	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₅₃	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
206	D₅₃	—	16	2	no	—
207	D₅₃	—	16	2	no	—
208	C₂²×SD₁₆	—	106	2	no	—
209	C₂²×D₈	—	106	2	no	—
210	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂×#127	—	53	1	no	—
213	C₂×#127	—	53	1	no	—
214	#493	—	53	4	no	—
215	#493	—	106	2	no	—
216	#492	—	53	4	no	—
217	#492	—	106	2	no	—
218	#487	—	2	2	no	—
219	#487	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
220	#486	—	53	4	no	—
221	#486	—	53	4	no	—
222	#486	—	53	4	no	—
223	#486	—	106	2	no	—
224	#486	—	106	2	no	—
225	#486	—	106	2	no	—
226	C₂×#103	—	2	2	no	—
227	C₂×#102	—	106	2	no	—
228	C₂×#102	—	106	2	no	—
229	C₂×#102	—	106	2	no	—
230	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
231	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
232	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	#322	—	53	4	no	—
234	C₅₃	C₂×#1717	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
235	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
236	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
237	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
238	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
239	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
240	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
241	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
242	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
243	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
244	C₂×SD₁₆	—	212	8	no	—
245	C₂×D₈	—	106	8	no	—
246	C₂×D₈	—	212	8	no	—
247	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
248	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
249	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
250	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
251	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
252	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
253	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
254	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
255	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
256	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
257	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
258	#127	—	53	2	no	—
259	#127	—	53	2	no	—
260	#127	—	106	1	no	—
261	#127	—	106	1	no	—
262	#127	—	106	1	no	—
263	#127	—	106	1	no	—
264	#127	—	106	1	no	—
265	#127	—	106	1	no	—
266	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	#103	—	2	8	no	—
272	#102	—	106	8	no	—
273	#102	—	106	8	no	—
274	#102	—	106	8	no	—
275	C₄×C₈	—	53	2	no	—
276	C₄×C₈	—	53	2	no	—
277	C₄×C₈	—	53	2	no	—
278	C₄×C₈	—	53	2	no	—
279	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
280	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
281	C₂⁴	—	212	1	no	—
282	C₂⁴	—	212	1	no	—
283	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
284	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
285	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
286	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
287	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
288	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
289	C₂×D₄	—	106	2	no	—
290	C₂×D₄	—	106	2	no	—
291	C₂×D₄	—	106	2	no	—
292	C₂×D₄	—	106	2	no	—
293	C₂×D₄	—	106	2	no	—
294	C₂×D₄	—	106	2	no	—
295	C₂×D₄	—	212	1	no	—
296	C₂×D₄	—	212	1	no	—
297	C₂×D₄	—	212	1	no	—
298	C₂×D₄	—	212	1	no	—
299	C₂×D₄	—	212	1	no	—
300	C₂×D₄	—	212	1	no	—
301	C₂×D₄	—	212	4	no	—
302	C₂×D₄	—	212	4	no	—
303	C₂×D₄	—	212	4	no	—
304	C₂×D₄	—	212	4	no	—
305	C₂×D₄	—	212	4	no	—
306	C₂×D₄	—	212	4	no	—
307	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
308	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
309	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	SD₁₆	—	212	16	no	—
313	D₈	—	212	16	no	—
314	C₂×C₈	—	2	4	no	—
315	C₂×C₈	—	53	4	no	—
316	C₂×C₈	—	53	4	no	—
317	C₂×C₈	—	106	4	no	—
318	C₂×C₈	—	106	4	no	—
319	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
320	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
328	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
330	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
331	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	—	424	2	no	—
333	C₂³	—	424	2	no	—
334	C₂³	—	424	2	no	—
335	C₂³	—	424	2	no	—
336	C₂³	—	424	2	no	—
337	C₂³	—	424	2	no	—
338	C₂³	—	212	2	no	—
339	C₂³	—	212	2	no	—
340	C₂³	#13133213	1	1	yes	characteristic
341	Q₈	—	4	4	no	—
342	Q₈	—	4	4	no	—
343	Q₈	—	8	2	no	—
344	Q₈	—	8	2	no	—
345	D₄	—	424	2	no	—
346	D₄	—	424	2	no	—
347	D₄	—	424	2	no	—
348	D₄	—	424	2	no	—
349	D₄	—	424	2	no	—
350	D₄	—	424	2	no	—
351	D₄	—	212	4	no	—
352	D₄	—	212	4	no	—
353	D₄	—	212	4	no	—
354	D₄	—	212	4	no	—
355	D₄	—	212	4	no	—
356	D₄	—	212	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	#13133213	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#13133213	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#13133213	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#13133240	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	#13133242	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	#13133244	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
370	C₈	—	2	4	no	—
371	C₈	—	106	4	no	—
372	C₈	—	106	4	no	—
373	C₂²	—	848	4	no	—
374	C₂²	—	848	4	no	—
375	C₂²	—	424	2	no	—
376	C₂²	—	424	2	no	—
377	C₂²	—	424	2	no	—
378	C₂²	—	424	2	no	—
379	C₂²	—	424	2	no	—
380	C₂²	—	424	2	no	—
381	C₂²	#16811008	1	2	yes	—
382	C₂²	#16811009	1	2	yes	—
383	C₂²	#16811013	1	2	yes	—
384	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	—	8	2	no	—
387	C₄	#16811008	1	2	yes	—
388	C₄	#16811009	1	2	yes	—
389	C₄	#16811013	1	2	yes	—
390	C₄	C₂×#13133240	1	2	yes	—
391	C₄	C₂×#13133242	1	2	yes	—
392	C₄	C₂×#13133244	1	2	yes	—
393	C₂	—	848	2	no	—
394	C₂	—	848	2	no	—
395	C₂	#20274357	1	4	yes	direct product factor
396	C₂	C₂×#16811008	1	1	yes	characteristic
397	C₂	C₂×#16811009	1	1	yes	characteristic
398	C₂	C₂×#16811013	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	#13133213
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#487	C₂
socle	C₂³×C₅₃	#127
prime radical	C₂×#16811000	C₂
hypercenter	C₂×#487	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂×#1717
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×#487

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810997	C₂	semidirect
3. C₂×#16810971	C₂	semidirect
4. C₂×#16810971	C₂	semidirect
5. C₂×#16810971	C₂	semidirect
6. #20274357	C₂	direct (N × H)
7. C₂×#16810345	C₂	semidirect
8. C₂×C₅₃×#487	C₂	semidirect
16. #16810997	C₂²	semidirect
20. #16810971	C₂²	semidirect
21. #16810971	C₂²	semidirect
22. #16810971	C₂²	semidirect
28. #16810345	C₂²	semidirect
32. C₅₃×#487	C₂²	semidirect
196. C₂×#487	D₅₃	semidirect
202. C₂×C₅₃	#1717	semidirect
219. #487	C₂×D₅₃	semidirect
234. C₅₃	C₂×#1717	semidirect
395. C₂	#20274357	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811000	2
C₂×#16810997	2
C₂×#16810971	2
#20274357	2
C₂×#16810345	2
C₂×C₅₃×#487	2
C₂×#1717	53

Subgroups — C2×#20274357 #27371835

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#20274357 #27371835