Subgroups — #27375369

Order 13568.

778 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20286529	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20286316	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20274307	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20274181	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274152	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20273952	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20273771	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20273601	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₈×D₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133241	—	2	2	no	—
11	#16811277	C₂²	1	2	yes	—
12	D₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	complemented
13	#16811028	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810996	C₂²	1	2	yes	complemented
16	#16810970	C₂²	1	2	yes	complemented
17	#16810937	—	2	2	no	—
18	#16810904	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#16810870	—	2	2	no	—
20	#16810859	—	2	2	no	—
21	#16810828	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#16810819	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810818	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810775	—	2	2	no	—
25	#16810769	—	2	2	no	—
26	#16810759	—	2	2	no	—
27	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810702	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#13133139	—	2	2	no	—
30	#16810376	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#16810368	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#16810366	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#16810352	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₄×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×D₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₅₃×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₅₃×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₈²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₂×#11719947	—	2	2	no	—
40	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
41	C₂×D₄×D₅₃	—	2	2	no	—
42	#13133241	—	4	8	no	—
43	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
45	C₂×#11719923	—	2	2	no	—
46	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
47	C₂×D₄₂₄	—	4	1	no	—
48	C₂×D₄₂₄	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
51	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
52	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
53	#13133201	—	4	2	no	—
54	#13133197	—	2	2	no	—
55	#13133192	—	2	2	no	—
56	#13133191	—	2	2	no	—
57	#13133191	—	2	2	no	—
58	#13133187	—	4	2	no	—
59	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
61	#13133151	—	2	2	no	—
62	#13133151	—	4	1	no	—
63	#13133151	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
65	#13133140	—	2	2	no	—
66	#13133139	—	2	2	no	—
67	#13133139	—	2	2	no	—
68	#13133139	—	2	2	no	—
69	#13133139	—	2	2	no	—
70	#13133139	D₄	1	2	yes	—
71	#13133137	—	2	2	no	—
72	#13133129	—	2	2	no	—
73	C₂×D₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₄×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	#107×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	#102×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
79	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
87	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
89	#11719947	—	4	4	no	—
90	#11719947	—	8	2	no	—
91	D₄×D₅₃	—	4	4	no	—
92	D₄×D₅₃	—	8	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	8	2	no	—
99	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
102	D₈×C₅₃	D₈	1	4	yes	complemented
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	8	2	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	#11719923	—	4	4	no	—
114	#11719922	—	4	4	no	—
115	#11719921	—	2	2	no	—
116	#11719921	—	4	2	no	—
117	#11719921	—	4	2	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×#88322	—	2	2	no	—
123	D₄₂₄	—	4	1	no	—
124	D₄₂₄	—	8	2	no	—
125	D₄₂₄	—	8	2	no	—
126	#11719913	—	4	4	no	—
127	#11719913	—	8	2	no	—
128	#11719912	—	4	4	no	—
129	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	16	2	no	—
135	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	D₄×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
143	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
144	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
148	D₂₁₂	—	2	2	no	—
149	D₂₁₂	—	2	2	no	—
150	D₂₁₂	—	4	2	no	—
151	D₂₁₂	—	4	2	no	—
152	D₂₁₂	—	4	2	no	—
153	D₂₁₂	—	4	2	no	—
154	D₂₁₂	—	8	2	no	—
155	D₂₁₂	—	8	4	no	—
156	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
157	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
158	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
159	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
160	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
162	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
163	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
164	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
165	C₈×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
166	#88322	—	4	2	no	—
167	#19884	—	53	1	no	maximal, Sylow
168	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
172	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
175	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
176	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
177	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
178	C₂×D₅₃	—	16	8	no	—
179	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
180	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
181	C₄×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
183	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
184	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
185	Dic₅₃	—	4	2	no	—
186	Dic₅₃	—	8	2	no	—
187	#3294	—	53	2	no	—
188	#3272	—	53	2	no	—
189	#1706	—	53	1	no	—
190	#1685	—	53	2	no	—
191	#1681	—	53	2	no	—
192	#1647	—	53	2	no	—
193	#1619	—	53	2	no	—
194	#1589	—	53	1	no	—
195	C₈×D₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
196	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
197	C₂×C₅₃	#3273	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₅₃	#3291	1	1	yes	characteristic
200	D₅₃	—	8	2	no	—
201	D₅₃	—	16	2	no	—
202	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	106	2	no	—
203	#547	—	53	2	no	—
204	D₄²	—	53	2	no	—
205	#500	—	53	1	no	—
206	#493	—	53	1	no	—
207	#492	—	53	2	no	—
208	#486	—	53	2	no	—
209	#480	—	106	2	no	—
210	#474	—	53	2	no	—
211	#468	—	106	2	no	—
212	#466	—	106	2	no	—
213	#461	—	53	2	no	—
214	#459	—	53	2	no	—
215	#459	—	53	2	no	—
216	#450	—	106	2	no	—
217	#449	—	106	2	no	—
218	#447	—	106	2	no	—
219	C₄×D₈	—	53	1	no	—
220	C₄×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#436	—	53	2	no	—
222	C₈×D₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
223	C₂×#102	—	106	2	no	—
224	#335	—	53	1	no	—
225	#335	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
226	#332	—	53	2	no	—
227	#331	—	53	2	no	—
228	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
229	D₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
230	C₈²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
231	C₅₃	#19884	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
232	C₂×#41	—	106	2	no	—
233	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
234	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
235	AGL(1,ℤ/8)	—	212	8	no	—
236	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
237	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
238	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
239	C₂×D₈	—	53	1	no	—
240	C₂×D₈	—	106	2	no	—
241	C₂×D₈	—	106	2	no	—
242	C₂×D₈	—	212	1	no	—
243	C₂×D₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
244	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
245	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
246	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
247	#127	—	53	2	no	—
248	#123	—	212	2	no	—
249	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
250	#121	—	106	2	no	—
251	#121	—	106	2	no	—
252	#121	—	106	2	no	—
253	#120	—	212	2	no	—
254	C₄×D₄	—	53	2	no	—
255	C₄×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
256	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
257	#107	—	53	1	no	—
258	#107	—	106	2	no	—
259	#107	—	212	1	no	—
260	#107	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
261	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
262	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
263	#103	—	106	2	no	—
264	#102	—	53	2	no	—
265	#102	—	106	2	no	—
266	#102	—	106	2	no	—
267	#102	—	106	2	no	—
268	#102	—	106	2	no	—
269	#102	—	106	2	no	—
270	#102	D₂₁₂	1	2	yes	—
271	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
272	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
273	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	C₂⁴	—	212	2	no	—
277	#41	—	424	2	no	—
278	#41	—	212	4	no	—
279	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
280	C₂×D₄	—	53	2	no	—
281	C₂×D₄	—	106	2	no	—
282	C₂×D₄	—	106	2	no	—
283	C₂×D₄	—	106	2	no	—
284	C₂×D₄	—	424	2	no	—
285	C₂×D₄	—	424	2	no	—
286	C₂×D₄	—	212	2	no	—
287	C₂×D₄	—	212	4	no	—
288	C₂×D₄	—	212	2	no	—
289	C₂×D₄	—	212	2	no	—
290	C₂×D₄	—	212	4	no	—
291	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
295	SD₁₆	—	424	2	no	—
296	SD₁₆	—	212	4	no	—
297	SD₁₆	—	212	4	no	—
298	D₈	—	424	2	no	—
299	D₈	—	424	2	no	—
300	D₈	—	212	1	no	—
301	D₈	—	212	4	no	—
302	D₈	D₄₂₄	1	4	yes	complemented
303	M₁₆	—	212	4	no	—
304	C₂×C₈	—	2	1	no	—
305	C₂×C₈	—	2	2	no	—
306	C₂×C₈	—	8	2	no	—
307	C₂×C₈	—	106	2	no	—
308	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
316	C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
321	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	848	2	no	—
324	C₂³	—	106	2	no	—
325	C₂³	—	424	4	no	—
326	C₂³	—	424	4	no	—
327	C₂³	—	212	2	no	—
328	Q₈	—	212	2	no	—
329	Q₈	—	212	2	no	—
330	D₄	—	2	2	no	—
331	D₄	—	106	2	no	—
332	D₄	—	106	2	no	—
333	D₄	—	424	2	no	—
334	D₄	—	424	4	no	—
335	D₄	—	424	4	no	—
336	D₄	—	424	4	no	—
337	D₄	—	212	2	no	—
338	D₄	—	212	2	no	—
339	D₄	—	212	2	no	—
340	D₄	—	212	2	no	—
341	D₄	C₂×D₄₂₄	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	106	2	no	—
346	C₂×C₄	—	424	4	no	—
347	C₂×C₄	—	212	2	no	—
348	C₂×C₄	—	212	2	no	—
349	C₂×C₄	—	212	2	no	—
350	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
353	C₈	—	2	2	no	—
354	C₈	—	2	1	no	—
355	C₈	—	2	1	no	—
356	C₈	—	2	1	no	—
357	C₈	—	4	2	no	—
358	C₈	—	212	2	no	—
359	C₈	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	848	8	no	—
364	C₂²	—	424	2	no	—
365	C₂²	—	424	2	no	—
366	C₂²	—	424	2	no	—
367	C₂²	—	212	2	no	—
368	C₂²	—	212	2	no	—
369	C₂²	—	212	2	no	—
370	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	424	2	no	—
374	C₄	—	212	2	no	—
375	C₄	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#16811420	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#16811424	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#16811428	1	1	yes	characteristic
379	C₂	—	4	4	no	—
380	C₂	—	848	2	no	—
381	C₂	—	424	2	no	—
382	C₂	#20286325	1	1	yes	characteristic
383	C₂	D₄×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#20286509	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	D₄×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₈×D₈×C₅₃	C₂
socle	C₂²×C₅₃	D₄²
hypercenter	C₈×D₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19884
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ C₈×D₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20286529	C₂	semidirect
2. #20286316	C₂	semidirect
3. #20274307	C₂	semidirect
4. #20274181	C₂	semidirect
5. #20274152	C₂	semidirect
6. #20273952	C₂	semidirect
7. #20273771	C₂	semidirect
8. #20273601	C₂	semidirect
9. C₈×D₈×C₅₃	C₂	semidirect
12. D₄×D₂₁₂	C₂²	semidirect
13. #16811028	C₂²	semidirect
15. #16810996	C₂²	semidirect
16. #16810970	C₂²	semidirect
18. #16810904	C₂²	semidirect
21. #16810828	C₂²	semidirect
28. #16810702	C₂²	semidirect
30. #16810376	C₂²	semidirect
31. #16810368	C₂²	semidirect
32. #16810366	C₂²	semidirect
33. #16810352	C₂²	semidirect
35. C₈×D₄×C₅₃	C₂²	semidirect
36. C₅₃×#335	C₂²	semidirect
37. C₅₃×D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
38. C₈²×C₅₃	C₂²	semidirect
102. D₈×C₅₃	D₈	semidirect
195. C₈×D₈	D₅₃	semidirect
222. C₈×D₄	C₂×D₅₃	semidirect
225. #335	C₂×D₅₃	semidirect
229. D₄⋊C₈	C₂×D₅₃	semidirect
230. C₈²	C₂×D₅₃	semidirect
231. C₅₃	#19884	semidirect
302. D₈	D₄₂₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20286529	2
#20286316	2
#20274307	2
#20274181	2
#20274152	2
#20273952	2
#20273771	2
#20273601	2
C₈×D₈×C₅₃	2
#19884	53