Subgroups — #27372024

Order 13568.

858 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285832	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20285292	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#500×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20285169	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274384	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20274332	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20274304	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₈×#11719912	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133246	—	2	4	no	—
13	#16811171	C₂²	1	2	yes	—
14	C₄⋊Q₈×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811028	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#16811028	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16811028	C₂²	1	2	yes	—
18	#16811027	—	2	2	no	—
19	#16811026	C₂²	1	2	yes	—
20	#16811026	C₂²	1	2	yes	—
21	#16811014	—	2	4	no	—
22	#16811003	C₂²	1	2	yes	—
23	#16811002	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810995	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810969	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810969	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810935	—	2	4	no	—
28	#16810901	—	2	4	no	—
29	#16810856	—	2	2	no	—
30	D₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
31	#16810674	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#107×D₅₃	—	2	2	no	—
33	C₄×#11719912	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×C₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#16810345	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#16810344	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₈×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#492	C₂²	1	2	yes	—
41	C₅₃×#486	C₂²	1	2	yes	—
42	C₈²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#11719947	—	2	2	no	—
44	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	2	no	—
45	#13133246	—	4	16	no	—
46	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
47	C₂×#11719925	—	2	4	no	—
48	C₂×#11719923	—	2	4	no	—
49	C₂×#11719912	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₈×D₅₃	D₄	1	2	yes	—
51	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
52	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
53	#13133216	—	2	2	no	—
54	#13133216	—	2	2	no	—
55	#13133215	—	2	2	no	—
56	#13133204	—	2	2	no	—
57	#13133188	—	2	2	no	—
58	#13133188	—	2	2	no	—
59	D₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
60	D₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
61	C₄⋊C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
62	C₄⋊C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
63	C₄²×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#13133151	—	2	2	no	—
65	#13133151	—	2	2	no	—
66	#13133151	—	2	4	no	—
67	#13133150	—	2	4	no	—
68	#13133150	—	2	4	no	—
69	#13133146	D₄	1	2	yes	—
70	#13133138	—	2	4	no	—
71	#13133138	—	2	4	no	—
72	#13133129	D₄	1	2	yes	—
73	#13133127	D₄	1	2	yes	—
74	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₈×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂×D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
81	#127×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
82	#107×C₅₃	—	2	2	no	—
83	#102×C₅₃	—	2	4	no	—
84	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
93	Q₈×D₅₃	—	4	8	no	—
94	#11719947	—	4	8	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
102	SD₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
103	D₈×C₅₃	—	4	4	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
111	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
112	#11719925	—	4	8	no	—
113	#11719923	—	4	8	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
118	#11719919	—	4	2	no	—
119	#11719919	—	4	2	no	—
120	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	Dic₂₁₂	—	4	8	no	—
127	#11719912	D₈	1	8	yes	complemented
128	C₈×D₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂²×D₅₃	#127	1	1	yes	characteristic
131	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
132	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
133	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
134	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	#127	1	1	yes	characteristic
144	C₂×Dic₅₃	#127	1	1	yes	characteristic
145	C₂×Dic₅₃	#127	1	1	yes	characteristic
146	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
147	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
148	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
149	C₄×D₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
150	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
151	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
152	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
153	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₈×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
155	C₈×C₅₃	#137	1	4	yes	complemented
156	#88322	—	2	2	no	—
157	#88322	—	2	2	no	—
158	#88322	C₂×D₈	1	4	yes	—
159	#19630	—	53	1	no	maximal, Sylow
160	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
164	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
165	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
166	C₂×D₅₃	#493	1	2	yes	—
167	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
168	C₄×C₅₃	C₂²×D₈	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
170	C₄×C₅₃	#578	1	2	yes	—
171	Dic₅₃	—	2	1	no	—
172	Dic₅₃	—	2	1	no	—
173	Dic₅₃	—	8	2	no	—
174	Dic₅₃	—	8	2	no	—
175	Dic₅₃	#493	1	2	yes	—
176	#3226	—	53	2	no	—
177	#3169	—	53	1	no	—
178	C₂×#500	—	53	1	no	—
179	#3152	—	53	2	no	—
180	#1722	—	53	2	no	—
181	#1722	—	53	2	no	—
182	#1713	—	53	1	no	—
183	#1713	—	53	1	no	—
184	#1706	—	53	1	no	—
185	#1706	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
186	C₈×M₁₆	—	53	1	no	—
187	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
188	C₂×C₅₃	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	#3152	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#3156	1	1	yes	characteristic
191	D₅₃	—	2	2	no	—
192	C₂×#137	—	106	4	no	—
193	#532	—	53	2	no	—
194	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
195	#500	—	53	2	no	—
196	#500	—	53	2	no	—
197	#500	—	53	1	no	—
198	#500	—	53	1	no	—
199	#500	—	53	2	no	—
200	#500	—	106	2	no	—
201	#500	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	#497	—	106	4	no	—
203	#494	—	53	2	no	—
204	#494	—	53	2	no	—
205	#493	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	#492	—	53	2	no	—
207	#492	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
208	#486	—	53	2	no	—
209	#486	—	53	2	no	—
210	#486	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
211	#480	—	106	4	no	—
212	#474	—	106	4	no	—
213	#466	—	106	2	no	—
214	C₄×D₈	—	106	2	no	—
215	#431	—	53	1	no	—
216	C₂×#107	—	106	2	no	—
217	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
218	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
219	#322	—	53	1	no	—
220	#322	—	53	1	no	—
221	C₈²	—	53	1	no	—
222	C₈²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₅₃	#19630	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
224	C₂×#41	—	106	2	no	—
225	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
226	#137	—	212	16	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
228	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
229	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
230	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
231	C₂×D₈	—	2	2	no	—
232	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
233	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
234	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
235	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
236	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
237	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
238	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
239	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
240	#127	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
241	#124	—	106	2	no	—
242	#121	—	106	2	no	—
243	#121	—	106	2	no	—
244	C₄×D₄	—	106	2	no	—
245	C₄×D₄	—	106	2	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
248	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
249	#107	—	2	2	no	—
250	#107	—	106	4	no	—
251	#107	—	106	4	no	—
252	#107	—	106	2	no	—
253	#107	—	106	2	no	—
254	#107	—	106	4	no	—
255	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
256	#102	—	2	4	no	—
257	#102	—	106	4	no	—
258	#102	—	106	4	no	—
259	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
260	#97	—	53	2	no	—
261	C₄×C₈	—	53	2	no	—
262	C₄×C₈	—	53	1	no	—
263	C₄×C₈	—	53	1	no	—
264	C₄×C₈	—	53	1	no	—
265	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	#41	—	212	8	no	—
269	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
270	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
271	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
272	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
273	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
274	C₂×D₄	—	2	2	no	—
275	C₂×D₄	—	2	2	no	—
276	C₂×D₄	—	2	2	no	—
277	C₂×D₄	—	212	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
280	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
281	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
283	Q₁₆	—	212	8	no	—
284	Q₁₆	—	212	8	no	—
285	SD₁₆	—	4	8	no	—
286	SD₁₆	—	212	8	no	—
287	D₈	—	4	4	no	—
288	M₁₆	—	53	8	no	—
289	C₂×C₈	—	53	2	no	—
290	C₂×C₈	—	53	2	no	—
291	C₂×C₈	—	53	2	no	—
292	C₂×C₈	—	106	4	no	—
293	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
306	C₄²	—	53	1	no	—
307	C₄²	—	53	1	no	—
308	C₄²	—	53	1	no	—
309	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	—	53	1	no	—
312	Q₈	—	4	4	no	—
313	Q₈	—	424	4	no	—
314	Q₈	—	212	4	no	—
315	Q₈	—	212	4	no	—
316	D₄	—	4	4	no	—
317	D₄	—	4	4	no	—
318	D₄	—	4	4	no	—
319	D₄	—	424	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	53	1	no	—
322	C₂×C₄	—	53	4	no	—
323	C₂×C₄	—	53	1	no	—
324	C₂×C₄	—	53	1	no	—
325	C₂×C₄	—	106	2	no	—
326	C₂×C₄	—	106	2	no	—
327	C₂×C₄	—	424	4	no	—
328	C₂×C₄	—	424	4	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	2	no	—
331	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	53	4	no	—
336	C₈	—	106	2	no	—
337	C₈	—	106	2	no	—
338	C₈	D₈×D₅₃	1	4	yes	—
339	C₈	#13133246	1	4	yes	complemented
340	C₂²	—	8	2	no	—
341	C₂²	—	8	2	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	53	2	no	—
344	C₂²	—	106	1	no	—
345	C₂²	—	106	1	no	—
346	C₂²	#127×D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₄	—	8	2	no	—
348	C₄	—	53	2	no	—
349	C₄	—	106	1	no	—
350	C₄	—	106	1	no	—
351	C₄	—	424	2	no	—
352	C₄	—	424	2	no	—
353	C₄	C₂×D₈×D₅₃	1	2	yes	—
354	C₄	C₂×#13133246	1	2	yes	—
355	C₄	#16811437	1	2	yes	—
356	C₂	—	16	2	no	—
357	C₂	—	106	2	no	—
358	C₂	#493×D₅₃	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#20285169	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20285205	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	#127×D₅₃
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1706	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#127
prime radical	#20285292	C₂
hypercenter	#1706	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19630
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ #1706

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285832	C₂	semidirect
3. #500×D₅₃	C₂	semidirect
4. #20285169	C₂	semidirect
5. #20274388	C₂	semidirect
6. #20274384	C₂	semidirect
7. #20274333	C₂	semidirect
8. #20274332	C₂	semidirect
9. #20274304	C₂	semidirect
10. C₈×#11719912	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1706	C₂	semidirect
127. #11719912	D₈	semidirect
155. C₈×C₅₃	#137	semidirect
185. #1706	D₅₃	semidirect
223. C₅₃	#19630	semidirect
339. C₈	#13133246	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285832	2
#20285292	2
#500×D₅₃	2
#20285169	2
#20274388	2
#20274384	2
#20274333	2
#20274332	2
#20274304	2
C₈×#11719912	2
C₅₃×#1706	2
#19630	53